全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全04导数.docx

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全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全04导数

全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（06导数）

一、选择题：

1.（2007福建文、理）已知对任意实数x有f（－x）=－f（x），g（-x）=g（x），且x>0时，f’（x）>0，g’（x）>0，则x<0时（B）

Af’（x）>0，g’（x）>0Bf’（x）>0，g’（x）<0

Cf’（x）<0，g’（x）>0Df’（x）<0，g’（x）<0

1x

2．（2007海南、宁夏理）曲线y=e2

在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）

Ａ．9e2

2

Ｂ．4e2

Ｃ．2e2

Ｄ．e2

3．（2007海南、宁夏文）曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）

9222e2

Ａ．eＢ．2eＣ．eＤ．

42

4．（2007江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），f'（0）>0，对于任意实数x都

f

（1）

有f（x）≥0，则

f'（0）

的最小值为（C）

A．3B．5

2

3

C．2D．

2

5．（2007江西理）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f（x）在x＝5处的切线的斜率为（B）

1

A．－

5

1

B．0C．

5

D．5

6.（2007全国Ⅰ文）曲线y=1x3+x在点（1，4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（Ａ）

（A）1

9

（B）

3

2（C）1

93

x2

y=

4

3

（D）2

3

1

7（2007全国Ⅱ文）已知曲线

的一条切线的斜率为

2

则切点的横坐标为（A）

（A）1（B）2（C）3（D）4

x21

8.（2007全国Ⅱ理）已知曲线y=

-

3lnx的一条切线的斜率为

42

则切点的横坐标为（A）

（A）3（B）2（C）1（D）1

2

9.（2007浙江y理）设f'（x）是函数yf（x）的导函数，将yy=f（x）和y=f'（x）的y图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）

OxOxOxOx

A．B．C．D．

10.．（2007湖南理）下列四个命题中，不．正．确．的是（C）

A．若函数f（x）在x=x0处连续，则lim

x→x0+

f（x）=lim

x→x0-

f（x）

B．函数f（x）=

x+2的不连续点是x=2和x=-2

x2-4

C．若函数f（x），g（x）满足lim[f（x）-g（x）]=0，则limf（x）=limg（x）

x-1

D．lim=1

x→∞

x→∞

x→∞

x→1x-12

二、填空题：

1．（2007北京文）

f'（x）是f（x）=1x3+2x+1的导函数，则f'（-1）的值是3．

3

1

2．（2007广东文）函数f（x）=xlnx（x>0）的单调递增区间是（,+∞）.．

e

3（2007湖北文）已知函数y=f（x）的图象在M（1，（f

3

l））处的切线方程是y=1x|2，f（l）-f'（l）＝

2

4．（2007湖南理）函数f（x）=12x-x3在区间[-3，3]上的最小值是-16．

5．（2007江苏）已知函数f（x）=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则

M-m=32.

6.（2007浙江文）曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1，一3）处的切线方程是5x+y-2=0．

三、解答题：

1.（2007安徽理）（本小题满分14分）设a≥0，f（x）=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：

当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.

1.本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分.

（Ⅰ）解：

根据求导法则得f'（x）=1-2Inx+2a,x0.

xx

故F（x）=xf'（x）=x-2Inx+2a,x0,

于是F'（x）=1-2=

x

x-2

x

x0.

列表如下：

x

（0,2）

2

（2,+∞）

F′（x）

-

0

+

F（x）

↓

极小值F

（2）

↑

故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F

（2）

＝2-2In2+2a.

（Ⅱ）证明：

由a≥0知，F（x）的极小值F

（2）=2-In2+2a0.

于是由上表知，对一切x∈（0,+∞）,恒有F（x）=xf'（x）0.

从而当x0时，恒有f'（x）0,故f（x）在（0,+∞）内单调增加.

所以当x1时，f（x）

f

（1）=0,即x-1-In2x+2aInx0.

故当x1时，恒有xIn2x-2aInx+1.

2.（2007安徽文））（本小题满分14分）设函数f（x）=-cos2x-4tsinxcosx+4t2+t2-3t+4,x∈R,

22

其中t≤1，将f（x）的最小值记为g（t）.

（Ⅰ）求g（t）的表达式；

（Ⅱ）诗论g（t）在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

2.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性.考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间、极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.

解：

（Ⅰ）我们有

f（x）=-cos2x-

4tsin

xcos2

x+4t3+t2-3t+42

＝sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4

＝sin2x-2tsinx+t2+4t3-3t+3

＝（sinx-t）2+4t3-3t+3.

由于（sinx-t）2≥0,tt（t）=4t3-3t+3.

（Ⅱ）我们有

≤1,故当sinx=t时，f（x）达到其最小g（t），即

g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1）,-1t1.

