人教版八年级下册数学18平行四边形教案.docx
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人教版八年级下册数学18平行四边形教案
第一课时平行四边形的性质〔1〕
一、教学目的
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.
2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证.
3.培养学生发现问题、解决问题的能力与逻辑推理能力.
二、重点、难点
4.重点:
平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以与性质的应用.
5.难点:
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
三、教学过程
1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?
平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗?
你能总结出平行四边形的定义吗?
<1>定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
<2>表示:
平行四边形用符号"
"来表示.
如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,那么四边形ABCD是平行四边形.平行四边形ABCD记作"
ABCD",读作"平行四边形ABCD".
①∵AB//DC,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形〔判定〕;
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC,AD//BC〔性质〕.
注意:
平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.〔教学时要结合图形,让学生认识清楚〕
2.[探究]平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?
我们一起来探究一下.
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系?
度量一下,是不是和你猜想的一致?
〔1〕由定义知道,平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角.
〔相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角.注意和第一章的邻角相区别.教学时结合图形使学生分辨清楚.〕
〔2〕猜想平行四边形的对边相等、对角相等.
下面证明这个结论的正确性.
已知:
如图
ABCD,
求证:
AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
分析:
作
ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ABC和△CDA,证明这两个三角形全等即可得到结论.
〔作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.〕
证明:
连接AC,
∵ AB∥CD,AD∥BC,
∴∠1=∠3,∠2=∠4.
又 AC=CA,
∴△ABC≌△CDA〔ASA〕.
∴ AB=CD,CB=AD,∠B=∠D.
又∠1+∠4=∠2+∠3,
∴∠BAD=∠BCD.
由此得到:
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.
平行四边形性质2平行四边形的对角相等.
四、例题分析
例1〔见教材例1〕
例2〔补充〕如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,
求证:
AF=CE.
分析:
要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由"边角边"可得出所需要的结论.
五、随堂练习
1.填空:
〔1〕在
ABCD中,∠A=
则∠B=度,∠C=度,∠D=度.
〔2〕如果
ABCD中,∠A—∠B=240,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,∠D=度.
〔3〕如果
ABCD的周长为28cm,且AB:
BC=2∶5,那么AB=cm,BC=cm,CD=cm,CD=cm.
2.如图4.3-9,在
ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:
BE=DF.
六、作业设计:
第二课时平行四边形的性质〔2〕
一、教学目的
1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.
3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
二、重点、难点
4.重点:
平行四边形对角线互相平分的性质,以与性质的应用.
5.难点:
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
三、教学过程
1.复习提问:
〔1〕什么样的四边形是平行四边形?
四边形与平行四边形的关系是:
〔2〕平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质〔内角和是
〕.
②角:
平行四边形的对角相等,邻角互补.
边:
平行四边形的对边相等.
2.[探究]:
请学生在纸上画两个全等的
ABCD和
EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形落在一起,在点O处钉一个图钉,将
ABCD绕点O旋转
观察它还和
EFGH重合吗?
你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?
进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?
结论:
〔1〕平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;
〔2〕平行四边形的对角线互相平分.
四、习题分析
例1〔补充〕 已知:
如图4-21,
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:
OE=OF,AE=CF,BE=DF.
证明:
在
ABCD中,AB∥CD,
∴∠1=∠2.∠3=∠4.
又OA=OC<平行四边形的对角线互相平分>,
∴△AOE≌△COF〔ASA〕.
∴ OE=OF,AE=CF〔全等三角形对应边相等〕.
∵
ABCD,∴AB=CD〔平行四边形对边相等〕.
∴AB—AE=CD—CF.即BE=FD.
※[引申]若例1中的条件都不变,将EF转动到图b的位置,那么例1的结论是否成立?
若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交〔图c和图d〕,例1的结论是否成立,说明你的理由.
解略
例2已知四边形ABCD是平行四边形,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,求BC、CD、AC、OA的长以与
ABCD的面积.
分析:
由平行四边形的对边相等,可得BC、CD的长,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,根据平行四边形的面积计算公式:
平行四边形的面积=底×高〔高为此底上的高〕,可求得
ABCD的面积.〔平行四边形的面积小学学过,再次强调"底"是对应着高说的,平行四边形中,任一边都可以作为"底","底"确定后,高也就随之确定了.〕3.平行四边形的面积计算
五、随堂练习
1.在平行四边形中,周长等于48,
1
已知一边长12,求各边的长
2已知AB=2BC,求各边的长
3已知对角线AC、BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长
2.如图,
ABCD中,AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm,则△OBC的周长是_______cm.
3.
ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成
的两条线段,则
ABCD的周长是_____
.
六、作业设计:
第三课时平行四边形的判定〔1〕
一、教学目标:
1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
3.培养用类比、逆向联想与运动的思维方法来研究问题.
二、重点、难点
重点:
平行四边形的判定方法与应用.
难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.
三、教学过程
〔一〕温故知新
1.如图在平行四边形ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=.
2.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,已知AE=4,AF=6,□ABCD的周长为40,试求□ABCD的面积.
