届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试理科数学试题.docx
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届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试理科数学试题
2017学年度上学期期中考试
高三理科数学试题
说明:
1.测试时间:
120分钟总分:
150分
2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷(60分)
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数(
)+(
)i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数
=( )
A.±1 B.-1C.0D.1
2.已知集合
,
,则
()
A.{
|0<
<
} B.{
|
<
<1} C.{
|0<
<1} D.{
|1<
<2}
3.下列有关命题的说法正确的是()
A.命题“若
,则
”的否命题为:
“若
,则
”.
B.“
”是“
”的必要不充分条件.
C.命题“若
,则
”的逆否命题为真命题.
D.命题“
使得
”的否定是:
“
均有
”.
4.已知各项均为正数的等比数列
中,
成等差数列,则
()
A.27B.3C.
或3D.1或27
5.函数
的定义域为
,则函数
的定义域为()
A.
B.
C.
D.
6.已知
则
()
A.
B.
C.
D.
7.已知x,y满足
记目标函数
的最小值为1,最大值为7,则
的值分别为()
A.-1,-2B.-2,-1C.1,2D.1,-2
8.已知等比数列
满足
>0,
=1,2,…,且
,则当
≥1时,
=()
A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2
9.已知x∈
,且函数f(x)=
的最小值为b,若函数g(x)=
,则不等式g(x)≤1的解集为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图,长方形
的长
,宽
,线段
的长度为1,端点
在长方形
的四边上滑动,当
沿长方形的四边滑动一周时,线段
的中点
所形成的轨迹为
,记
的周长与
围成的面积数值的差为
,则函数
的图象大致为()
11.若曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:
①x2-y2=1;②y=x2-|x|;③y=3sinx+4cosx;④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
12.函数
,在定义域
上表示的曲线过原点,且在
处的切线斜率均为
.有以下命题:
①
是奇函数;②若
内递减,则
的最大值为4;③
的最大值为M,最小值为m,则
;④若对
恒成立,则
的最大值为2.其中正确命题的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题:
本大题共4题,每小题5分,共20分.
13..若函数
在
上可导,
,则
.
14.若
且
,则
的最小值为.
15.若数列
是等差数列,对于
,则数列
也是等差数列。
类比上述性质,若数列
是各项都为正数的等比数列,对于
,则
=时,数列
也是等比数列.
16.已知函数
,若存在实数
,满足
,其中
,则
的取值范围是.
三、解答题:
本大题共六个大题,满分70分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
(1)已知
,且
,求
的值;
(2)已知
为第二象限角,且
,求
的值.
18.(本题满分12分)在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
且
.
(Ⅰ)求角
的大小;(Ⅱ)若
的最大值.
19.(本题满分12分)
设数列
是等差数列,数列
的前
项和
满足
且
(Ⅰ)求数列
和
的通项公式:
(Ⅱ)设
,设
为
的前n项和,求
.
20.(本题满分12分)
已知二次函数
,若不等式
的解集为C.
(1)求集合C;
(2)若方程
在C上有解,求实数
的取值范围.
21.(本题满分12分)
如图,
、
、…、
是曲线
:
上的
个点,点
(
)在
轴的正半轴上,且
是正三角形(
是坐标原点).
(1)写出
、
、
;
(2)求出点
(
)的横坐标
关于
的表达式并证明.
22.(本题满分12分)
已知函数
在
处的切线
与直线
垂直,函数
.
(Ⅰ)求实数
的值;
(Ⅱ)若函数
存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)设
是函数
的两个极值点,若
,求
的最小值.
沈阳二中2017——2017学年度上学期期中考试
高三(15届)理科数学试题答案
一.选择题:
1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.A9.D10.C11.B12.B
二.填空题:
13.-414.
15.
提示:
等差数列类比到等比数列,算术平均数
类比到几何平均数
.
16.
三、解答题:
17.
18.解:
(Ⅰ)由
a-2csinA=0及正弦定理,
得
sinA-2sinCsinA=0(sinA≠0),(1分)
∴sinC=
,(4分)∵△ABC是锐角三角形,
∴C=
(6分)
(Ⅱ)∵c=2,C=
,由余弦定理,a2+b2-2abcos
=4,
即a2+b2-ab=4(8分)
∴(a+b)2=4+3ab≤4+3·
2,即(a+b)2≤16,(10分)
∴a+b≤4,当且仅当a=b=2取“=”(11分)
故a+b的最大值是4.(12分)
19.解:
(1)
(3分)
.(3分)
(2)
.(12分)
20.解:
(1)
------------------------------1分
当
时,
------------------3分
当
时,
--------------5分
所以集合
---------------6分
(2)
,令
则方程为
---------------7分
当
时,
,
在
上有解,
则
-----------------9分
当
时,
,
在
上有解,
则
------------------------11分
所以,当
或
时,方程在C上有解,且有唯一解。
-----------12分
21.解:
(1)
………………3分
(2)依题意,得
,由此及
得
,
即
.
由(Ⅰ)可猜想:
.………6分
下面用数学归纳法予以证明:
(1)当
时,命题显然成立;………7分
(2)假定当
时命题成立,即有
,则当
时,由归纳假设及
得
,即
,
解之得
(
不合题意,舍去),
即当
时,命题成立.
由
(1)、
(2)知:
命题成立.………………12分
22.解:
(Ⅰ)∵
,∴
.-----------------------1分
∵
与直线
垂直,∴
,∴
.--------------3分
------7分
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