六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案.docx
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六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案
第14讲计数综合三
内容概述
建立递推的思想,将问题的复杂情形与简单情形联系起来;学会观察和发现递推关系;利用树形固、列表等方法处理某些递推关系,另外,综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题.
典型问题
兴趣篇
1.一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶,一共可以有多少种不同的走法?
2.小悦买了10块巧克力,她每天最少吃一块,最多吃3块,直到吃完,共有多少种吃法?
3.用l×2的小方格覆盖2×7的长方形,共有多少种不同的覆盖方法?
4.如果在一个平面上画出4条直线,最多可以把平面分成几个部分?
如果画20条直线,最多可以分成几个部分?
5.甲、乙、丙三名同学练习传球,每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个.先由甲发球,经过6次传球后球仍然回到了甲的手中.请问:
整个传球过程共有多少种不同的可能?
6.一个三位数,有相邻两个数字的和为16,那么这样的三位数共有多少个?
7.由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个?
8.一个各位数字互不相等的五位数不含数字0,且数字和为18,这样的五位数共有多少个?
9.一个十位数只含有数字l或2,且不含两个连续的数字1,一共有多少个这样的十位数?
10.一个六位数由1、2、3、4、5组成,而且任意相邻两个数位的数字之差都是l,这样的六位数有多少个?
拓展篇
1.老师给冬冬布置了12篇作文,规定他每天至少写l篇,如果冬冬每天最多能写3篇,那么共有多少种写完作文的方法?
2.用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表,共有多少种覆盖方法?
3.现有14块糖,如果阿奇每天吃奇数块糖,直到吃完,那么阿奇共有多少种吃法?
4.如果在一个平面上画出8条直线,最多可以把平面分成几个部分?
如果画8个圆,最多可以把平面分成几个部分?
5.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个.先由红衣人发球,并作为第1次传球,经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
请问:
整个传球过程共有多少种不同的可能?
6.如图14-1所示,一个圆环被分成8部分,现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜
色之一,要求相邻两部分颜色不同,共有多少种染色方法?
7.圆周上有10个点A1,A2,…,A10以这些点为端点连结5条线段,要求任两条线段之问都没有公共点,共有多少种连结方式?
8.在有些多位数的各位数字中,奇数的个数比偶数的个数多,例如1370、36712等.请问:
在1至10000中有多少个这样的多位数?
9.有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5,例如1975、75675等,但432579。
不算在内.请问:
具有这种性质的六位数有多少个?
10.用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数,满足以下要求:
每一位上的数字要么大于它前面的所有数字,要么小于它前面的所有数字.请问:
这样的九位数共有多少个?
11.一个七位数,每一位都是1、2或者3,而且没有连续的两个l,这样的七位数一共有多少个?
12.满足下面性质的四位数称为“好数”:
它的个位比十位大,十位比百位大,百位比千位大,并且任意相邻两位数字的差都不超过3.例如1346、2579是好数,但1567就不是好数.请问:
一共有多少个好数?
超越篇
1.一个九位数,它只由数字l、2和3组成,而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31,这样的自然数有多少个?
如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次,则这样的九位数有多少个?
2.
(1)如果在一个平面上画出8个三角形,最多可以把平面分成多少个部分?
(2)如果在一个平面上画出3个四边形、2个圆、l条直线,最多可以把平面分成多少个部分?
3.如图14—2所示,阴影部分是一个圆环,4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分?
4.用15个l×2的小纸片覆盖图14—3,共有多少种不同的覆盖方法?
5.对一个自然数作如下操作:
如果是偶数则除以2,如果是奇数则加l,如此进行下去直到得数为1操作停止.问:
经过9次操作变为1的数有多少个?
6.用4种不同的颜色将图14—4中的圆圈分别涂色,要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色,共有多少种涂法?
(不允许旋转、翻转图14—4)
7.圆周上有15个点A1,A2,…,A15,以这些点为顶点连出5个三角形,要求任意两个三角形没有公共点,共有多少种连结方式?
8.有一年级到六年级的同学各一人,排成一列领取糖果.如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面,那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”(一个人可以有多次“怨言”).在一种排列顺序里,我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”.例如:
六位同学按下面的顺序排列:
一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级,那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l,这种排列的“怨言数”就是4.请问:
有多少种“怨言数”为7的排列顺序?
第14讲计数综合三
兴趣篇
1.一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。
走完这10级台阶,一共可以有多少种不同的走法?
