版理科数学一轮复习高考帮试题选修45 不等式选讲.docx
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版理科数学一轮复习高考帮试题选修45不等式选讲
选修4-5 不等式选讲
题组1 不等式的性质和绝对值不等式
1.[2015山东,5,5分][理]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )
A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)
2.[2015重庆,16,5分][理]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .
3.[2014重庆,16,5分][理]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .
4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][理]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][理]已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(Ⅰ)在图1中画出y=f(x)的图象;
(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.
图1
6.[2015新课标全国Ⅰ,24,10分][理]已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][理]设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).
(Ⅰ)证明:
f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
题组2 不等式的证明
8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][理]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
9.[2015新课标全国Ⅱ,24,10分][理]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(Ⅰ)若ab>cd,则+>+;
(Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][理]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(Ⅰ)ab+bc+ac≤;
(Ⅱ)++≥1.
A组基础题
1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.
(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;
(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.
2.[2018湖北省八校第一次联考,23]已知f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)求f(x)在[-1,1]上的最大值m及最小值n.
(2)a,b∈R,设am+bn=1,求a2+b2的最小值.
3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.
(1)求a的值;
(2)若 4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|. (1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围; (2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集. B组提升题 5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|. (1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集; (2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围. 6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3. (1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集; (2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围. 7.[2017长春市高三第四次质量监测,23] (1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值; (2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证: ++≥. 8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2. (1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2; (2)当x≠-1时,求y=+[f(x)]2的最小值. 答案 1.A 当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A. 2.-6或4 当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f(x)=f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4. 3.[-1,] |2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,]. 4. (1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0 ①. 当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1 所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤}. (2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f (1)之一,所以f(-1)≥2且f (1)≥2,得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1]. 5.(Ⅰ)由题意可得f(x)= y=f(x)的图象如图D2所示. 图D2 (Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5. 故f(x)>1的解集为{x|1 所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1 6.(Ⅰ)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为{x| (Ⅱ)由题设可得f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2. 由题设得(a+1)2>6,故a>2. 所以a的取值范围为(2,+∞). 7.(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.
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