九年级数学中考复习小专题突破训练全等三角形的应用附答案.docx
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九年级数学中考复习小专题突破训练全等三角形的应用附答案
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练:
全等三角形的应用(附答案)
1.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:
根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
3.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是( )
A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去
4.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A.SASB.ASAC.SSSD.AAS
5.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合,过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC,其依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
6.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一些块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形?
应该带( )
A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块
7.如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线,这条射线就是角的平分线,在这个操作过程中,运用了三角形全等的判定方法是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
8.如图,有一池塘,要测池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接BC并延长至E,使CE=CB,连接ED.若量出DE=58米,则A,B间的距离即可求.依据是( )
A.SASB.SSSC.AASD.ASA
9.如图,红红书上的三角形被墨迹污染了一部分,她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形,那么红红画图的依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
10.如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
11.如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再作出BF的垂线DE,使点A、C、E在同一条直线上(如图),可以说明△ABC≌△EDC,得AB=DE,因此测得DE的长就是AB的长,判定△ABC≌△EDC,最恰当的理由是( )
A.SASB.HLC.SSSD.ASA
12.如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A、B间的距离,如图所示的这种方法,是利用了三角形全等中的( )
A.SSSB.ASAC.AASD.SAS
13.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.HL
14.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形?
应该带第 块.
15.如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE= 度.
16.如图所示,某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带第 块去.(填序号)
17.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有①,②,③,④的四块),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形?
应该带第 块.
18.如图,要测量河两岸相对两点A、B间的距离,先在过点B的AB的垂线上取两点C、D,使CD=BC,再在过点D的垂线上取点E,使A、C、E三点在一条直线上,可证明△EDC≌△ABC,所以测得ED的长就是A、B两点间的距离,这里判定△EDC≌△ABC的理由是 .
19.如图所示,要测量池塘AB宽度,在池塘外选取一点P,连接AP,BP并分别延长,使PC=PA,PD=PB,连接CD.测得CD长为10m,则池塘宽AB为 m.理由是 .
20.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带 去配,这样做的数学依据是 .
21.利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度.首先将两块完全相同的三角板按图1放置,然后交换两块三角板的位置,按图2放置.测量数据如图所示,则升旗台的高度是 cm.
22.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带 去玻璃店.
23.如图,点B、F、C、E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在BE的异侧,如果测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.若BE=14m,BF=5m,则FC的长度为 m.
24.如图,有一池塘,要测池塘两端A,B两点的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A,B两点的C,连接AC并延长AC到点D,使CD=CA,连结BC并延长BC到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出 的长就等于AB的长.这是因为可根据 方法判定△ABC≌△DEC.
25.如图,为了测量池塘两端点A,B间的距离,小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE.现测得DE=30米,则AB两点间的距离为 米.
26.如图,AB=4cm,AC=BD=3cm.∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设运动时间为t(s),则当点Q的运动速度为 cm/s时,△ACP与△BPQ全等.
27.把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽工具(卡钳).如图,若测得AB=5厘米,则槽为 厘米.
28.如图,A,B在一水池的两侧,若BE=DE,∠B=∠D=90°,点A,E,C在同一条直线上,CD=8cm,则水池宽AB= cm.
29.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上.若想知道两点A,B的距离,只需要测量出线段 即可.
30.如图,⊙O的半径为4
,点B是圆上一动点,点A为⊙O内一定点,OA=4,将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC,以AB、BC为邻边作▱ABCD,对角线AC、BD交于E,则OE的最大值为 .
31.用直尺和圆规画一个角等于已知角,是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质,其运用全等的方法是 (用字母写出).
32.如图1、2,小明为了测出塑料瓶直壁厚度,由于不便测出塑料瓶的内径,小明动手制作一个简单的工具(如图2,AC=BD,O为AC、BD的中点)解决了测瓶的内径问题,测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b,瓶直壁厚度x= (用含a,b的代数式表示).
33.把等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式立在桌面上,顶点A顶着桌面,若另两个顶点分别距离桌面5cm和3cm,则过另外两个顶点向桌面作垂线,则垂足之间的距离即DE的长为 .
34.在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A、B两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案.
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)计算AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).
35.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:
△ADC≌△CEB;
(2)求两堵木墙之间的距离.
36.如图,△ABC中,AB=BC=CA,∠A=∠ABC=∠ACB,在△ABC的顶点A,C处各有一只小蚂蚁,它们同时出发,分别以相同速度由A向B和由C向A爬行,经过t(s)后,它们分别爬行到了D,E处,设DC与BE的交点为F.
(1)证明△ACD≌△CBE;
(2)小蚂蚁在爬行过程中,DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化?
请说明理由.
37.如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?