【分析】例如登上一级台阶有1种走法,登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级);由此得出登上第三级台阶的走法数为1+2=3.又知道走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和,又可以算出登上第四级台阶共有2+3=5种方法,依此类推:
1级
2级
3级
4级
5级
6级
7级
8级
9级
10级
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
所以,登上第10级台阶的走法数为89.
2.小悦买了10块巧克力,她每天最少吃一块,最多吃3块,直到吃完,共有多少种吃法?
【分析】递推法。
吃1块只有1种吃法,吃2块有1+1和2两种吃法,吃3块有1+1+1,1+2,
2+1,3共4种吃法,吃4块有:
1+1+1+1;1+1+2;1+2+1;2+1+1;2+2;1+3;3+1
共7种;吃5块有2+4+7=13种吃法,吃6块有4+7+13=24种吃法……
事实上,吃n块巧克力,吃最后一块前,吃掉的块数是在第n-1块或n-2块或n-3
块上,所以吃n块巧克力的吃法数相当于吃第n-1块和第n-2块以及第n-3块的
总和。
依照这一规律,列表写出吃1到10块各块的吃法数。
最后递推得到吃第10
块巧克力有274种吃法。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
7
13
24
44
81
149
274
3.用1⨯2的小方格覆盖2⨯7的长方形,共有多少种不同的覆盖方法?
【分析】递推法.若用1⨯2的小长方形去覆盖2⨯n的方格网,设方法数为An,那么A1=1,
A2=2.
当n≥3时,对于最左边的一列有两种覆盖的方法:
⑴用1个1⨯2的小长方形竖着覆盖,那么剩下的2⨯(n-1)的方格网有An-1种方法;⑵用2个1⨯2的小长方形横
着覆盖,那么剩下的2⨯(n-2)的方格网有An-2种方法,根据加法原理,可得
An=An-1+An-2.
递推可得到A3=1+2=3,
A7=8+13=21,
A4=2+3=5,
A5=3+5=8,
A6=5+8=13,
所以覆盖2⨯7的方格网共有21种不同方法.
4.如果在一个平面上画出4条直线,最多可以把平面分成几个部分?
如果画20条直线,最
多可以分成几个部分?
【分析】一条直线时,分平面内为2个部分;
增加一条直线,即2条时,显然它应该与原来那条直线相交才能把平面分的多,这
是增加了2部分,总数2+2;
再增加1条时,同理应该与前两条都相交,这时增加了3部分,总数2+2+3;增加到4条时,分平面增加4部分,总数2+2+3+4;由此我们发现,每增加一条直线,多分平面部分逐个递增,即n条直线最多分平面
n(n+1)
2+2+3+4++n=1+
。
这就得到了直线分平面的公式。
2
所以画出4条直线,最多可以把平面分成1+4⨯5=11个部分,如果画20条直线,
2
最多可以分成1+20⨯21=211个部分
2
5.甲、乙、丙三名同学练习传球,每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个。
先由甲
发球,经过6次传球后球仍然回到了甲的手中。
请问:
整个传球过程共有多少种不同的可能?
【分析】设第n次传球后,球又回到甲手中的传球方法有an种.可以想象前n-1次传球,
如果每一次传球都任选其他二人中的一人进行传球,即每次传球都有2种可能,由
乘法原理,共有2⨯2
2⨯⨯2=2n-1(种)传球方法.这些传球方法并不是都符合
(n-1)个2
要求的,它们可以分为两类,一类是第n-1次恰好传到甲手中,这有an-1种传法,它们不符合要求,因为这样第n次无法再把球传给甲;另一类是第n-1次传球,球不在甲手中,第n次持球人再将球传给甲,有an种传法.根据加法原理,有
n-1
n-1n
a+a=2⨯2⨯⨯2=2.
(n-1)个2
由于甲是发球者,一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的,所以a1=0.利用递推关系可以得到:
a2=2-0=2,a3=2⨯2-2=2,a4=2⨯2⨯2-2=6,
a5=2⨯2⨯2⨯2-6=10.a6=2⨯2⨯2⨯2⨯2-10=22
这说明经过6次传球后,球仍回到甲手中的传球方法有22种.
6.一个三位数,有相邻两个数字的和为16,那么这样的三位数共有多少个?
【分析】两个数字的和为16只有8+8,9+7两种,相邻两个数字有百位和十位相邻,十位和个位相邻两种
(1)当相邻两个数字为百位和十位相邻有3⨯10=30种;
(2)当十位数字和个位数字相邻时有3⨯9=27,但是888,979,797被算了两次,所以共有
30+27-3=54种
7.由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个?
