完整word版勾股定理习题附答案.docx
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完整word版勾股定理习题附答案
勾股定理评估试卷
(1)
、选择题(每小题3分,共30分)
1.
直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数,则其周长为().
(B)28
(C)56
2.
直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,
则它的斜边长
(A)4cm
(B)8cm
(C)10cm
12cm
3.
已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是(
正确的是(
10.如图,AB丄CD于B,AABD和^BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17BE=5,那么AC
的长为(
(A)12
(C)5
(D)13
(B)7
C
(第10题)
3米
S)
(第11题)
(第14题)
二、填空题(每小题3分,24分)
地毯的长度至少需
11.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯
12.在直角三角形ABC中,斜边AB=2,贝UAB2+AC2+BC2
13.直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为
则这个半圆的面
14.如图,在△ABC中,/C=90,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆,
积是
棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞
16.如图,△ABC中,/C=90°,AB垂直平分线交
若BC=8,AD=5,贝UAC等于
17.如图,四边形ABCD是正方形,AE垂直于BE,且
18.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角
三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,
C,D的面积之和为
2cm.
三、解答题(每小题8分,共40分)
19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题:
“小溪边长着两棵棕榈树,恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单
位),另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺•每棵树的树顶上都停着
只鸟•忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,并且同时到达目标•问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远?
20.
如图,已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21.如图,AB两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,
且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向AB两镇供水,铺设水管的费用为每千
米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M使铺设水管的费用最节省,并求出总费用
是多少?
n
—CD—
第21题图
22.如图所示的一块地,/ADC=90,AD=12mCD=9mAB=39mBC=36m求这块地的面积。
23.如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距
离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
四、综合探索(共26分)
24.(12分)如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向100km的B处有一台
风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=60km那么
台风中心经过多长时间从B点移到D点?
如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受
到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危
险?
C
25.(14分)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=C,若/C=90。
,如图
(1),根据勾股定
222
理,贝ya+b=c,若^ABC不是直角三角形,如图
(2)和图(3),请你类比勾股
参考答案
25
11.7;12.8;13.24;14.5^;15.13;
16.4;17.19;18.49;
三、解答题
19.20;
20.设BD=x贝UAB=8-x
由勾股定理,可以得到AB=bD+aD\也就是(8-x)2=x2+42.
所以x=3,所以AB=AC=5BC=6
21.作A点关于CD的对称点A',连结BA',与CD交于点E,则E点即为所求.总费用150
万元.
22.116m2;
23.0.8米;
四、综合探索
24.4小时,2.5小时.
2>c2
2
25.解:
若^ABC是锐角三角形,则有a+b
当^ABC是锐角三角形时,
根据勾股定理得b2—x2=c2—(a—x)2
即b2—x2=c2—a2+2ax—x2
•••a2+b2=c2+2ax
■/a>0,x>0
/•2ax>0
二a2+b2>c2
当^ABC是钝角三角形时,
证明:
过点B作BDAC,
B
设CD为x,则有DB2=a2—x2
根据勾股定理得(b+x)2+a2—x2=c2
即b2+2bx+x2+a2—x2=c2
a2+b2+2bx=c2•/b>0,x>0/•2bx>0
二a2+b2 (满分: 选择题(每题6分) 100分 时间: 45分钟) 成绩 1、等腰三角形底边上的高为8, A56 B48 周长为 C 32,则三角形的面积为 40D321 2、 A 如果 2n Rt△的两直角边长分别为 Bn+1 n2—1,2n(n>1),那么它的斜边长是 Cn2—1Dn2+1 已知, 叠,使点 A6cm 3、 如图长方形ABCD中, B与点D重合,折痕为 2 B8cm2 AB=3cmAD=9cm将此长方形折 £巳则^ABE的面积为 22 C10cmD12cm 4、已知,如图, 行,另一轮船以 开港口2小时后,则两船相距 A25海里B30海里C35海里D40海里 一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航 12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行, 填空题(每题6分) 5、在Rt△ABC中,/C=90°,①若a=5,b=12,则c=;②若 b=;③若c=61,b=60,则a=;④若a: b=3: 4,c=10则SRtAABC= a=15,c=25,则 6、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B, C,D的面积之和为 cm。 222 7、已知X、y为正数,且|x-4I+(y-3)=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜 边为边长的正方形的面积为 8、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树米处的池塘的A处。 另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高米。 C A 7cm 20 三、解答题(每题13分) 其对角线长为10m为建栅栏, 9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m 要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗? 10、已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,/A=90。 ,求四边形ABCD的面积。 11、太阳刚刚从地平线升起,巴河姆就在草原上大步朝东方走去, 左拐弯,接着又走了许久许久,再向左拐弯,这样又走了2俄里,这时,他发现天色不早了,而自己离出发点还足足有17俄里,于是改变方向,拼命朝出发点跑去,在日落前赶回了出发点。 这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。 你能算出巴河姆这一天共走了多少路? 走过的路所围成的土地面积有多大吗? 