高等代数北大版课件6.6子空间的交与和.ppt
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高等代数北大版课件6.6子空间的交与和.ppt
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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,小结与习题,第六章线性空间,6.6子空间的交与和,6.6子空间的交与和,一、子空间的交,二、子空间的和,三、子空间交与和的有关性质,6.6子空间的交与和,也为V的子空间,,设V1、V2为线性空间V的子空间,则集合,一、子空间的交,1、定义,任取,则有,同时有,故为V的子空间.,事实上,,称之为V1与V2的交空间.,6.6子空间的交与和,显然有,为线性空间V的子空间,则集合,也为V的子空间,称为的交空间.,6.6子空间的交与和,二、子空间的和,1、定义,其中,则有,称之为V1与V2的和空间.,任取设,事实上,,6.6子空间的交与和,显然有,为线性空间V的子空间,则集合,也为V的子空间,称为的和空间.,6.6子空间的交与和,V的两子空间的并集未必为V的子空间.例如,注意:
皆为R3的子空间,但是它们的并集,并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭,如,但是,6.6子空间的交与和,三、子空间的交与和的有关性质,2、设为线性空间V的子空间,则以下三,1、设为线性空间V的子空间,1)若则,2)若则,条件等价:
6.6子空间的交与和,3、为线性空间V中两组,向量,则,4、维数公式(定理7),设为线性空间V的两个子空间,则,或,6.6子空间的交与和,由扩基定理,它可扩充为V1的一组基,证:
设,取的一组基,它也可扩充为V2的一组基,即有,6.6子空间的交与和,所以,有,下证,线性无关.,令,假设有等式,6.6子空间的交与和,则有,令,即可被线性表出,则,即,从而有,由于线性无关,得,因而,6.6子空间的交与和,由于线性无关,得,所以,,线性无关.,因而它是的一组基.,6.6子空间的交与和,注:
从维数公式中可以看到,子空间的和的维数,往往比子空间的维数的和要小.,例如,在R3中,设子空间,其中,,但,,则,,由此还可得到,,是一直线.,6.6子空间的交与和,推论:
设为n维线性空间V的两个子空间,,若,则必含非零的公共,向量.即中必含有非零向量.,证:
由维数公式有,又是V的子空间,,故中含有非零向量.,6.6子空间的交与和,与,的解空间,则就是齐次线性方程组,例1、在中,用分别表示齐次线性方程组,6.6子空间的交与和,的解空间.,证:
设方程组,分别为,6.6子空间的交与和,即,设W为的解空间,任取,有,从而,反之,任取,则有,从而,故,6.6子空间的交与和,例2、在中,设,1)求的维数的与一组基;,2)求的维数的与一组基.,6.6子空间的交与和,解:
1)任取,设,则有,6.6子空间的交与和,为一维的.,2),对以为列向量的矩阵A作初等行变换,6.6子空间的交与和,为3维的,,由B知,为的一个极大无关组.,为其一组基.,6.6子空间的交与和,练习:
在中,令,求及,易知,皆为的子空间.,6.6子空间的交与和,解:
任取,由有,由有,故,,从而,,6.6子空间的交与和,再求,因为,,6.6子空间的交与和,所以,,
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