高考数学212 条件概率及相互独立事件n次独立重复试验模型及二项分布.docx
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高考数学212条件概率及相互独立事件n次独立重复试验模型及二项分布
21.2 条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
条件概率及相互独立事件
1.条件概率
2.求相互独立事件的概率
★★☆
n次独立重复试验模型及二项分布
1.n次独立重复试验模型
2.二项分布的求解
分析解读 本节作为江苏的选考内容在江苏高考中是间或出现的,通常与随机变量及其分布列、超几何分布结合在一起考查,难度一般中等.
破考点
【考点集训】
考点一 条件概率及相互独立事件
1.(2019届江苏连云港赣榆中学月考)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
解析 记A表示事件:
“该地的1位车主购买甲种保险”;
B表示事件:
“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”;
C表示事件:
“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”;
D表示事件:
“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”;
E表示事件:
“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
P(E)=×0.2×0.82=0.384.
2.(2018江苏淮安清江中学月考)有甲、乙、丙、丁四名网球运动员,通过对过去战绩的统计,在一场比赛中,甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6,0.8,0.9.
(1)若甲和乙之间进行三场比赛,求甲恰好胜两场的概率;
(2)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求甲恰好胜两场的概率.
解析
(1)甲和乙之间进行三场比赛,甲恰好胜两场的概率P=×0.62×0.4=0.432.
(2)记“甲胜乙”“甲胜丙”“甲胜丁”三个事件分别为A,B,C,则P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(C)=0.9.
则四名运动员每两人之间进行一场比赛,甲恰好胜两场的概率P(AB+AC+BC)=P(A)P(B)(1-P(C))+P(A)(1-P(B))P(C)+(1-P(A))P(B)P(C)=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9=0.444.
考点二 n次独立重复试验模型及二项分布
1.(2018江苏苏州新区一中月考)在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的概率分布列.
解析
(1)记A表示事件“甲选做第21题”,B表示事件“乙选做第21题”,
则“甲选做第22题”为,“乙选做第22题”为,则甲、乙两名学生选做同一道题为事件AB+ .
∵事件A,B相互独立,∴,相互独立,
∴P(AB+ )=P(AB)+P( )=P(A)P(B)+P()P()=×+×=.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B,
∴P(ξ=k)=·=(k=0,1,2,3,4),
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
2.(2019届江苏常州二中月考)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;
(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).
解析
(1)依题意知X~B,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”i=1,2.
Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.
依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,
P(A2)=P(B2)=0.3,
A=A1∪B1∪A1B1∪A2B2,
所求的概率为
P(A)=P(A1)+P(B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)·P()+P()P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.
炼技法
【方法集训】
方法 独立重复试验及二项分布
1.(2019届江苏常州一中周练)某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数及频率如下表:
人数
0~6
7~12
13~18
19~24
25~30
31人及以上
频率
0.10
0.15
0.25
0.20
0.20
0.10
(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是多少?
(2)全线途经10个停靠点,若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗?
解析
(1)由题表知,乘客人数不超过24人的频率是0.10+0.15+0.25+0.20=0.70,
则从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是0.70.
(2)由题表知,从每个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率约为,设途经10个停靠站,乘车人数超过18人的个数为X,
则X~B,
∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)
=1--×
=1--10×=>0.9,
故该线路需要增加班次.
2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析
(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.
因为P(A1)==,P(A2)==,
所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,
P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)
=×+×=.
故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,
由
(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.
于是P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)=3×=.
过专题
【五年高考】
统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 条件概率及相互独立事件
1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 .
答案 0.648
2.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:
回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
解析
(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,得
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)
=×+×+×+×=,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
由事件的独立性和互斥性,得
P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,
P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,
P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.
可得随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
3.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析 记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:
甲需使用设备,
C表示事件:
丁需使用设备,
D表示事件:
同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)
=0.31.(6分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=P(·A0·)
=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,
P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)
数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)
考点二 n次独立重复试验模型及二项分布
1.(2018课标全国Ⅲ理改编,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)
答案 0.6
2.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .
答案
3.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
答案
4.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg)
300
500
概 率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概 率
0.4
0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
解析
(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,
300×10-1000=2000,300×6-1000=800.
P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),
由题意知C1,C2,C3相互独立,由
(1)知,
P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于2000元的概率为
P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
评析本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.
教师专用题组
1.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:
每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解析
(1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有P(X=10)=××=,
P(X=20)=××=,
P(X=100)=××=,
P(X=-200)=××=.
所以X的分布列为
X
10
20
100
-200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P(A1A2A3)=1-=1-=.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.
这表明,获得的分数X的均值为负.
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算求解能力、应用意识和创新意识.
2.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
解析
(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,
则P(A)==,P(B)==.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P(A)=P(A)·P()
=P(A)·[1-P(B)]
=×=.
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P(C)==,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P(X=0)=P( )=××=,
P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)
=××+××+××=,
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=,
P(X=3)=P(ABC)=××=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.
【三年模拟】
一、填空题(每小题5分,共20分)
1.(2018江苏海门中学检测)打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是 .
答案
2.(2019届江苏丹阳中学月考)如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为 .
答案
3.(2019届江苏太仓中学月考)端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为 .
答案
4.(2019届江苏盱眙中学月考)在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为 .
答案
二、解答题(共50分)
5.(2018江苏徐州铜山中学期中)某同学在上学路上要经过A,B,C三个有红绿灯的路口,已知他在A,B,C三个路口遇到红灯的概率依次是,,,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.
(1)求这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率;
(2)记这名同学因遇到红灯停留的总时间为X秒,求X的概率分布列与期望E(X).
解析
(1)设这名同学在第三个路口C首次遇到红灯为事件M,
因为事件M等于事件“这名同学在第一个路口A和第二个路口B都没有遇到红灯,在第三个路口C遇到红灯”,所以P(M)=××=.
答:
这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率为.
(2)X的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140.
P(X=0)=××=;
P(X=20)=××=;
P(X=40)=××=;
P(X=60)=××=;
P(X=80)=××=;
P(X=100)=××=;
P(X=120)=××=;
P(X=140)=××=.
所以X的分布列为
X
0
20
40
60
80
100
120
140
P
所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×+100×+120×+140×=.
6.(2018江苏苏中三市、苏北四市三调)将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.
(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率;
(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数,求X的分布列和数学期望E(X).
1
2
3
4
解析
(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中,共有44=256(种)不同放法.
记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A,
则事件A共包含=24(个)基本事件,
所以P(A)==,
所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.
(2)解法一:
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.
解法二:
每本书放入2号抽屉的概率为P(B)=,则P()=1-=.
根据题意知X~B,所以P(X=k)=·,k=0,1,2,3,4,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的数学期望为E(X)=4×=1.
7.(2017江苏南京、盐城高三第一次模拟)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;
(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的分布列与数学期望E(X).
解析
(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率P=1-=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得X~B,
P(X=k)=·,k=0,1,2,3,4,5.
则P(X=0)=·=,
P(X=1)=··=,
P(X=2)=··=,
P(X=3)=··=,
P(X=4)=··=,P(X=5)=·=,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以X的数学期望E(X)=0×+×1+×2+×3+×4+×5=.
或E(X)=5×=
8.(2019届江苏溧阳中学月考)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛.双方约定:
①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利,比赛结束);
②双方各派出三名队员,前三场每位队员各比赛一场.已知甲俱乐部派出队员A1,A2,
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