列表如下：

t

（-1,-1）

2

-1

2

（-1,1）

22

1

2

（1,1）

2

G′（t）

+

0

-

0

+

G′（t）

↑

极大值（-1）

2

→

1

极小值g（）

2

↑

由此可见，g（t）在区间（-1,-1）和（1,1）单调增加，在区间（-11）单调减小，极

，

2222

小值为g

（1）=2,极大值为g（-1）=4.

22

3.（2007福建理）（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，

一年的销售量为（12－x）2万件。

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。

3．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分

12分．

解：

（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]．

（Ⅱ）L'（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）．

令L'=0得x=6+2a或x=12（不合题意，舍去）．

3

3≤a≤5，∴8≤6+2a≤28．

33

在x=6+2a两侧L'的值由正变负．

3

所以

（1）当8≤6+

2a<9即3≤a<9时，

32

Lmax

=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）．

（2）当9≤6+

2a≤28即

33

9≤a≤5时，

2

2⎛2

⎫⎡⎛

2⎫⎤2

⎛1⎫3

Lmax=L（6+3a）=ç6+3a-3-a⎪⎢12-ç6+3a⎪⎥=4ç3-3a⎪，

⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭

⎧9（6-a），3≤a<9，

⎨

所以Q（a）=⎪

⎛

2

1⎫39

⎪4ç3-a⎪，≤a≤5

⎩⎪⎝3⎭2

答：

若3≤a<9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）2

（万元）；若9≤a≤5，则当每件售价为⎛6+2a⎫元时，分公司一年的利润L最大，最大值

2ç3⎪

⎝⎭

⎛1⎫3

3

Q（a）=4ç3-a⎪

⎝⎭

（万元）．

4.（2007福建理）（本小题满分14分）已知函数

－kx，.

（1）若k＝e，试确定函数f（x）的单调区间；

（2）若k>0，且对于任意确定实数k的取值范围；

（3）设函数F（x）＝f（x）+f（-x），求证：

F

（1）F

（2）…F（n）>

）。

4．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：

（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex-ex，所以f'（x）=ex-e．

由f'（x）>0得x>1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）<0得x<1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．

（Ⅱ）由f（-x）=f（x）可知f（x）是偶函数．

于是f（x）>0对任意x∈R成立等价于f（x）>0对任意x≥0成立．由f'（x）=ex-k=0得x=lnk．

①当k∈（0，1]时，f'（x）=ex-k>1-k≥0（x>0）．

此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1>0，符合题意．

②当k∈（1，+∞）时，lnk>0．

当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x（0，lnk）

lnk（lnk，+∞）

f'（x）

f（x）

-0+

单调递减极小值单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．依题意，k-klnk>0，又k>1，∴1

综合①，②得，实数k的取值范围是0

（Ⅲ）F（x）=f（x）+f（-x）=ex+e-x，

12

∴F（x）F（x）=ex1+x2+e-（x1+x2）+ex1-x2+e-x1+x2>ex1+x2+e-（x1+x2）+2>ex1+x2+2，

∴F

（1）F（n）>en+1+2，

F

（2）F（n-1）>en+1+2

F（n）F

（1）>en+1+2.

由此得，[F

（1）F

（2）F（n）]2=[F

（1）F（n）][F

（2）F（n-1）][F（n）F

（1）]>（en+1+2）n

n

故F

（1）F

（2）F（n）>（en+1+2）2，n∈N*．

5.（2007福建文）（本小题满分12分）设函数f（x）=tx2+2t2x+t-1（x∈R,t>0）.

（I）求f（x）的最小值h（t）;

（II）若h（t）<-2t+m对t∈（0,2）恒成立，求实数m的取值范围.

5.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分.

解：

（I）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1

∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t2+t-1,

即h（t）=-t3+t-1.

（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m,

（x∈R,t>0），

由g’（t）=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.

当t变化时g’（t）、g（t）的变化情况如下表：

T

（0,1）

1

（1,2）

g’（t）

+

0

-

g（t）

递增

极大值1-m

递减

∴g（t）在（0，2）内有最大值g

（1）=1-m

h（t）<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）<0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m<0

所以m的取值范围为m>1

6．（2007海南、宁夏理）（本小题满分12分）设函数f（x）=ln（x+a）+x2

（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；

e

（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln．

2

6．解：

（Ⅰ）f'（x）=

1

x+a

+2x，

依题意有f'（-1）=0，故a=3．

2

'2x2+3x+1（2x+1）（x+1）

从而f

（x）=

=

x+3

．

x+3

22

f（x）的定义域为⎛-3，+∞⎫，当-30；

ç2⎪2

⎝⎭

当-1

2

当x>-1时，f'（x）>0．

2

从而，f（x）分别在区间⎛-3，-1⎫，⎛-1，+∞⎫单调增加，在区间⎛-1，-1⎫单调减少．

ç2⎪ç2⎪ç2⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（Ⅱ）f（x）的定义域为（-a，+∞），f