〔二〕学习新知
1.自学课本P86-P87,掌握平行四边形的判定定理,注意定理条件和结论,并会证明.
2.自学例子,并证明.独立完成P87的练习.
〔三〕释疑提高
1.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有个.
2.一个四边形的边长依次为a、b、c、d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
这个四边形是.
3.如图,在△ABC的边AB上截取AE=BF,过E作ED∥BC交AC于D,
过F作FG∥BC交AC于G,求证:
ED+FG=BC.
4.如图,线段AB、CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点,连结AF、BE,求证AF∥BE.
5.如图,已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点,过点O作直线EF分别交AB、CD于E、F两点,〔1〕求证:
四边形AECF是平行四边形;〔2〕填空,不填辅助线的原因中,全等三角形共有对.
6.如图,在□ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F,〔1〕求证:
△ABE≌△DFE;〔2〕试连结BD、AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.
四.小结归纳
五.作业设计
第四课时平行四边形的判定〔2〕
重点、难点
1.重点:
平行四边形各种判定方法与其应用,根据不同条件能正确地选择判定方法.
2.难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.
一.温故知新
1.如图在□ABCD中,EF∥AD,MN∥AB,EF、MN相交于点P,图中共有个
平行四边形.
2.如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12,那么它的边长不能取〔〕
A.10B.8C.7D.6
3.如图,在□ABCD中,AC、BD交于点O,EF过点O分别交AB、CD于E、F,AO、CO的中点分别为G、H,求证:
四边形GEHF是平行四边形.
二.学习新知
1.自学课本P88平行四边形的判定定理,注意定理条件和结论,并会证明.
2.自学例子,掌握三角形中位线概念和中位线定理,并会证明.
3.掌握平行线间的距离.4.完成P90面练习1.2.3.
三.释疑提高
1.如图,△ABC是等边三角形,P是其内任意一点,PD∥AB,PE∥BC,DE∥AC,若△ABC周长为8,则PD+PE+PF=.
2.四边形ABCD是平行四边形,BE平分∠ABC交AD于E,DF平分∠ADC交BC于点F,求证:
四边形BFDE是平行四边形.
3.已知□ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,AF与EB交于G,CE与DF交于H,求证:
四边形EGFH为平行四边形.
4.如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,∠A=120°,∠B=60°,∠BCD=150°,求AD的长.
5.已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线,AM⊥BE于M,AN⊥CF于N,求证MN∥BC.
6.如图,在□ABCD中,EF∥AB交BC于E,交AD于F,连结AE、BF交于点M,连结CF、DE交于点N,求证:
〔1〕MN∥AD;〔2〕MN=
AD
四.课堂练习
1.〔选择〕在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是〔〕.
〔A〕AB∥CD,AD=BC〔B〕∠A=∠B,∠C=∠D
〔C〕AB=CD,AD=BC〔D〕AB=AD,CB=CD
2.已知:
如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
五.作业设计
第五课时平行四边形的判定〔3〕
一、教学目标:
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.
3.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.重点、难点
二、重点、难点
1.重点:
掌握和运用三角形中位线的性质.
2.难点:
三角形中位线性质的证明〔辅助线的添加方法〕.
三、课堂引入
1.平行四边形的性质;平行四边形的判定;它们之间有什么联系?
2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗?
3.创设情境
实验:
请同学们思考:
将任意一个三角形分成四个全等的三角形,你是如何切割的?
〔答案如图〕
图中有几个平行四边形?
你是如何判断的?
四、例习题分析
例1〔教材P98例4〕如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:
DE∥BC且DE=
BC.
分析:
所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
如图〔1〕,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=
DF,所以DE∥BC且DE=
BC.
〔也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同〕
定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
[思考]:
〔1〕想一想:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
〔2〕三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
〔答:
〔1〕一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.〔2〕三角形的中位线与第三边的关系:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.〕
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.
〖拓展〗利用这一定理,你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗?
〔让学生口述理由〕
五、课堂练习
1.〔填空〕如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
2.已知:
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
〔1〕若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;
〔2〕中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
六.作业设计
第六课时矩形〔1〕
一.明确目标,预习交流
[学习目标]
1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
[重、难点]
重点:
矩形的性质.
难点:
矩形的性质的灵活应用.
二.合作探究,生成总结
探讨1.如图,矩形ABCD,对角线相交于O,①观察矩形的对角线AC和BD有何关系?
②对角线所分成的三角形,你有什么发现?
归纳:
矩形的性质〔1〕矩形的四个角都是.
〔2〕矩形的对角线.
〔对角线所分成的四个三角形都是〕
练一练:
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是〔〕
A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线平分
2.在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于O,∠ACD=30°,AB=4.
〔1〕判断△AOD的形状;
〔2〕求对角线AC、BD的.
3.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,
于E,
于F.求证BE=CF.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,求PE+PF的值.
5.如图,矩形纸片ABCD,且AB=6cm,宽BC=8cm,将纸片沿EF折叠,使点B与点D重合,求折痕EF的长.
探讨2.在Rt△ABC中,点O为斜边AC的中点,是考虑中线BO与斜边AC有何关系?
