知识讲解导数的计算基础1.doc
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导数的计算
【学习目标】1.牢记几个常用函数的导数公式,并掌握其推导过程。
2.熟记八个基本初等函数的导数公式,并能准确运用。
3.能熟练运用四则运算的求导法则,
4.理解复合函数的结构规律,掌握求复合函数的求导法则:
“由外及内,层层求导”.
【要点梳理】
知识点一:
基本初等函数的导数公式
(1)(C为常数),
(2)(n为有理数),
(3),
(4),
(5),
(6),
(7),
(8),。
要点诠释:
1.常数函数的导数为0,即C'=0(C为常数).其几何意义是曲线(C为常数)在任意点处的切线平行于x轴.
2.有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n-1)次幂的乘积,即(n∈Q).
特别地,。
3.正弦函数的导数等于余弦函数,即(sinx)'=cosx.
4.余弦函数的导数等于负的正弦函数,即(cosx)'=-sinx.
5.指数函数的导数:
,.
6.对数函数的导数:
,.
有时也把记作:
以上常见函数的求导公式不需要证明,只需记住公式即可.
知识点二:
函数的和、差、积、商的导数
运算法则:
(1)和差的导数:
(2)积的导数:
(3)商的导数:
()
要点诠释:
1.上述法则也可以简记为:
(ⅰ)和(或差)的导数:
,
推广:
.
(ⅱ)积的导数:
,
特别地:
(c为常数).
(ⅲ)商的导数:
,
两函数商的求导法则的特例
,
当时,.
这是一个函数倒数的求导法则.
2.两函数积与商求导公式的说明
(1)类比:
,(v≠0),注意差异,加以区分.
(2)注意:
且(v≠0).
3.求导运算的技巧
在求导数中,有些函数虽然表面形式上为函数的商或积,但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简(可能化去了商或积),然后进行求导,可避免使用积、商的求导法则,减少运算量.
知识点三:
复合函数的求导法则
1.复合函数的概念
对于函数,令,则是中间变量u的函数,是自变量x的函数,则函数是自变量x的复合函数.
要点诠释:
常把称为“内层”,称为“外层”。
2.复合函数的导数
设函数在点x处可导,,函数在点x的对应点u处也可导,则复合函数在点x处可导,并且,或写作.
3.掌握复合函数的求导方法
(1)分层:
将复合函数分出内层、外层。
(2)各层求导:
对内层,外层分别求导。
得到
(3)求积并回代:
求出两导数的积:
,然后将,即可得到
的导数。
要点诠释:
1.整个过程可简记为分层——求导——回代,熟练以后,可以省略中间过程。
若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。
2.选择中间变量是复合函数求导的关键。
求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。
求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一:
求简单初等函数的导数
例1.求下列函数的导数:
(1)
(2)(3)(4)(5)
【解析】
(1)(x3)′=3x3-1=3x2;
(2)()′=(x-2)′=-2x-2-1=-2x-3
(3)
(4);
(5);
【点评】
(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法,但运算较繁。
利用常用函数的导数公式,可以简化求导过程,降低运算难度。
(2)准确记忆公式。
(3)根式、分式求导时,先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三:
【变式】求下列函数的导数:
(1)y=
(2)y=(3)y=2x3―3x2+5x+4(4);
【答案】
(1)y′=()′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4
(2
(3)
(4)∵,∴.
类型二:
求函数的和、差、积、商的导数
例2.求下列函数导数:
(1)y=3x2+xcosx;
(2)y=;(3)y=lgx-ex;(4)y=tanx.
【解析】
(1)y′=6x+cosx-xsinx.
(2)y′=.(3)y′=(lgx)′-(ex)′=-ex.
(4)=tanx+.
【点评】
(1)熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则,是求导函数的前提。
(2)先化简再求导,是化难为易,化繁为简的基本原则和策略。
举一反三:
【变式1】函数在处的导数等于()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
法一:
∴.
法二:
∵
∴
∴.
【变式2】求下列各函数的导函数
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3)。
(2)y=x2sinx;(3)y=
【答案】
(1)∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y'=3x2+12x+11。
(2)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx
(3)
=
=
【变式3】求下列函数的导数.
(1)y=(2x2-5x+1)ex;
(2);
(3)y=
【答案】
(1)y′=(2x2-5x+1)′ex+(2x2-5x+1)(ex)′
=(4x-5)ex+(2x2-5x+1)ex
=(2x2-x-4)ex
(2),
∴.
(3)y′=[(sinx-xcosx)′(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)·(cosx+xsinx)′]
=[(cosx-cosx+xsinx)(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)(xcosx)]
==
类型三:
求复合函数的导数
例3求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
【解析】
(1)设μ=1-3x,,则
。
(2)设,y=cosμ,则
。
(3)设
【点评】
把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个整体就是中间变量。
求导数时需要记住中间变量,注意逐层求导,不能遗漏。
求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数。
举一反三:
【变式】求下列函数导数.
(1);
(2);(3).
【答案】
(1),
∴
(2),.
∴
(3),,
∴.
例4求下列函数导数.
(1);
(2);(3)
【解析】
(1)令,,
(2)
。
(3)设,μ=sinv,,则
在熟练掌握复合函数求导以后,可省略中间步骤:
【点评】
(1)复合函数求导数的步骤是:
①分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系(简称分解复合关系);
②分层求导,弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数(简称分层求导);
③将中间变量代回为自变量的函数。
简记为分解——求导——回代,当省加重中间步骤后,就没有回代这一步了,
即分解(复合关系)——求导(导数相乘)。
(2)同一个问题可有多种不同的求导方法,若能化简的式子,则先化简,再求导。
举一反三:
【变式1】求y=sin4x+cos4x的导数.
【答案】
解法一y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2cos2x=1-sin22x
=1-(1-cos4x)=+cos4x.y′=-sin4x.
解法二y′=(sin4x)′+(cos4x)′=4sin3x(sinx)′+4cos3x(cosx)′
=4sin3xcosx+4cos3x(-sinx)=4sinxcosx(sin2x-cos2x)
=-2sin2xcos2x=-sin4x
【变式2】求下列函数导数:
(1);
(2).求函数的导数()。
【答案】
(1)设u=1-2x2,则。
∴
。
(2).方法一:
。
方法二:
∵,∴
。
类型四:
利用导数求函数式中的参数
例5
(1),若,则a的值为()
A.B.C.D.
(2)设函数,若是奇函数,
则=________。
【解析】
(1)∵,
∴,∴,故选A。
(2)由于,
∴,
若是奇函数,则,即,
所以。
又因为,所以。
【点评】求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则,转化为常见函数的导数问题,再利用求导公式来求解即可。
举一反三:
【变式1】
已知函数过点(1,5),其导函数的图象
如图3-2-1所示,求的解析式。
【答案】∵,
由,,,得
,解得,
∴函数的解析式为。
【变式2】已知是关于的多项式函数,
(1)若,求;
(2)若且,解不等式.
【解析】显然是一个常数,所以
所以,即
所以
∵,∴可设
∵∴
由,解得
10
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