'（x）=

2x2+2ax+1

．

x+a

方程2x2+2ax+1=0的判别式∆=4a2-8．

2

2

（ⅰ）若∆<0，即-0，故f（x）的极值．

2

（ⅱ）若∆=0，则a-2或a=-．

2

若a=，x∈（-

2，+∞），f

'（x）=

（2x-1）2

．

2

当x=-时，f'（x）=0，当x∈⎛-

x+

2，-

2

2⎫⎛-

2，+

⎫时，f'（x）>0，所以f（x）无极

2ç2⎪ç2∞⎪

⎝⎭⎝⎭

（2x-1）2

x-2

值．

'

2



若a=-，x∈（2，+∞），f（x）=>0，f（x）也无极值．

2

-a-a2-2

-a+a2-2

（ⅲ）若∆>0，即a>或a<-2，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根

x1=

2，x2=2．

当a<-

2时，x1<-a，x2<-a，从而f'（x）有f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值．

2

当a>时，x1>-a，x2>-a，f'（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方

法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值．

综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为（2，+∞）．

f（x）的极值之和为

f（x）+f（x）=ln（x+a）+x2+ln（x+a）+x2=ln1+a2-1>1-ln2=lne．

12112222

7．（2007海南、宁夏文）（本小题满分12分）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

⎥

⎢

（Ⅱ）求f（x）在区间⎡-31⎤的最大值和最小值．

，

⎣44⎦

7．解：

f（x）的定义域为⎛-3，+∞⎫．

ç2⎪

⎝⎭

'24x2+6x+22（2x+1）（x+1）

（Ⅰ）f

（x）=+2x==．

2x+32x+32x+3

当-30；当-1-1时，f'（x）>0．

222

从而，f（x）分别在区间⎛-3，-1⎫，⎛-1，+∞⎫单调增加，在区间⎛-1，-1⎫单调减少．

ç2⎪ç2⎪ç2⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间⎡-31⎤的最小值为f⎛-1⎫=ln2+1．

⎢，⎥ç⎪

⎣44⎦⎝2⎭4

又f⎛-3⎫-f⎛1⎫=ln3+



9-ln7-1

=ln3+1=1⎛1-ln49⎫



<0．

ç4⎪ç4⎪

216216722ç6⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

7

⎥

⎢

所以f（x）在区间⎡-31⎤的最大值为f⎛1⎫=1+ln．

，

4

⎝⎭

⎣44⎦

ç⎪162

8.（2007湖北理）（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=1x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，

2

其中a>0.设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.

（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；

（Ⅱ）求证：

f（x）≥g（x）（x>0）.

8.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解：

（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点（x0,y0）处的切线相同,

f'（x）=

x+2a,g'（x）

=3a2

x

由题意f（x0）=

g（x0）,f

'（x0）=

g'（x0）.

⎧1x2+2ax

=3a2lnx

+

b,

⎪20

即⎨

0

3a2

0

由x0+2a=

3a2

x

得：

x0=a,或x0=-3a（舍去）.

⎩

x

⎪x0+2a=.0

0

即有b=1a2+2a2-3a2lna=5a2-3a2lna.

22

令h（t）=5t2-3t2lnt（t>0）,则h'（t）=2t（1-3lnt）.于是2

1

当t（1-3lnt）>0,即00;

1

当t（1-3lnt）<0,即t

11

故h（t）在（0，e3）为增函数，在（e2,+∞）为减函数,

1

于是h（t）在（0,+∞）的最大值为h（e3）=

32

e3.

2

（Ⅱ）设F（x）=

f（x）-g（x）=1x2+2ax-3a2lnx-b（x>0）,

2

则F'（x）=x+2a-

3a2

x

=（x-a）（x-3a）

x

（x>0）.

故F（x）在（0，a）为减函数，在（a,+∞）为增函数，

于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=

f（x0）-g（x0）=0.

故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0,即当x>0时，f（x）≥g（x）.

9.（2007湖南文）（本小题满分１3分）已知函数f（x）=1x3+1ax2+bx在区间[-1,1）,（1,3]内

32

各有一个极值点.

（Ⅰ）求a2-4b的最大值；

（Ⅱ）当a2-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1,f

（1））处的切线为l，若在点A处穿过

y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式.

9．解：

（I）因为函数f（x）=1x3+1ax2+bx在区间[-1，1），（1，3]内分别有一个极值点，所以

32

f'（x）=x2+ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，

设两实根为x，x（x

-

x=

，且0

-

x≤4．于是

a2-4b

1