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==
求极限知识点
篇一:
极限知识点
高中数学第十三章-极限
考试内容:
教学归纳法.数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求:
(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
13.极限知识要点
1.⑴第一数学归纳法:
①证明当n取第一个n0时结论正确;②假设当n?
k(k?
N?
k?
n0)时,结论正确,证明当n?
k?
1时,结论成立.
⑵第二数学归纳法:
设P(n)是一个与正整数n有关的命题,如果
①当n?
n0(n0?
N?
)时,P(n)成立;
②假设当n?
k(k?
N?
k?
n0)时,P(n)成立,推得n?
k?
1时,P(n)也成立.那么,根据①②对一切自然数n?
n0时,P(n)都成立.
2.⑴数列极限的表示方法:
①liman?
an?
?
②当n?
?
时,an?
a.
⑵几个常用极限:
①limC?
C(C为常数)n?
?
②limn?
?
1kn
③对于任意实常数,
n?
?
?
0(k?
N,k是常数)当|a|?
1时,liman?
0当a?
1时,若a=1,则liman?
1;若a?
?
1,则liman?
lim(?
1)n不存在n?
?
n?
?
n?
?
当a?
1时,liman不存在n?
?
⑶数列极限的四则运算法则:
如果liman?
a,limbb?
b,那么n?
?
n?
?
①lim(an?
bn)?
a?
bn?
?
②lim(an?
bn)?
a?
bn?
?
③limana?
(b?
0)n?
?
bnb
特别地,如果C是常数,那么
n?
?
lim(C?
an)?
limC?
liman?
Ca.n?
?
n?
?
⑷数列极限的应用:
求无穷数列的各项和,特别地,当q?
1时,无穷等比数列的各项和为S?
a1(q?
1).1?
q(化循环小数为分数方法同上式)
注:
并不是每一个无穷数列都有极限.
3.函数极限;
⑴当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋进于一个常数a,就是说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?
a或当x?
x0时,f(x)?
a.x?
x0
注:
当x?
x0时,f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关,因为x?
x0并不要求x?
x0.(当然,f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?
函数f(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.)x?
x0
如P(x)?
?
?
x?
1x?
1在x?
1处无定义,但limP(x)存在,因为在x?
1处左右极限均等于零.x?
1?
?
x?
1x?
1
⑵函数极限的四则运算法则:
如果limf(x)?
a,limg(x)?
b,那么x?
x0x?
x0
①lim(f(x)?
g(x))?
a?
bx?
x0
②lim(f(x)?
g(x))?
a?
bx?
x0
③limx?
x0f(x)a?
(b?
0)g(x)b
特别地,如果C是常数,那么
x?
x0lim(C?
f(x))?
Climf(x).x?
x0
x?
x0lim[f(x)]n?
[limf(x)]n(n?
N?
)x?
x0
注:
①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.⑶几个常用极限:
①lim1?
0n?
?
x
x?
?
?
x?
?
?
il②limax?
0(0<a<1);max?
0(a>1)③limsinxx?
1?
lim?
1x?
0xx?
0sinx
1④lim(1?
)x?
e,lim(1?
x)x?
e(e?
2.71828183)x?
0x?
?
x1
4.函数的连续性:
⑴如果函数f(x),g(x)在某一点x?
x0连续,那么函数f(x)?
g(x),f(x)?
g(x),在点x?
x0处都连续.
⑵函数f(x)在点x?
x0处连续必须满足三个条件:
①函数f(x)在点x?
x0处有定义;②limf(x)存在;③函数f(x)在点x?
x0处的极限值x?
x0f(x)(g(x)?
0)g(x)
等于该点的函数值,即limf(x)?
f(x0).x?
x0
⑶函数f(x)在点x?
x0处不连续(间断)的判定:
如果函数f(x)在点x?
x0处有下列三种情况之一时,则称x0为函数f(x)的不连续点.①f(x)在点x?
x0处没有定义,即f(x0)不存在;②limf(x)不存在;③limf(x)存在,x?
x0x?
x0但limf(x)?
f(x0).x?
x0
5.零点定理,介值定理,夹逼定理:
⑴零点定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)?
f(b)?
0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点?
(a<?
<b)使f(?
)?
