高二数学最新教案高二数学教学设计两个平面垂直的判.docx
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高二数学最新教案高二数学教学设计两个平面垂直的判
两个平面垂直的判定和性质
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.二面角、二面角的平面角、直二面角.
2.正确理解二面角及二面角的平面角.
(二)能力训练要求
1.通过概念教学,提高逻辑思维能力,渗透等价转化思想.
2.通过图形结构分析,掌握作图方法,提高空间想象能力.
(三)德育渗透目标
通过本节教学,由水坝、卫星运行轨道平面到二面角,体现由具体到抽象思想.
●教学重点
二面角的平面角.
●教学难点
求作二面角的平面角.
●教学方法
由实际例子诱导学生思考二面角的形成.
由定义得到如何求作二面角的平面角方法.
●教具准备
投影片三张
第一张:
(记作§9.6.1A)
第二张:
(记作§9.6.1B)
第三张:
(记作§9.6.1C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
两个平面平行的判定有哪几种方法?
各种方法应具备的条件是什么?
两个平面平行的性质有哪些?
如何利用性质解决问题?
这一部分中等价转化思想体现在哪里?
Ⅱ.讲授新课
1.二面角
[师]两个平面的位置关系包括相交、平行两种,两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画.
而两个相交平面的相对位置由这两个平面所成的“角”来确定.
修筑水坝,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度,如投影
(§9.6.1A)
还有教材中人造地球卫星的发射,需卫星轨道平面和地球赤道平面成一定的角度.
请同学们再举出生活中例子说明结论.
那就是:
为了解决实际问题,需研究两个平面所成的角.
[师]请同学归纳总结二面角的概念.(可与平面角概念对比)
二面角的概念
(1)半平面的定义:
平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.
(2)二面角的定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.
[师](3)常用直立式和平卧式两种(教师和学生共同动手).
直立式
平卧式
[生](4)二面角的表示
在上图
(1)中,棱为AB,面为α、β的二面角,记作二面角α-AB-β.
有时为了方便也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
如果棱为l,则这个二面角记作α-l-β或P-l-Q.
[师]进一步研究图
(2)中∠AOB与∠A′O′B′的大小.
在二面角α-l-β的棱上任取点O,以O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB组成∠AOB.
再取棱上另一点O′,在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′,则它们组成角∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′,∠AOB和∠A′O′B′关系如何?
[生]由OA∥O′A′,OB∥O′B′可知:
∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同.
即∠AOB=∠A′O′B′.
[师]结论说明了什么问题?
[生]按照上述方法作出的角的大小,与角的顶点在棱上的位置无关.
[师]由此结果引出二面角的平面角概念.
(5)二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
上图
(2)中的∠AOB、∠A′O′B′都是二面角α-l-β的平面角.
前边举过门和门所在墙的关系,随着门的开启,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来,度量二面角的大小,利用的是二面角的平面角.
二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.
本书中规定二面角的大小范围为0°~180°.
当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角的大小为180°.
[师]若一个二面角的平面角是直角,就说这个二面角为直二面角.
除教材例外,举出一个二面角为直二面角的例子.
[生]教室相邻墙构成的二面角就是直二面角.
如图DD1⊥A1D1,DD1⊥D1C1.
∴ ∠A1D1C1为二面角A1-D1D-C1的平面角.
∵ ∠A1D1C1=90°.
∴ 该二面角为一直二面角.
[师]在作图时注意两种情形:
(1)
(2)
(1)它是一个“平面角”,它的两边必须在同一平面内,AB、CD虽各在两个平面内,且都垂直于棱,但不在同一平面内,所以AB和CD不成平面角.
(2)二面角的平面角的两边必须都与棱垂直,∠ABC的顶点虽在棱上,两边也分别在两个半平面内,但BC不与棱垂直,所以∠ABC不是二面角的平面角.
下面阅读例1,并简要分析.
[例1]河堤斜面与水平面所成二面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤角的水平线AB的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了多少?
(精确到0.1m)
(§9.6.1C)
分析:
人升高了多少?
实质上就是求人所在位置到水平面距离,问题就转化为解Rt△EFG,而直角三角形的求解靠二面角的平面角来完成,找二面角的平面角就成为关键.
解:
取CD上一点E,设CE=10m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内,作EF⊥AB,垂足为F,并连结FG.
则FG⊥AB.
即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角.
∠EFG=60°,
由此得
.
答:
沿直道行走到10m时人升高约4.3m.
[师]学生思考问题.
两条相交直线对顶角相等.
两个平面相交时,形成一些二面角,其中有些二面角有类似对顶角的位置关系,
二面角α-ΑΒ-β和二面角α′-AB-β′相等.
这样的两个二面角有公共的棱,
它们的面合在一起恰是两个相交平面.
具有这样特殊位置的两个二面角大小相等.
但二面角α-AB-β和二面角β′-AB-α′是互补的.
Ⅲ.课堂练习
课本P36 练习1,2,3,4.
1.房间里相邻的两面墙及地面可以构成几个二面角?