归纳:
直角三角形斜边上的等于的一半.
练一练:
1.直角三角形中,两直角边长分别为12和5,则斜边中线长是〔〕
A.26B.13C.8.5D.6.5
2.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O,AB=5
则△ABO的周长为等于.
三.达标测评
1.如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB=60o,AB=8,则矩形对角线的长__.
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若∠AOD=120°,AC+AB=18,则矩形的对角线长为.
3.矩形的各边中点围成的四边形的周长是20,则矩形的对角线长为.
4.如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S1S2
〔填">"或"<"或"="〕
5.如图,矩形
的两条对角线相交于点
则
矩形的对角线
的长是〔〕
A、2B、4C、
D、
〔第4题〕
四.作业设计
第七课时矩形〔2〕
[学习目标]:
1.经历探索矩形的判定方法的过程,理解矩形的判定定理.
2.能利用矩形的判定解决问题.
[学习重点]:
理解矩形的判定定理,应用矩形的判定定理解决问题.
[学习难点]:
合理应用矩形的判定定理解决问题.
一、矩形的性质回顾:
1、矩形是属于特殊的.2、矩形的四个角都是.3、矩形的对角线.
4、矩形与对角线可以形成三角形;若有60°的角存在很有可能有三角形.
5、直角三角形斜边上的线是斜边长的.
二、矩形的判定:
矩形的判定方法有:
1、有一个角是的平行四边形是矩形;
2、对角线的平行四边形是矩形;
3、有个角是直角的是矩形.
例题讲解:
1、如图,□ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10.
求证:
四边形ABCD是矩形.
2、如图,□ABCD中,∠1=∠2,此时
四边形ABCD是矩形吗?
为什么?
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于点A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠CAN、∠CAF的
角平分线,求证:
四边形ABCD是矩形.
练习:
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是〔〕
A、对角线相等B、对角线垂直C、对角线互相平分且相等D、对角线垂直且相等
2、下面命题正确的个数是〔〕
①矩形是轴对称图形;②两条对角线相等的四边形是矩形;
③有两个角相等的平行四边形是矩形;④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形
A、①③④B、②③C、①④D、①②③
3、如图,AO=CO,BO=DO,要使它变为矩形,需要添加的条件是〔〕
A、AB=CDB、AD=BCC、AB=BCD、AC=BD
4、如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请添加一个条件,使□ABCD变为矩形,需要添加的条件是.〔写一个即可〕
5、如图,已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC,DF⊥BC,求证:
四边形AEFD是矩形.
6.如图,在□ABCD中,E、F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.
求证:
〔1〕△ABF≌△DCE;〔2〕四边形ABCD是矩形.
7、已知:
如图,□ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,
求证:
四边形EFGH是矩形.
三.作业设计
第八课时菱形〔1〕
一、教学目的
1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握菱形的定义与性质1、2;会用这些性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积.
3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想.
二、重点、难点
1.教学重点:
菱形的性质1、2.
2.教学难点:
菱形的性质与菱形知识的综合应用.
三、课堂引入
1.〔复习〕什么叫做平行四边形?
什么叫矩形?
平行四边形和矩形之间的关系是什么?
2.〔引入〕我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:
〔可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示〕如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
[强调] 菱形〔1〕是平行四边形;〔2〕一组邻边相等.
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.
四、习题分析
例1〔补充〕已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:
∠AFD=∠CBE.
证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CB=CD,CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△COB〔SAS〕.
∴∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC
∴∠AFD=∠CBE.
例2〔教材P108例2〕略
五、随堂练习
1.若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为.
2.已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积.
3.已知菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1∶2,求菱形的对角线的长和面积.
4.已知:
如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:
∠AEF=∠AFE.
六、作业设计:
第九课时菱形〔2〕
一、教学目的
1.理解并掌握菱形的定义与两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算;
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力与逻辑思维能力.
二、重点、难点
1.教学重点:
菱形的两个判定方法.
2.教学难点:
判定方法的证明方法与运用.
三、课堂引入
1.复习
〔1〕菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形;
〔2〕菱形的性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
〔3〕运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?
〔判定:
2个条件〕
2.[问题]要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?
3.[探究]〔教材P109的探究〕用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
通过演示,容易得到:
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:
〔1〕是一个平行四边形;〔2〕两条对角线互相垂直.
通过教材P109下面菱形的作图,可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法:
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形.
四、习题分析
例1已知:
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AE∥FC.
∴∠1=∠2.
又 ∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.
∴ EO=FO.
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
又 EF⊥AC,
∴
AFCE是菱形<对角线互相垂直的平行四边形是菱形>.
五、随堂练习
1.填空:
〔1〕对角线互相平分的四边形是;
〔2〕对角线互相垂直平分的四边形是________;
〔3〕对角线相等且互相平分的四边形是________;
〔4〕两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形.
2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.
3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证:
四边形OCED是菱形.
六、作业设计
第十课时正方形〔1〕
一、教学目的
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 人教版八 年级 下册 数学 18 平行四边形 教案