38.小明家门前有一条小河,村里准备在河面上架上一座桥,但河宽AB无法直接测量,爱动脑的小明想到了如下方法:
在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD= ,再引出BF的垂线DG,在DG上取一点E,并使A、C、E在一条直线上,这时测出线段 的长度就是AB的长.
(1)按小明的想法填写题目中的空格;
(2)请完成推理过程.
39.数学家鲁弗斯设计了一个仪器,它可以三等分一个角.如图所示,A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上,且OA=OB=OC=OD,E、F可以在中间的两根木条上滑动,AE=CE=BF=DF.
求证:
∠AOE=∠EOF=∠FOD.
40.如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等,两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系?
41.如图,要测量河两岸相对两点A、B间的距离,在河岸BM上截取BC=CD,作ED⊥BD交AC的延长线于点E,垂足为点D.(DE≠CD)
(1)线段 的长度就是A、B两点间的距离
(2)请说明
(1)成立的理由.
42.课间,小明拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图所示.
(1)求证:
△ADC≌△CEB;
(2)若DE=42cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
参考答案
1.解:
在△ADC和△ABC中,
,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
即∠QAE=∠PAE.
故选:
D.
2.解:
A、带①去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不能得到与原来一样的三角形,故A选项错误;
B、带②去,仅保留了原三角形的一部分边,也是不能得到与原来一样的三角形,故B选项错误;
C、带③去,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边,符合ASA判定,故C选项正确;
D、带①和②去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,同样不能得到与原来一样的三角形,故D选项错误.
故选:
C.
3.解:
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带③去.
故选:
C.
4.解:
∵O是AA′、BB′的中点,
∴AO=A′O,BO=B′O,
在△OAB和△OA′B′中
,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS),
故选:
A.
5.解:
∵在△ONC和△OMC中
,
∴△MOC≌△NOC(SSS),
∴∠BOC=∠AOC,
故选:
A.
6.解:
1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不能带它们去,
只有第2块有完整的两角及夹边,符合ASA,满足题目要求的条件,是符合题意的.
故选:
B.
7.解:
在△ADC和△ABC中,
,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
∴AC就是∠DAB的平分线.
故选:
A.
8.解:
在△ABC和△DEC中,
,
△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE=58米,
故选:
A.
9.解:
根据题意,三角形的两角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故选:
C.
10.解:
如图,∠A、AB、∠B都可以测量,
即他的依据是ASA.
故选:
B.
11.解:
因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:
CD=BC,∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.
故选:
D.
12.解:
观察图形发现:
AC=DC,BC=BC,∠ACB=∠DCB,
所以利用了三角形全等中的SAS,
故选:
D.
13.解:
因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:
CD=BC,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.
故选:
C.
14.解:
1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不能带它们去,
只有第2块有完整的两角及夹边,符合ASA,满足题目要求的条件,是符合题意的.
故答案为:
2.
15.解:
∵△ABC与△DEF均是直角三角形,BC=EF,AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°.
故填90
16.解:
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带③去.
故答案为:
③.
17.解:
②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不能带它们去,
只有第①块有完整的两角及夹边,符合ASA,满足题目要求的条件,是符合题意的.
故答案为:
①.
18.解:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠ABD=∠EDC=90°,
在△EDC和△ABC中,
,
∴△EDC≌△ABC(ASA).
故答案为:
ASA.
19.解:
在△APB和△DPC中
,
∴△APB≌△DPC(SAS);
∴AB=CD=10米(全等三角形的对应边相等).
故池塘宽AB为10m.理由是全等三角形的对应边相等.
故答案为:
10,全等三角形的对应边相等.
20.解:
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.
故答案为:
③;两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
21.解:
设升旗台的高度是zcm,AC=xcm,BC=ycm.
由题意:
,
①+②可得,2z=138,
∴z=69,
故答案为69.
22.解:
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.应带③去.
故答案为:
③.
23.解:
∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴BC=EF,
∴BC﹣FC=EF﹣FC,
即BF=CE=5m,
∴FC=BE﹣BF﹣CE=14m﹣5m﹣5m=4m;
故答案为:
4.
24.解:
量出DE的长就等于AB的长.这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC.
故答案为:
DE,SAS.
25.解:
在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE=30米,
故答案为:
30.
26.解:
设点Q的运动速度是xcm/s,
∵∠CAB=∠DBA,
∴△ACP与△BPQ全等,有两种情况:
①AP=BP,AC=BQ,
则1×t=4﹣1×t,
解得:
t=2,
则3=2x,
解得:
x=1.5;
②AP=BQ,AC=BP,
则1×t=tx,4﹣1×t=3,
解得:
t=1,x=1,
故答案为:
1或1.5.
27.解:
连接AB,
∵把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起,
∴A′O=OB,B′O=AO,
在△ABO和△A′B′O中
,
∴△AOB≌△A′OB′(SAS),
∴A′B′=AB=5cm,
故答案为:
5.