分别指出这些二面角的面、棱、平面角和度数.
[通过观察,每一墙面和地面均可构成一个二面角,共两个.墙面和墙面可构成一个二面角,符合题的二面角共有三个,由于这些面两两垂直,故它们的二面角度数为90°,棱为面的交线,面为墙及地面.]
2.如图α、β、γ为平面,α∩β=l,α∩γ=a,β∩γ=b,l⊥γ.指出图中哪个角是二面角α-l-β的平面角,并说明理由.
[依题l⊥γ.
∵ a∩γ=a,β∩γ=b.
∴ l⊥a,l⊥b.
又a、b相交于l上一点,
故a、b所成角就是二面角α-l-β的平面角.]
3.如图,二面角α-l-β的大小为30°,P∈α,点P到β距离为h,求点P到棱l的距离.
解:
经P在面α内作PA⊥l于A,
经P作PB⊥β于B,连结AB,
则有AB⊥l,
即∠PAB=30°.
PA=
=2h.
[该问题同例1一样,关键在于寻求二面角的平面角,而找平面角的过程也是三垂线逆定理运用的过程.依定理找一个二面角的平面角是以后解决二面角问题常用做法.]
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面ABC1D1与正方体的各面所成的二面角分别是多少度?
解:
与面ADD1A1及面BCC1B1成90°的二面角与其余四面成45°的二面角.
这是因为面ABC1D1与面BCC1B1及面ADD1A1垂直.
又∵ B1C1⊥D1C1,BC1⊥D1C1,B1C1∩BC1=C1
故∠B1C1B为二面角,面A1C1-D1C1-面AC1的平面角∠B1C1B=45°,
则对角面与面A1B1C1D1成45°的二面角.
Ⅳ.课时小结
1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念.
2.通过学习应掌握利用二面角的平面角的定义.(练习4)
利用三垂线定理的逆定理(例1、练习3),作垂直于棱的平面,与两半平面的交线构成的角(练习2)的作法.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P39 习题9.6 1~7.
1.
(1)如图立体图形V-ABC的四个面是全等的正三角形,画出二面角V-AB-C的平面角,并求它的度数.
解:
取AB的中点D连VD、CD.
因△VAB及△CAB均为正三角形,
故VD⊥AB,CD⊥AB,VD∩CD=D,
∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.
若正三角形边长为a,则VD=CD=
a.
cos∠VDC=
=
.
∠VDC=arccos
.
[依定义求作二面角的平面角.]
(2)如图,立体图形V-ABCD中,底面是正方形ABCD,其他四个侧面都是全等的正三角形,画出二面角V-AB-C的平面角,并求它的度数.
解:
设底面边长为a,则侧面三角形的边长也为a.
取AB的中点E,DC中点F,连VE、EF.
∵ 侧面△VAB是正三角形,
∴ VE⊥AB.
又EF∥BC,BC⊥AB,∴ EF⊥AB.
∠VEF就是V-AB-C的平面角.
cos∠VEF=
.
[
(2)也是依定义找二面角的平面角,同
(1)一样注重利用等边三角形的一边上高线,本题也可利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理求解,前提是作线VO.]
2.画出三个二面角,使它们的度数分别为120°、90°、45°.
上图
(1)、
(2)、(3)分别表示三个二面角的度数依次为120°、90°、45°.
3.在一个斜坡上,有一条与坡脚的水平线成45°角的直道,沿这条道行走到40m时人升高了14.14m,求坡面的倾斜角.(即坡面与水平面所成的二面角)
[仿例1求解,坡面的倾斜角约为30°.]
4.如图,要把长方体铁块加工成一个V形铁块,使V形面成直二面角,上口宽40mm,求切削深度.
解:
将问题转化为:
V形面成直二面角,即解等腰Rt△ABC求其高BO.
因三角形ABC是等腰直角三角形,
AC=40mm,
故OB=OC=20mm.
5.已知二面角α-l-β是45°角,点P在半平面α内,点P到半平面β的距离是h,求点P到棱l的距离.
解:
经P作PB⊥β于B,
经P在平面α内作PA⊥l于A.
连AB,则AB⊥l.
∠PAB就是二面角的平面角,∠PAB=45°.
那么在Rt△PAB中,PB=h,PA=
h.
[依题的条件,利用三垂线定理的逆定理找到已知二面角的平面角,从而使问题得到解决.]
6.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:
它们所成的角与这个二面角的平面角互补.
证明:
如图PQ⊥β,PQ⊥AB,
PR⊥α,PR⊥AB,
则AB⊥面PQR.
经PQR的平面交α、β于SR、SQ,
那么AB⊥SR,AB⊥SQ.
∠QSR就是二面角的平面角.
因四边形SRPQ中,∠PQS=∠PRS=90°,
因此∠P+∠QSR=180°.
[用垂直于棱的平面和两个半平面相交,交线构成的角就是二面角的平面角的结论,来找二面角的平面角,从而使得问题得证.]
7.一张菱形硬纸板ABCD的中心是点O,沿它的一条对角线AC对折,使BO⊥DO,
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