【分析】
(1)由9个1组成的多位数有1个
(2)由6个1、1个3组成的多位数有7个
(3)由5个1、1个4组成的多位数有6个
(4)由3个1、2个3组成的多位数有5⨯4⨯3⨯2⨯1=10个
2⨯1⨯3⨯2⨯1
(5)由2个1、1个3、1个4组成的多位数有4⨯3⨯2⨯1=12个
2⨯1
(6)由1个1、2个4组成的多位数有3个
(7)由0个1、3个3组成的多位数有1个综合有1+7+6+10+12+3+1=40个
8.一个各位数字互不相等的五位数不含数字0,且数字和为18,这样的五位数共有多少个?
【分析】因为18=1+2+3+4+8=1+2+3+5+7=1+2+4+5+6对于每一种都可以组成
5
A5=120个五位数,所以这样的五位数共有120⨯3=360个
9.一个十位数只含数字1或2,且不含两个连续的数字1,一共有多少个这样的十位数?
【分析】1的个数最多有5个,因此1的个数有6中情况,只要把1插到2所产生的空中即符
合条件,因此有C5+C4+C3+C2+C1
+C0
=6+35+56+36+10+1=144
67891011
10.一个六位数由1、2、3、4、5组成,而且任意相邻两个数位的数字之差都是1,这样的
六位数由多少个?
【分析】利用树状图法,根据对称性首位是1和5的六位数应该是相同的,首位是2和4的六位数应该是相同的,
4
432
5
43
55
43
323
12
3
542
4321
312
345
3
21
3
1
234
122
212
343
12123
34
2
23
4
5
34
42
54
5
434
2
3212
34
32
12
14
232
3454
4
2
212
34
2
所以共有9+18+18+18+9=72个
拓展篇
1.老师给冬冬布置了12篇作文,规定他每天至少写1篇。
如果冬冬每天最多能写3篇,那么共有多少种写完作文的方法?
【分析】递推法。
1篇作文只有1种写法,2篇作文有1+1和2两种写法,3篇作文有
1+1+1,1+2,2+1,3共4种写法,4篇作文有:
1+1+1+1;1+1+2;1+2+1;2+1+1;
2+2;1+3;3+1共7种;5篇作文有2+4+7=13种写法,6篇作文有4+7+13=24种写法……依照这一规律,最后递推得到写第12篇作文有927种写法。
2.用10个1⨯3的长方形纸片覆盖一个10⨯3的方格表,共有多少种覆盖方法?
【分析】递推法.若用1⨯3的小长方形去覆盖3⨯n的方格网,设方法数为An,那么A1=1,
A2=1.A3=2
当n≥4时,对于最左边的一列有两种覆盖的方法:
⑴用1个1⨯3的小长方形竖着覆盖,那么剩下的3⨯(n-1)的方格网有An-1种方法;⑵用3个1⨯3的小长方形横
着覆盖,那么剩下的3⨯(n-3)的方格网有An-3种方法,根据加法原理,可得
An=An-1+An-3.
递推可得到
A4=1+2=3,
A5=1+3=4,
A6=2+4=6,
A7=3+6=9,
A8=4+9=13,
A9=6+13=19,A10=9+19=28.
所以覆盖3⨯10的方格网共有28种不同方法.
3.现有14块糖,如果阿奇每天吃奇数块糖,直到吃完,那么阿奇共有多少种吃法?
【分析】根据题意设n块糖有An种吃法,则
A1=1,A2=1,(2=1+1),A3=2,(3=3=1+1+1),A4=3,(3=1+3=3+1=1+1+1+1)
A5=2+3=5,(5=5=1+1+3=1+3+1=3+1+1=1+1+1+1+1),因此每种吃法都是
前两种吃法的和,A12=144,A13=233,所以A14=377
4.如果在一个平面上画出8条直线,最多可以把平面分成几个部分?
如果画8个圆,最多可以把平面分成几个部分?
【分析】一条直线时,分平面内为2个部分;
增加一条直线,即2条时,显然它应该与原来那条直线相交才能把平面分的多,这
是增加了2部分,总数2+2;
再增加1条时,同理应该与前两条都相交,这时增加了3部分,总数2+2+3;增加到4条时,分平面增加4部分,总数2+2+3+4;由此我们发现,每增加一条直线,多分平面部分逐个递增,即n条直线最多分平面
n(n+1)
2+2+3+4++n=1+
。
这就得到了直线分平面的公式。
2
所以,n=8时,最多分平面=1+8⨯(8+1)=37部分。
2
1个圆能把平面分成2部分,2个圆与原来的圆产生2个交点,这两个交点把新圆
分割出2段曲线,能得到2块新部分,共得到4部分.
