第十三章 轴对称134 最短路径问题练习.docx

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第十三章轴对称134最短路径问题练习

第十三章轴对称

13.4最短路径问题（练习）

精选练习

一、单选题（共10小题）

1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

A．点AB．点BC．AB之间D．BC之间

【答案】A

【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．

【详解】解：

①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），

②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），

④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：

30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，

⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．

∴该停靠点的位置应设在点A；

故选：

A．

【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．

2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直），下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.

【详解】

解：

如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，

∴四边形AMNI为平行四边形，

∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.

故选：

C.

【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

3．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（）

A．D区B．A区C．AB两区之间D．BC两区之间

【答案】D

【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答．

【详解】解：

∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：

20×800+15×400+5×200=23000m；

当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：

15×400+5×600+30×800=33000m；

当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：

20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；

当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：

20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m．

∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间．

故选：

D．

【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．

4．如图所示，从点A到点F的最短路线是（）

A．A→D→E→FB．A→C→E→F

C．A→B→E→FD．无法确定

【答案】C

【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中AB,EF的线路是固定的,则需要确定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.

【详解】解:

由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,

故答案选C.

【点睛】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键．

5．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（）

A．l＞m＞nB．l=m＞nC．m＜n=lD．l＞n＞m

【答案】C

【解析】分析：

根据两点间直线距离最短，认真观察图形，可知①③都是相当于走直角线，故①③相等，②走的是直线，最短．

详解：

由题意可得：

∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，

则AC+AB=l＞BC

∴l=n＞m．

故选：

C．

点睛：

本题考查了生活中的平移现象，要求学生充分利用两点间线段距离最近．

6．如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线的某点处修建一个向，供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．

【详解】解：

作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．

根据两点之间，线段最短，可知选项A铺设的管道最短．

故选：

A．

【点睛】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

7．下列命题是真命题的是（）

A．两点之间的距离是这两点间的线段

B．墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”

C．同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种

D．同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】D

【解析】根据两点间的距离的定义、垂线的性质即可作出判断．

【详解】A、两点之间的距离是这两点间的线段的长度，故错误；

B、墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点可以确定一条直线”，故错误；

C、同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故错误；

D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确．

故选：

D．

【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8．（2017·淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线

C．经过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短

【答案】D

【解析】

试题解析：

由图可知，剪掉一部分，相当于用一条线段取代了连接原来两点之间的曲线.根据线段公理：

两点之间，线段最短，所以剩下树叶的周长比原树叶的周长要小.

故本题应选D.

点睛：

直线公理是指两点确定一条直线，而线段公理是指两点之间线段最短，我们要清楚这两者的区别.

9．（2017·淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）下列说法正确的是（）

A．两点之间的连线中，直线最短B．若P是线段AB的中点，则AP＝BP

C．若AP＝BP，则P是线段AB的中点D．两点之间的线段叫做这两点之间的距离

【答案】B

【解析】

A中，两点之间线段最短，故A错误；

B中，若P是线段AB的中点，则点P到A、B的距离相等，即AP=BP，故B正确；

C中，若AP=BP，点P不一定是线段AB的中点，如,故C错误；

D中，两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故D错误．

故选B．

10．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．

故选C．

二、解答题（共3小腿）

11．（2019·兰州市外国语学校初一期末）如下图所示.

（1）作出△ABC关于y轴对称的图形；

（2）在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析.

【解析】

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；

（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P

【详解】解：

（1）如图所示，△ABC即为所求；

（2）如图所示，点P即为所求（有两种做法：

作A或C的对称点均可）.

【点睛】此题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，掌握作图法则是解题关键

12．（2018·泸西县中枢镇逸圃初级中学初二期中）作图题（保留作图痕迹，不写作法）

如图，A、B两村在一条小河MN的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．

（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，在图1中用尺规作图作出厂址P的位置．

（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，在图2中作出厂址Q的位置．

【答案】作图见解析.

【解析】

试题分析：

（1）根据中垂线的性质知，作AB的中垂线，交于直线MN于点P就是所求的点；

（2）由三角形的三边关系，三角形是任意两边之和大于第三边知，故作出点A关于直线MN的对称点E，连接BE交于直线MN的点Q是所求的点．

试题解析：

（1）如图所示：

点P即为所求；

（2）如图所示：

点Q即为所求.

13．（2017·内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第二中学初二期中）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？

为什么？

【答案】见解析

【解析】试题分析：

可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．

试题解析：

如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C、D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．

点睛：

此题考查轴对称最短路径问题，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题.凡是涉及到最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.