28.解:
在△ABE和△CDE中
,
∴△ABE≌△CDE(ASA),
∴CD=AB=8cm.
故答案为:
8.
29.解:
利用CD=BC,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法,可以证明△ABC≌△EDC,
故想知道两点A,B的距离,只需要测量出线段DE即可.
故答案为:
DE.
30.解:
如图,构造等腰△OAF,使得AO=AF,∠OAF=120°,连接CF,OB,取AF的中点J,连接EJ.
∵∠BAC=∠OAF=120°,
∴∠BAO=∠CAF,
∵AB=AC,AO=AF,
∴△OAB≌△FAC(SAS),
∴CF=OB=4
,
∵四边形BCDA是平行四边形,
∴AE=EC,∵AJ=JF,
∴EJ=
CF=2
,
∴点E的运动轨迹是以J为圆心,EJ为半径的圆,
易知OJ=2
当点E在OJ的延长线上时,OE的值最大,最大值为OJ+JE=2
+2
,
故答案为2
+2
.
31.
解:
①设已知角的顶点为O,以O为圆心,任意长度为半径画圆,交角两边为A,B两点;
②用直尺画一条射线,端点为M,以M为圆心,用同样的半径画圆,该圆为圆M,交射线为C点;
③以A为圆心,以AB为半径画圆,然后以C点为圆心,以同样的半径画圆,交圆M于D,E两点,随意连MD或者ME;
得到的∠CMD就是所求的角;
由以上作角过程不难看出有三个对应边相等.
∴证明全等的方法是SSS.
故答案为:
SSS.
32.解:
∵AC=BD,O为AC、BD的中点,
∴DO=OB.OA=CO,
在△DOC和△BOA中
,
∴△DOC≌△BOA(SAS),
∴AB=DC=b,
∴x+x+b=a,
解得:
x=
.
故答案为:
.
33.解:
∵∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°,
∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠ECA=∠DAB,∠EAC=∠DBA,
在△AEC和△BAD中
,
∴△AEC≌△BAD(ASA),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8.
故答案为:
8cm.
34.解:
(1)见图:
(2)在湖岸上选一点O,连接BO并延长到C使BO=OC,连接AO并延长到点D使OD=AO,连接CD,则AB=CD.测量DC的长度即为AB的长度;
(3)设DC=m
∵BO=CO,∠AOB=∠COD,AO=DO
∴△AOB≌△COD(SAS)
∴AB=CD=m.
35.
(1)证明:
由题意得:
AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC
在△ADC和△CEB中
,
∴△ADC≌△CEB(AAS);
(2)解:
由题意得:
AD=2×3=6cm,BE=7×2=14cm,
∵△ADC≌△CEB,
∴EC=AD=6cm,DC=BE=14cm,
∴DE=DC+CE=20(cm),
答:
两堵木墙之间的距离为20cm.
36.
(1)证明:
∵小蚂蚁同时从A、C出发,速度相同,
∴t(s)后两只小蚂蚁爬行的路程AD=CE,
∵在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(SAS);
(2)解:
∵△ACD≌△CBE,
∴∠EBC=∠ACD,
∵∠BFC=180°﹣∠EBC﹣∠BCD,
∴∠BFC=180°﹣∠ACD﹣∠BCD,
=180°﹣∠ACB,
∵∠A=∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=60°,
∴∠BFC=180°﹣60°=120°,
∴∠BFC无变化.
37.解:
量出DE的长就等于AB的长,理由如下:
在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE.
38.解:
(1)在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD=CB,再引出BF的垂线DG,在DG上取一点E,并使A、C、E在一条直线上,这时测出线段DE的长度就是AB的长.
故答案为:
CB,DE;
(2)由题意得DG⊥BF,
∴∠CDE=∠CBA=90°,
在△ABC和△EDC中,
,
∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴DE=AB(全等三角形的对应边相等).
39.证明:
在△AOE和△COE中,
,
∴△AOE≌△COE(SSS),
∴∠AOE=∠COE,
同理∠COE=∠FOD,
∴∠AOE=∠EOF=∠FOD.
40.证明:
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
41.解:
(1)线段DE的长度就是A、B两点间的距离;
故答案为:
DE;
(2)∵AB⊥BC,DE⊥BD
∴∠ABC=∠EDC=90°
又∵∠ACB=∠DCE,BC=CD
∴△ABC≌△CDE(ASA)
∴AB=DE.
42.
(1)证明:
由题意得:
AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(AAS);
(2)解:
由题意得:
∵一块墙砖的厚度为a,
∴AD=4a,BE=3a,
由
(1)得:
△ADC≌△CEB,
∴DC=BE=3a,AD=CE=4a,
∴DC+CE=BE+AD=7a=42,
∴a=6,
答:
砌墙砖块的厚度a为6cm
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