第3个圆与原来的圆最多产生4个交点,这4个交点把新圆分割出4段曲线,能得到4块新部分,共得到8部分.
第4个圆与原来的圆最多产生6个交点,这6个交点把新圆分割出6段曲线,能得到6块新部分,共得到14部分.因此n个圆共得到2+n⨯(n-1)部分.所以8个圆共
得2+8⨯7=58个部分
5.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个。
先由红衣人发球,并作为第1次传球,经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
请问:
整个传球过程共有多少种不同的可能?
【分析】设第n次传球后,球又回到红衣人手中的传球方法有an种.可以想象前n-1次传球,如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球,即每次传球都有3种可能,由乘法原理,共有3⨯3⨯3⨯⨯3=3n-1(种)传球方法.这些传球方法并不是都符合
(n-1)个3
要求的,它们可以分为两类,一类是第n-1次恰好传到红衣人手中,这有an-1种传法,它们不符合要求,因为这样第n次无法再把球传给红衣人;另一类是第n-1次传球,球不在红衣人手中,第n次持球人再将球传给红衣人,有an种传法.根据加
法原理,有a
+a=3⨯3⨯⨯3=3n-1.
n-1
n
(n-1)个3
由于红衣人是发球者,一次传球后球又回到红衣人手中的传球方法是不存在的,所以a1=0.
利用递推关系可以得到:
a=3-0=3,a=3⨯3-3=6,a=3⨯3⨯3-6=21,
234
56
a5=3⨯3⨯3⨯3-21=60.
7
a6=3
-60=183
,a7=3
-183=546,
a8=3
-546=1641
这说明经过8次传球后,球仍回到红衣人手中的传球方法有1641种.
6.如图所示,一个圆环被分成8部分,现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一,要求相邻两部分颜色不同,共有多少种染色方法?
【分析】设圆环被分成n部分,共有An种染色方法,除了第一部分有3种染法,其余各部分都有两种染法,但这里包括最后一部分和第一部分颜色相同的情况,恰是An-1,因
n
此A=3⨯2n-1
-An-1
则A1=3,
4
A2=3⨯2=6,
A3=3⨯2⨯2-A2=6,
5
A4=3⨯2⨯2⨯2-A3=18,
6
A5=3⨯2
7
-18=30,
A6=3⨯2
-30=66,
A7=3⨯2
-66=126,
A8=3⨯2
-126=258
7.圆周上有10个点A1,A2,…,A10,以这些点为端点连结5条线段,要求任两条线段之
间都没有公共点,共有多少种连结方式?
【分析】设有n个点共有fn种连结方式,
1.显然f2=1;
2.若有四个点,可以选两个相邻的点,不妨从A开始,包含A的两个相邻的点的选
11
法有2种,那么剩下两个点就有f2种连结方式,所以共有f4=2f2=2,
3.若有六个点,
(1):
可以选两个相邻的点,那么剩下四个点就有f4种连结方式,不
妨从A开始,包含A的两个相邻的点的选法有两种,所以共有2f=8
114
(2):
可以选两个点连接成线段后,线段两边各有两个点,不妨从A1开始,包含A1
的两个点的选法有一种,那么剩下四个点就有f2种连结方式所以共有f2=1
22
因此f6=4+1=5
4.若有8个点,同理有f8=2f6+2f4f2=14
5.若有10个点,同理有f
=2f
+2ff
+f2=42
因此共有42种连结方式
108264
8.在有些多位数的各位数字中,奇数的个数比偶数的个数多,例如1370、36712等。
请问:
在1至10000中有多少个这样的多位数?
【分析】当这个多位数为一位数是有5个,两位数有5⨯5=25个
当这个多位数为三位数时,各位数字分2奇1偶、3奇两种情况共有
5⨯5⨯5+5⨯5⨯5+4⨯5⨯5+5⨯5⨯5=475个
当这个多位数为四位数时,各位数字分4奇、3奇1偶两种情况,共有
5⨯5⨯5⨯5⨯3+5⨯5⨯5⨯4+5⨯5⨯5⨯5=3000个.
综上所述共有5+25+475+3000=3505个
9.有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5,例如1975、75675等,但432579不算在内。
请问:
具有这种性质的六位数有多少个?
【分析】
(1)当这个六位数有一个相邻数字是7,5时,有75,75,75,
75,75五种情况,共有104+9⨯103=46000个;
(2)当这个六位数有两个相邻数字是7,5时,有7575,7575,7575,
7575,7575,7575六种情况。
共有100⨯3+90⨯3=570个;
(3)当这个六位数有三个相邻数字是7,5时,只有757575一个六位数;
第
(1)
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