中考第一轮复习解直角三角形的应用.docx
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中考第一轮复习解直角三角形的应用
第35课时解直角三角形
一、知识点导航
二、中考课标要求
考点
课标要求
知识与技能目标
了解
理解
掌握
灵活应用
解直角三角形
会利用各种关系解直角三角形
∨
∨
了解测量中的概念
∨
能解决某些实际问题
∨
∨
三、中考知识梳理
1.解直角三角形的应用题
对于解直角三角形的应用题,首先要认真反复读题,弄清题意,特别是关键的字、词,其次要准确地画出图形.
2.解斜三角形
对于斜三角形要通过作高把斜三角形转化为直角三角形.
四、中考题型例析
1、解直角三角形
例1(2004·四川)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知AB=4
那么AD=_________.
分析:
在Rt△ACD中,可得∠CAD=30°,则再需设法找出另一条件,可以先解Rt△ACB,求出AC,从而求出AD.
解:
在Rt△ABC中,∠B=30,
∴AC=
AB=2
∵∠CAB=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴∠CAD=
∠CAB=30°,
在Rt△ACD中,cos∠CAD=
∴AD=
=4.
答案:
4.
2.解斜三角形
例2(2003·兰州)如图所示,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,BC=3.
求:
sinA和AB.
分析:
涉及到特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中,因此需过C点作CD⊥AB,利用解直角三角形的知识即可解决.
解:
过C作CD⊥AB,D为垂足.
在Rt△BCD中,∠B=45°,BC=3,
∴DC=BC·sin45°=
∴BD=CD=
在Rt△ADC中,AC=5,CD=
∴sinA=
AD=
∴AB=BD+AD=
.
3.解直角三角形的应用题
例3(2004·青岛)青岛位于北纬36°4′,通过计算可以求得:
在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30′.因此,在规划建设楼高为20m的小区时,两楼间的距离最小为_________m,才能保证不挡光?
(结果保留四个有效数字)
(提示:
sin30°30′=0.507,tan30°30′=0.5890)
分析:
两楼间的最小距离应为
.
答案:
33.96或33.95.
例4(2003·青岛)如图,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只,正以24海里/小时的速度向正东方向航行.为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问①需要几小时才能追上?
(点B为追上时的位置),②确定巡逻艇的追赶方向(精确到0.1°).
参考数据:
sin66.8°≈0.9191cos66.8°≈0.3939
sin67.4°≈0.9231cos67.4°≈0.3846
sin68.4°≈0.9298cos68.4°≈0.3681
sin70.6°≈0.9432cos70.6°≈0.3322
分析:
解题的关键是根据题意计算△ABO的各边长,然后利用勾股定理列方程即可解得.对于第
(2)问借助sin∠AOB=
可求出∠AOB的大小.
解:
(1)如图,设需要t小时才能追上,则AB=24t,OB=26t.
在Rt△AOB中,OB2=OA2+AB2,即(26t)2=102+(24t)2.
解得t=±1.
t=-1不合题意,舍去.
∴t=1.
(2)在Rt△AOB中,
∵sin∠AOB=
∴∠AOB=67.4°.
即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°.
基础达标验收卷
一、选择题
1.(2003·黄石)每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到了国旗的神圣.某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法.在地面距杆脚5m远的地方,他用测倾器测得杆顶的仰角为a,则tana=3,则杆高(不计测倾器高度)为().
A.10mB.12mC.15mD.20m
2.(2003·恩施)如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿着倾角为30°的山坡前进1000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°,则山的高BC大约是(精确到0.01)().
A.1366.00m;B.1482.12m;C.1295.93m;D.1508.21m
3.(2003·孝感)铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:
3,顶宽6m,路基高4m,则路基的下底宽().
A.18mB.15mC.12mD.10m
4.(2003·昆明)已知:
Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=
AB=15,则AC的长是().
A.3B.6C.9D.12
5.(2004·黄冈)如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°,在比例尺为1:
50000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm,则山顶P的海拔高度为()
A.1732m;B.1982m;C.3000m;D.3250m
二、填空题
1.(2004.上海)某山路的路面坡度i=1:
沿此山路向上前进200m,升高了____m.
2.(2004.潍坊)某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20°.已知在钟摆的摆动过程中,摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a=____m(不取近似值).
3.(2003.鄂州)如图,△ABC中,∠C=90°,点D在BC
上,BD=6,AD=BC,cos∠ADC=
则DC的长为______.
