高等代数北大版课件9.2标准正交基.ppt
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高等代数北大版课件9.2标准正交基.ppt
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2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、正交向量组,9.2标准正交基,二、标准正交基,三、正交矩阵,设为欧氏空间,非零向量,若则是正交向量组.,正交向量组必是线性无关向量组.,一、正交向量组,定义:
如果它们两两正交,则称之为正交向量组.,注:
证:
设非零向量两两正交.,令,则,由知,故线性无关.,维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组,但不是正交向量组.,1.几何空间中的情况,在直角坐标系下,是由单位向量构成的正交向量组,即,二、标准正交基,是的一组基.,设,从,得,即在基下,中的与内积有关的度量性质有,简单的表达形式.,维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组,称为正交基;,2.标准正交基的定义,由单位向量构成的正交基称为标准正交基.,注:
由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准,正交基.,维欧氏空间V中的一组基为标准正交基,维欧氏空间V中的一组基为标准正交基,当且仅当其度量矩阵,维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设为V的一组标准正交基,则,(i)设,由
(1),,这里,(iii),(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能,扩充成一组正交基.,证:
设欧氏空间中的正交向量组,,对作数学归纳法,当时,3.标准正交基的构造施密特(Schmidt)正交化过程,就是一组正交基了.,1),使,假设时结论成立,即此时可找到向量,成为一组正交基.,现在来看的情形.,所以必有向量不能被线性表出,,因为,作向量,待定,从正交向量组的性质知,于是取,即为正交向量组,由归纳法假设知,对这个向量构成的正交组,可得,可扩充得正交基.,于是定理得证,2),都可找到一组标准正交基使,证:
基本方法逐个构成出满足要求的,(定理2)对于维欧氏空间中任一组基,首先,可取,一般地,假定已求出是单位正交的,且,(4),当时,因为有,由(4)知不能被线性表出,按定理1证明中的方法,作向量,再设,可知是单位正交向量组,从(4)和(5)知与,是等价向量组,,因此,有,由归纳原理,定理2得证.,则且,则过渡矩阵是上三角形(即),注:
且,由,知,若,Schmidt正交化过程:
化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,例1.把,变成单位正交的向量组.,解:
令,正交化,再单位化,即为所求,例2.在中定义内积为,求的一组标准正交基,(由基出发作正交化),解:
取,正交化,单位化,于是得的标准正交基,设与是维欧氏空间V中的,两组标准正交基,它们之间过渡矩阵是,即,4.标准正交基间的基变换,或,由于是标准正交基,所以,(6),由公式(3),有,(7),把A按列分块为,由(7)有,(8),则称A为正交矩阵.,2)由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交,矩阵.,三、正交矩阵,1定义,2简单性质,1)A为正交矩阵,3)设是标准正交基,A为正交矩阵,若,则也是标准正交基.,4)为正交矩阵,6)为正交矩阵,
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- 高等 代数 北大 课件 9.2 标准 正交