高等代数北大版课件7.4特征值与特征向量.ppt
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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.4特征值与特征向量,一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,7.4特征值与特征向量,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,7.4特征值与特征向量,从本节开始,我们主要讨论,如何选择一组适当,的基,使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是,一个对角矩阵?
引入,有限维线性空间V中取定一组基后,V的任一线性,希望这个矩阵越简单越好,如对角矩阵.,变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质,,7.4特征值与特征向量,设是数域P上线性空间V的一个线性变换,,则称为的一个特征值,称为的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义:
若对于P中的一个数存在一个V的非零向量,使得,的特征向量.,7.4特征值与特征向量,几何意义:
特征向量经线性变换后方向保持,由此知,特征向量不是被特征值所唯一确定的,,注:
若是的属于特征值的特征向量,则,也是的属于的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的,即,若且,则,7.4特征值与特征向量,设是V的一组基,,线性变换在这组基下的矩阵为A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析:
设是的特征值,它的一个特征向量在基,则在基下的坐标为,7.4特征值与特征向量,而的坐标是,于是,又,从而,又,即是线性方程组的解,,有非零解.,所以它的系数行列式,7.4特征值与特征向量,以上分析说明:
若是的特征值,则,反之,若满足,则齐次线性方程组有非零解.,若是一个非零解,,特征向量.,则向量就是的属于的一个,7.4特征值与特征向量,设是一个文字,矩阵称为,称为A的特征多项式.,1.特征多项式的定义,A的特征矩阵,它的行列式,(是数域P上的一个n次多项式),7.4特征值与特征向量,矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注:
若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵,,而是的一个特征值,则是特征多项式,的根,即,的一个特征值.,反之,若是A的特征多项式的根,则就是,(所以,特征值也称特征根.),而相应的线性方程组的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,7.4特征值与特征向量,i)在V中任取一组基写出在这组基下,就是的全部特征值.,ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们,2.求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A.,iii)把所求得的特征值逐个代入方程组,的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.),并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,7.4特征值与特征向量,则,就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.,而,(其中,不全为零),就是的属于的全部特征向量.,如果特征值对应方程组的基础解系为:
7.4特征值与特征向量,对皆有,所以,V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中,数乘变换K在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵kE,它的特征多项式是,故数乘法变换K的特征值只有数k,且,7.4特征值与特征向量,解:
A的特征多项式,例2.设线性变换在基下的矩阵是,求特征值与特征向量.,故的特征值为:
(二重),7.4特征值与特征向量,把代入齐次方程组得,即,它的一个基础解系为:
因此,属于的两个线性无关的特征向量为,而属于的全部特征向量为,不全为零,7.4特征值与特征向量,因此,属于5的一个线性无关的特征向量为,把代入齐次方程组得,解得它的一个基础解系为:
而属于5的全部特征向量为,7.4特征值与特征向量,三、特征子空间,定义:
再添上零向量所成的集合,即,设为n维线性空间V的线性变换,为,的一个特征值,令为的属于的全部特征向量,7.4特征值与特征向量,注:
的解空间的维数,且由方程组(*)得到的属于的,若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A,则,即特征子空间的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是的一组基.,7.4特征值与特征向量,四、特征多项式的有关性质,1.设则A的特征多项式,由多项式根与系数的关系还可得,A的全体特征值的积,称之为A的迹,记作trA.,7.4特征值与特征向量,证:
设则存在可逆矩阵X,使得,2.(定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.,于是,,7.4特征值与特征向量,注:
有相同特征多项式的矩阵未必相似.,成是矩阵A的特征值与特征向量.,它们的特征多项式都是,但A、B不相似.,多项式;而线性变换的特征值与特征向量有时也说,因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征,由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.,如,7.4特征值与特征向量,设为A的特征多项式,则,证:
设是的伴随矩阵,则,3.哈密尔顿凯莱(HamiltonCaylay)定理,都是的多项式,且其次数不超过n1.,又的元素是的各个代数余子式,它们,因此,可写成,7.4特征值与特征向量,其中,都是的数字矩阵.,再设,比较、两式,得,7.4特征值与特征向量,以依次右乘的第一式、第二式、,、第n式、第n1式,得,7.4特征值与特征向量,把的n1个式子加起来,即得,4.设为有限维线性空间V的线性变换,是,的特征多项式,则,7.4特征值与特征向量,例3.设求,解:
A的特征多项式,用去除得,7.4特征值与特征向量,7.4特征值与特征向量,练习1:
已知为A的一个特征值,则,
(1)必有一个特征值为;,
(2)必有一个特征值为;,(3)A可逆时,必有一个特征值为;,(4)A可逆时,必有一个特征值为.,(5)则必有一个特征值为.,7.4特征值与特征向量,行列式.,练习2:
已知3阶方阵A的特征值为:
1、1、2,,则矩阵的特征值为:
,,
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- 高等 代数 北大 课件 7.4 特征值 特征向量
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