0.⑵介值定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同函数值,f(a)?
A,f(b)?
B,那么对于A,B之间任意的一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点?
,使得f(?
)?
C(a<?
<b).
⑶夹逼定理:
设当0?
|x?
x0|?
?
时,有g(x)≤f(x)≤h(x),且limg(x)?
limh(x)?
A,则x?
x0x?
x0必有limf(x)?
A.x?
x0
注:
|x?
x0|:
表示以x0为的极限,则|x?
x0|就无限趋近于零.(?
为最小整数)
6.几个常用极限:
①limqn?
0,q?
1n?
?
?
an
?
0(a?
0)②limn?
?
?
n!
③limnk
ann?
?
?
?
0(a?
1,k为常数)④lim
⑤lim
lnn?
0n?
?
?
n(lnn)kn?
n?
?
?
?
0(?
?
0,k为常数)
篇二:
数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题
数列的极限
一、知识要点
1数列极限的定义:
一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{an}的项an无限趋近于.....
某个常数a(即|an-a|无限地接近于0),那么就说数列{an}以a为极限记作
liman?
a.(注:
a不一定是{an}中的项
n?
?
2几个重要极限:
(1)lim
?
0?
a?
1?
?
n
(3)lima?
?
1,?
a?
1?
n?
?
?
不存在,?
a?
1,或a?
?
1?
?
1
?
0
(2)limC?
C(C是常数)
n?
?
n?
?
n
?
0(s?
t)
?
a0nt?
a1nt?
1?
?
?
at?
1n?
at?
a0
(4)lim?
?
(s?
t)
n?
?
bns?
bns?
1?
?
?
bbn?
b01s?
1s?
0
?
不存在(s?
t)?
3.数列极限的运算法则:
如果liman?
A,limbn?
B,那么
n?
?
n?
?
lim(an?
bn)?
A?
Bli(man?
bn)?
A?
B
n?
?
n?
?
aA
lim(an.bn)?
A.Blin?
(B?
0n?
?
n?
?
bBn
4.无穷等比数列的各项和
⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和,当n无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做S?
limSnn?
?
⑵S?
limSn?
n?
?
a1
(0?
|q|?
1)1?
q
二、方法与技巧
⑴只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.
⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.(参与运算的数列都有极限,运算法则适应有限个数列情形)
1
⑶求数列极限最后往往转化为m?
m?
N?
或qnq?
1?
型的极限.
n
⑷求极限的常用方法:
①分子、分母同时除以nm或an.
②求和(或积)的极限一般先求和(或积)再求极限.
1
?
0?
等).
n?
?
n?
?
n
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.
③利用已知数列极限(如limqn?
0q?
1?
lim
⑤∞-∞,
0?
0-0,等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限
0?
题型讲解
例1求下列式子的极限:
①lim
n?
?
(?
1)n
2n2?
n?
72n?
13n2?
2n?
1
;②lim;③lim2;④lim;22n?
?
n?
?
n?
1n?
?
n?
15n?
7n
22n4
++…+)222nnn
(2)lim(n2?
n-n);(3)lim(
n?
?
n?
?
例2liman?
A,limbn?
B是lim?
an?
bn?
?
A?
B的()
n?
?
n?
?
n?
?
A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件
例3数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列,且limana?
a2?
?
?
an
=3,求lim1的
n?
?
bn?
?
nbn2n
an?
a?
n
例4求limn(a>0);
n?
?
a?
a?
n
n2?
1
?
an?
b)?
1,求实数a,b的值;例5已知lim(
n?
?
n?
1
例6已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有lim(
n?
?
a11
-qn)=,求a1的取值范围1?
q2
例7已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足lgan=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整数,c是正数.
(1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn;
(2)求lim
2n?
1?
an2?
an?
1
n
n?
?
的值.
数列极限课后检测
1)
2n?
3n1n
①lim?
=0(α>0)②limq=0③limn=-1④limC=C(C为常数)n?
?
nn?
?
n?
?
2?
3nn?
?
BC4D3)
liman2=A2,则liman=ABan>0,liman=A,则A>0
n?
?
n?
?
n?
?
Climan=A,则liman2=A2Dlim(an-b)=0,则liman=limbn
n?
?
n?
?
n?
?
n?