三、解答题
1.(2004·泉州)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坡角α=28°,斜坡AB=9m,求拦水坝的高BE.(精确到0.1m,供选用的数据:
sin28°=0.469,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317,cos28°=1.8807)
2.(2003.连云港)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:
AC=BD;
(2)若sinC=
BC=12,求AD的长.
3.(2004·辽宁)已知,如图,A、B、C三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°,今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28°=0.4695,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317,cos28°=1.8807)
4.(2003·汕头)我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m,背水坡度由原来的1:
1改成1:
2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方,要求保留两个有效数字.
(注:
坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:
)
能力提高练习
一、开放探索题
1.(2003.海南)如图,在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.
(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:
(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照
(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.
二、实际应用题
2.(2004.沈阳)某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为(如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:
∠α=24°36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,
(1)当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;
(2)当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图),帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?
(精确到0.01m)
以下数据供计算中选用
sin24°36′=0.416cos24°36′=0.909
tan24°36′=0.458cot24°36′=2.184
sin73°30′=0.959cos73°30′=0.284
tan73°30′=3.376cot73°30′=0.296
3.(2004.常德)高速公路旁有一矩形坡面,其横截面如图所示,公路局为了美化公路沿线环境,决定把矩形坡面平均分成11段相间种草与栽花.已知该矩形坡面的长为550m,铅直高度AB为2m,坡度为2:
1,若种草每平方米需投资20元,栽花每平方米需投资15元,求公路局将这一坡面美化最少需投资多少元?
(结果保留三个有效数字).
4.(2004.南京)如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m.点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).
答案:
基础达标验收卷
一、1.C2.A3.A4.C5.B
二、1.102.
(1-cos10°)3.9
三、1.在Rt△ABE中,AB=9m,a=28°,
∵sina=
∴BE=AB.sinα=9×sin28°≈9×0.47=4.23≈4.2(m).
答:
拦水坝的高BE约为4.2m.
2.
(1)证明:
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tanB=
cos∠DAC=
又tanB=cos∠DAC,
∴
=
∴AC=BD.
(2)解:
在Rt△ADC中,由sinC=
可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,
又由
(1)知BD=AC=13k,
∴13k+5k=12,解得k=
∴AD=8.
3.解:
在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°,
∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km.
在Rt△BCD中,
∵cot∠BCD=
∠DCB=28°,
∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).
∴S△ACD=
AC·BD≈5.76(km2).
∴S绿地≈2.6km2.
答:
绿化用地的面积约为2.6km2.
4.解:
如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.
由tan∠DAH=1:
1=1,
得∠DAH=45°.
∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×
∴AH=DH=
由tan∠F=EG:
FG=1:
2,
得FG=2EG=2h=
∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH
=(
+ED)-
=
+1.6,
∴海堤断面增加的面积
S梯形FADE=
(ED+FA)·h
≈6.4
×1.41+16
≈25.0(m2)
∴工程所需土方=96×S梯形FADE
≈96×25.0=2400=2.4×103(m3).
答:
完成这工程约需土方2.4×103m3.
能力提高练习.
1.
(1)cosB=
c;∠B,∠A+∠B=90°,∠A;a、∠B,tanB=
b.
(2)略
2.解:
在Rt△BCD中,tan∠CDB=
∠CDB=∠α,
∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.
在Rt△ACD中,tan∠CDA=
∠CDA=∠β,
∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).
∴CD=
≈0.57(m).
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m).
答:
BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.
3.解:
∵AB=2m,tan∠ACB=2:
1,
∴BC=1m,∴AC=
.
∵550m长的坡面平均分成了11块,故每块坡面长为50m,为减少投资,应用6块坡面种花,5块坡面种草.
∴公路局要将这块坡地美化最小需投资6×50×
×15+5×50×
×20=9500
≈2.12×104(元).
答:
公路局要将这块坡地美化最小需投资2.12×104元.
(提示:
先确定种花、种草的块数,才能确定投资大小)
4.解:
作CD⊥AB,垂足为D.
设气球离地面的高度是xm.
在Rt△ACD中,∠CAD=45°,
∴AD=CD=x.
在Rt△CBD中,∠CBD=60°,
∴cos60°=
.∴BD=
x,
∵AB=AD-BD,∴20=x-
x.
∴x=30+10
.
答:
气球离地面的高度是(30+10
)m.
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