12、如图1,是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边 长为C;如图2是以c为直角变的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 画出拼成的这个图形的示意图,写出它的名称; 用这个图形证明勾股定理; (无需证明) 设图1中的直角三角形由若干个,你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗? 请画出拼成后的示意图。 探索勾股定理 (二) 1.填空题 (1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米. (2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里. (3)如图1: 隔湖有两点AB,为了测得AB两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50mCB=40m那么AB两点间的距离是. 2•已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm求这个三角形的面积. 3.在△ABC中,/C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm (1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长. (2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长. 4.如图2,要修建一个育苗棚,棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上 覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜? 5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8cmBC=10cm在边CD上取一点ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F,求CE的长. 等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为. 一个三角形的三边之比为5: 12: 13,它的周长为60,则它的面积是. 3.已知a,b,c为^ABC三边,且满足(a2-b2)(a+b2—c2)=0,则它的形状为() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 4. 如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,—只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(兀取3)是(). 如图,正方形网格中的△ABC若小方格边长为1,则^ABC是 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 &如果Rt△的两直角边长分别为n2—1,2n(n>1),那么它的斜边长是 22 Bn+1CCn—1Dn+1 9.在^ABC中,NC=90。 若a+b=7,△ABC的面积等于6,则边长c= 10.如图△ABC中,NACB=90: AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC贝UMN= 11.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为_J0 12.若^ABC是直角三角形,两直角边都是6,在三角形斜边上有一点P,到两直 角边的距离相等,则这个距离等于六根二 13.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走 的最短路程是多少? 小河 17km 牧童A* •B小屋 14、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗? 15.校园里有一块三角形空地,现准备在这块空地上种植草皮以美化环境,已经测量出它的三边长分别是13、14、15米,若这种草皮每平方米售价120元,则购买这种草皮至少需要支出多少? 16、如图,在△ABC中,/B=9O: AB=BC=6把^ABC进行折叠,使点A与点D 重合,BD: DC=12折痕为EF,点E在AB上,点F在AC上,求EC的长。 2.在MBC中,AB=AC=1,BC边上有2006个不同的点11, 记mi=AR2+BPpC(i=1,2,IH2OO6),贝Umi+m2+川口沁二解: 如图,作AD丄BC于D,因为AB=AC=1,则BD=CD.由勾股定理,得AB2=AD2+BD2,AP2=AD2+PD2.所以 AB2-AP2=BD2-PD2 =(BD-PD)(BD+PD)=BPPC 所以AP2+BP卩C=AB2=12. 因此mi+m2+川m2006=12x2006=2006. 3※.如图所示,在RtAABC中,乂BAC=90: AC=AB,NDAE=45。 ,且BD=3, CE=4,求DE的长. 解: 如右图: 因为MBC为等腰直角三角形,所以NABD=NC=45。 .所以把MEC绕点A旋转到心AFB,则心AFB三AAEC. 所以BF=EC=4,AF=AE,NABF=NC=45。 .连结DF. 所以也DBF为直角三角形. 由勾股定理,得DF2=BF2+BD2=42+32=52.所以DF=5. 因为? DAE45? 所以? DAF? DAB? EAC45? . 所以DADE@DADFSAS. 所以DE=DF=5. 4、如图,在△ABC中,AB=AC=6P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PCPA+pA 的值。 5、※如图在Rt△ABC中,NC=90: AC=4,BC 合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。 如图所示: 要求: 在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形) 曰■一个等 解: 要在Rt△ABC的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形疋腰三角形,关键是腰与底边的确定。 要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。 下图中的四种拼接方法供参考。 答案: 选择题 1、B2、D3、填空题 5、①13②20 解答题 9、28m 10、解: 连接BD ③11④24;6、49;7、5; 8、25 =Jab12+AD2=5 打NA=90°二BD 又: 5,2,3是一组勾股数,二iBCD是直角三角形 11 S四边形abcd=2咒3^4+孑^5^12=36 11、根据题意画出图形,已知AE=10,DC=EB=2,AD=17 寫Rt必ed二ED=JaD2-AE2=15二周长为: 10+15+2+17=44(俄里) 面积为: —(2+10)X15=90(平方俄里) 2 AEB 12、 (1)直角梯形 (2)根据面积相等可得: -(a+b)(a+b)=丄ab咒2 222 化简得: a2+b2=c2 作AD丄BC垂足为D,贝UD为BC中点,BD=CD=6cm在Rt△ABD中,AC^aB—bD=102—6=64 ••AD=8cm 112 二Saab[=—BC-AD—X12X8=48(cm) 22 3.解: (1)vAABC中,/C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm •••A^=A(C+B(C=2.12+2.82=12.25 •••AB=3.5cm .“AC”BC2.1X2.8“Q,、 ••CD===1.68(cnr) AB3.5 (2)在Rt△ACD中,由勾股定理得: aD+cD=aC •••aD^aC—cD=2.12—1.682 =(2.1+1.68)(2.1—1.68) =3.78X0.42=2X1.89X2X0.21 2 =2X9X0.21X0.21 •••AD=2X3X0.21=1.26(cm) •••BD=AB-AD=3.5—1.26=2.24(cm) 4. 3m所以矩形塑料薄膜 解: 在直角三角形中,由勾股定理可得: 直角三角形的斜边长为 的面积是: 3X12=36(m) 5.解: 根据题意得: Rt△AD專Rt△AEF •••/AFE=90,AF=10cmEF=DE 设CE=xcm,贝UDE=EF=C—CE=8-x 在Rt△ABF中由勾股定理得: aB+bF=aF,即82+BF2=102, ••BF=6cm •••CF=BC-BF=10—6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得: eF=cE+cF,即(8—x)2=x2+42 22 •64—16x+x2=x2+16 ••x=3(cm),即CE=3cm
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