?
n?
?
3?
n?
2?
n?
(?
1)n(3?
n?
2?
n)
5{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则lim(a1+a2+…+an)
n?
?
2
等于()
61
6{an}中,an的极限存在,a1=,an+an+1=n?
1,n∈N*,则lim(a1+a2+…+an)等于()
n?
?
55
n?
2n2?
2n
7.lim=__________lim=____________
n?
?
1?
2?
?
?
nn?
?
2n2?
3
lim[n(1-
n
?
?
1111)(1-)(1-)…(1-)]=345n?
2
bn2?
can2?
can?
c
8a、b、c是实常数,且lim=2,lim=3,则lim的值是()
n?
?
bn?
cn?
?
cn2?
bn?
?
cn2?
a
9{an}中a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(an,an?
1)在直线x-y-3=0上,则
n?
?
lim
an(n?
1)2
=_____________
{an}公比q=-
18
且lim(a1+a3+a5+…+a2n-1)=,则a1=_____________n?
?
23
11an}满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*)
(1)求{bn}的通项公式;
(2)求lim(
n?
?
1111
+++…+b2?
2b3?
2b4?
2bn?
2
{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且lim
n?
?
an1=,bn2
求极限lim(
n?
?
111++…+)的值a1b1a2b2anbn
例题解析答案
n
例1
的分子有界,分可以无限增大,因此极限为0;
3n2?
2n?
1②的分子次数等于分母次数,极限为两首项(最高项)系数之比;
n2?
1
③lim
n?
?
2n?
1
的分子次数小于于分母次数,极限为02
n?
1
213?
?
2
3n?
2n?
1?
3;
解:
①?
lim?
0;②lim2n?
?
n?
?
n1n?
11?
2
n
21?
2
2n?
1?
0③limlim2?
lim
n?
?
n?
?
n?
1n?
?
1?
2
n
n
2
点评:
分子次数高于分母次数,极限不存在;
分析:
(4)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(5)因n2?
n与n都没有极限,可先分子有理化再求极限;(6解:
(1)lim
n?
?
2n?
n?
7
=limn?
?
5n2?
7
2
2?
17
?
2
n75?
2
n
(2)lim(n2?
n-n)=lim
n?
?
nn?
n?
n
2
n?
?
=lim
11?
?
1
n
n?
?
(3)原式=lim
n?
?
n(n?
1)2?
4?
6?
?
?
2n1==(1+)limlim22n?
?
n?
?
nnn
lim(2n2?
n?
7)?
点评:
对于
(1)要避免下面两种错误:
①原式=n?
?
==1,②∵lim(2n
n?
?
?
lim(5n2?
7)
n?
?
2
+n+7),lim(5n2+7)不存在,∴原式无极限n?
?
对于
(2)要避免出现下面两种错误:
①lim(n2?
n-n)=lim
n?
?
n?
?
n2?
n-limn=
n?
?
∞-∞=0;②原式=lim
n?
?
n2?
n-limn=∞-∞不存在
n?
?
对于(3)要避免出现原式=lim例2B
n?
?
242n++…+=0+0+…+0=0这样的错误limlim222n?
?
n?
?
nnn
例3数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列,且lim值为ana?
a2?
?
?
an
=3,求lim1的
n?
?
bn?
?
nb2nn
解:
由lim
an
=3?
d1=3d2,
n?
?
bn
na1?
n(n?
1)
d1
da1?
a2?
?
?
an?
1点评:
化归思想∴lim=lim
n?
?
n[b?
(2n?
1)d]n?
?
4d2nb2n12
an?
a?
n
例4求limn(a>0);
n?
?
a?
a?
n
an?
a?
n
解:
limn
n?
?
a?
a?
n
1?
1?
2n?
?
1?
limn?
?
1?
1?
?
a2n?
=?
0?
2n
a?
1?
lim?
?
12nn?
?
?
a?
1?
?
?
(a?
1),(a?
1),(0?
a?
1).
点评:
注意分类讨论
n2?
1
?
an?
b)?
1,求实数a,b的值;例5已知lim(
n?
?
n?
1
(1?
a)n2?
(a?
b)n?
b?
1
解:
lim=1,
n?
?
n?
1
∴?
?
1?
a?
0
?
a=1,b=─1?
?
(a?
b)?
1
例6已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有lim(
n?
?
a11
-qn)=,求a1的取值范围1?
q2
解:
lim(
n?
?
a11
-qn)=,1?
q2
篇三:
高中数学极限知识点
极限
一、数列的极限:
对于数列?
xn?
,如果当n无限增大时,数列的相应项xn无限趋近一个确定的常数A,则称当n趋于无穷时,数列?
xn?
以A为极限,记为
limxn?
A或xn?
A(n?
?
)n?
?
式子中“?
”读作“趋于”,这时也称数列?
xn?
是收敛的,若数列?
xn?
没有极限,则称数列?
xn?
是发散的
二、函数的极限
1.当x?
?
时函数的极限
2.当x?
?
?
或x?
?
?
时函数的极限
得到一个充要条件是:
limf(x)?
A的充要条件是limf(x)?
limf(x)?
Ax?
?
x?
?
?
x?
?
?
3.当x?
x0时函数的极限
4.当x?
x0或x?
x0时函数的极限
得到一个充要条件是:
limf(x)?
A的充要条件是lim
x?
x0x?
x0?
?
?
f(x)?
lim?
f(x)?
Ax?
x0
三、极限的运算法则
(1)极限的唯一性如果极限limf(x)存在,则它只有一个极限,即若limf(x)?
A,
x?
x0x?
x0
x?
x0limf(x)?
B,则A=B
(2)极限的运算法则
设limu(x)?
A,limv(x)?
B则有
(1)lim?
u(x)?
v(x)?
?
limu(x)?
limv(x)?
A?
B
(2)lim?
u(x)?
v(x)?
?
limu(x)?
limv(x)?
A?
B
u(x)
v(x)limu(x)limv(x)AB(3)当limv(x)?
B?
0时,lim?
?
推论1如果limu(x)存在,c为常数,则lim(cu(x))?
climu(x)x?
x0x?
x0x?
x0
nn推论2如果limu(x)存在,n?
N,则lim[u(x)]?
[limu(x)]x?
x0x?
x0x?
x0
四、函数的间断点
间断点的分类:
1)第一类间断点
(1)可去间断点:
左右极限相等,但不等于该点的函数值
(2)跳跃间断点:
左右极限存在,但不想等
2)第二类间断点
左右极限至少有一个不存在
篇四:
极限知识点总结及高考题萃
极限
第一部分知识点
第二部分六年高考题萃
考试内容:
教学归纳法.数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求:
(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
极限知识要点
1.⑴第一数学归纳法:
①证明当n取第一个n0时结论正确;②假设当n?
k(k?
N?
k?
n0)时,结论正确,证明当n?
k?
1时,结论成立.
⑵第二数学归纳法:
设P(n)是一个与正整数n有关的命题,如果
①当n?
n0(n0?
N?
)时,P(n)成立;
②假设当n?
k(k?
N?
k?
n0)时,P(n)成立,推得n?
k?
1时,P(n)也成立.那么,根据①②对一切自然数n?
n0时,P(n)都成立.
2.⑴数列极限的表示方法:
①liman?
an?
?
②当n?
?
时,an?
a.
⑵几个常用极限:
①limC?
C(C为常数)n?
?
②limn?
?
?
0(k?
N,k是常数)nk
③对于任意实常数,1
当|a|?
1时,liman?
0n?
?
1/23
当a?
1时,若a=1,则liman?
1;若a?
?
1,则liman?
lim(?
1)n不存在n?
?
n?
?
n?
?
当a?
1时,liman不存在n?
?
⑶数列极限的四则运算法则:
如果liman?
a,limbb?
b,那么n?
?
n?
?
①lim(an?
bn)?
a?
bn?
?
②lim(an?
bn)?
a?
bn?
?
③limana?
(b?
0)n?
?
bnb
特别地,如果C是常数,那么
n?
?
lim(C?
an)?
limC?
liman?
Ca.n?
?
n?
?
⑷数列极限的应用:
求无穷数列的各项和,特别地,当q?
1时,无穷等比数列的各项和为S?
a1(q?
1).1?
q(化循环小数为分数方法同上式)
注:
并不是每一个无穷数列都有极限.
3.函数极限;
⑴当自变量x无限趋近于常数x0(但不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋进于一个常数a,就是说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?
a或当x?
x0时,f(x)?
a.x?
x0
注:
当x?
x0时,f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关,因为x?
x0并不要求x?
x0(当然,f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?
函数f(x)在x0.
有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.)x?
x0
如P(x)?
?
?
x?
1x?
1在x?
1处无定义,但limP(x)存在,因为在x?
1处左右极限均等于?
x?
1x?
1x?
1?
零.
⑵函数极限的四则运算法则:
如果limf(x)?
a,limg(x)?
b,那么x?
x0x?
x0
①lim(f(x)?
g(x))?
a?
bx?
x0
②lim(f(x)?
g(x))?
a?
bx?
x0
2/23
③limx?
x0f(x)a?
(b?
0)g(x)b
特别地,如果C是常数,那么
x?
x0lim(C?
f(x))?
Climf(x).x?
x0
x?
x0lim[f(x)]n?
[limf(x)]n(n?
N?
)x?
x0
注:
①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限:
①lim1?
0n?
?
x
x?
?
?
x?
?
?
il②limax?
0(0<a<1);max?
0(a>1)③limsinxx?
1?
lim?
1x?
0xx?
0sinx
11④lim(1?
)x?
e,lim(1?
x)x?
e(e?
2.71828183)x?
0x?
?
x
4.函数的连续性:
⑴如果函数(fx),g(x)在某一点x?
x0连续,那么函数f(x)?
g(x),f(x)?
g(x),
在点x?
x0处都连续.
⑵函数f(x)在点x?
x0处连续必须满足三个条件:
①函数f(x)在点x?
x0处有定义;②limf(x)存在;③函数f(x)在点x?
x0处的极限值x?
x0f(x)(g(x)?
0)g(x)
等于该点的函数值,即limf(x)?
f(x0).x?
x0
⑶函数f(x)在点x?
x0处不连续(间断)的判定:
如果函数f(x)在点x?
x0处有下列三种情况之一时,则称x0为函数f(x)的不连续点.①f(x)在点x?
x0处没有定义,即f(x0)不存在;②limf(x)不存在;③limf(x)存在,x?
x0x?
x0但limf(x)?
f(x0).x?
x0
5.零点定理,介值定理,夹逼定理:
⑴零点定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)?
f(b)?
0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点?
(a<?
<b)使f(?
)?
0.
⑵介值定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同函数值,f(a)?
A,f(b)?
B,那么对于A,B之间任意的一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点?
,
3/23
使得f(?
)?
C(a<?
<b).
⑶夹逼定理:
设当0?
|x?
x0|?
?
时,有g(x)≤f(x)≤h(x),且limg(x)?
limh(x)?
A,x?
x0x?
x0则必有limf(x)?
A.x?
x0
注:
|x?
x0|:
表示以x0为的极限,则|x?
x0|就无限趋近于零.(?
为最小整数)
6.几个常用极限:
①limqn?
0,q?
1n?
?
?
an
?
0(a?
0)②limn?
?
?
n!
③limnk
ann?
?
?
?
0(a?
1,k为常数)④lim
⑤limlnn?
0n?
?
?
n(lnn)k
n?
n?
?
?
?
0(?
?
0,k为常数)
极限汇编
六年高考荟萃
201X年高考数学分章汇编
极限与连续性
一、选择题:
1.(201X年高考数学湖北卷理科7)如图,在半径为r的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,
又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去.设Sn为前n个圆的面积之和,则limSn?
x?
?
2A.2?
rB.?
r8
32
C.4?
rD.6?
r
【答案】
C22
4/23
2.(201X年高考四川卷理科2)下列四个图像所表示的函数,在点x?
0处连续的是
(A)(B)(C)(D)解析:
由图象及函数连续的性质知,D正确.
答案:
D
3.(201X年高考四川卷理科8)已知数列?
an?
的首项a1?
0,其前n项的和为Sn,且Sn?
1?
2Sn?
a1,则lim
(A)0(B)an?
n?
?
Sn1(C)1(D)22
解析:
由Sn?
1?
2Sn?
a1,且Sn?
2?
2Sn?
1?
a1
作差得an+2=2
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