高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章线性空间
1.设
证明:
。
证任取
由
得
所以
即证
。
又因
故
。
再证第二式,任取
或
但
因此无论哪一种情形,都有
此即。
但
所以
。
2.证明
,
。
证
那么
在后一情形,于是
所以
,由此得
。
反之,假设
,那么
在前一情形,
因此
故得
在后一情形,因而
,得
故
于是
。
假设
。
在前一情形X
,
。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n〔n
1〕的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个n×n实数矩阵,A的实系数多项式f〔A〕的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体实对称〔反对称,上三角〕矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
;
7)集合与加法同6〕,数量乘法定义为:
;
8)全体正实数r,加法与数量乘法定义为:
,
;
解1〕否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式,例如
。
2〕令V={f〔A〕|f〔x〕为实数多项式,A是n×n实矩阵}
因为
f〔x〕+g〔x〕=h〔x〕,kf〔x〕=d〔x〕
所以
f〔A〕+g〔A〕=h〔A〕,kf〔A〕=d〔A〕
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条,故v构成线性空间。
3〕矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质,只需证明对称矩阵〔上三角矩阵,反对称矩阵〕对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明:
当A,B为反对称矩阵,k为任意一实数时,有
,A+B仍是反对称矩阵。
,所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4〕否。
例如以向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5〕不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,〔0,0〕是零元,任意〔a,b〕的负元是〔-a,
-b〕。
对于数乘:
即
。
=
,
=
=
=
=
,
即
,所以,所给集合构成线性空间。
6〕否,因为
。
7〕否,因为
,
所给集合不满足线性空间的定义。
8〕显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足
所以,所给集合
构成线性空间。
4在线性空间中,证明:
1〕
2〕
。
证1〕
。
2〕因为
。
5证明:
在实函数空间中,1,
式线性相关的。
证因为
,所以1,
式线性相关的。
6如果
是线性空间
中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么他们线性无关。
证假设有不全为零的数
使
,
不妨设
那么
,这说明
的公因式也是
的因式,即
有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以
线性无关。
7在
中,求向量
在基
下的坐标。
设
1〕
;
2〕
。
解1〕设有线性关系
,那么
,
可得
在基
下的坐标为
。
2〕设有线性关系
,那么
,
可得
在基
下的坐标为
。
8求以下线性空间的维数于一组基:
1〕数域P上的空间P
;2〕P
中全体对称〔反对称,上三角〕矩阵作成的数域P上的空间;3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=
。
解1)
的基是
且
。
2)i)令
,即
其余元素均为零,那么
是对称矩阵所成线性空间
的一组基,所以
是
维的。
ii)令
,即
其余元素均为零,那么
是反对称矩阵所成线性空间
的一组基,所以它是
维的。
iii)
是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是
维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2,且对于任一正实数
可经2线性表出,即.
所以此线性空间是一维的,且2是它的一组基。
4)因为
所以
,
于是
,而
。
9.在
中,求由基
,
到基
的过渡矩阵,并求向量
在所指基下的坐标。
设
,
,
在
下的坐标;
,
,
在
下的坐标;
,
,
在
下的坐标;
解
〔
〕=〔
〕
=〔
〕A
这里A即为所求由基
到
的过渡矩阵,将上式两边右乘得
,
得〔
〕=〔
〕
,
于是
〔
〕
=〔
〕
,
所以在基下的坐标为
,
这里
=
。
令
那么
〔
〕=(
)
=(
)A,
〔
〕=(
)
=(
)B,
将(
)=〔
〕
代入上式,得
〔
〕=〔
〕
B
,
这里
=
B=
,
且
即为所求由基
到基
的过渡矩阵,进而有
=(
)
=〔
〕
=〔
〕
,
所以
在
下的坐标为
。
同
,同理可得
A=
B=
=
那么所求由
到
的过渡矩阵为
B=
。
再令
+b
+c
+d
,即
,
由上式可解得
在下的坐标为
下的坐标为
。
10.继第9题1〕求一非零向量
,它在基
与
下有一样的坐标。
解设
在两基下的坐标为
,那么
=〔
〕
=〔
〕
。
又因为
〔
〕=〔
〕
=〔
〕A,
所以
=A
〔A-E〕
=0。
又
,
于是只要令
,
解此方程组得
=
(c为任意非零常数),
取c为某个非零常数
,那么所求
为
。
11.证明:
实数域作为它自身的线性空间与第3题8〕中的空间同构。
证因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。
12.设
都是线性空间
的子空间,且
,证明:
如果
的维数与
的维数相等,那么
。
证设dim(
)=r,那么由基的扩大定理,可找到
的一组基
,因
,且它们的唯数相等,故
,也是
的一组基,所以
=
。
13.
。
1〕证明:
全体与可交换的矩阵组成的一个子空间,记做C〔A〕;
2〕当A=E时,求C〔A〕;
3〕当A=
时,求C〔A〕的维数和一组基。
证1〕设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。
假设B,D属于C(A),可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A,
故B+D
C(A)。
假设k是一数,B
,可得
A〔kB〕=k(AB)=k(BA)=(kB)A,
所以kB
C(A)。
故C(A)构成
子空间。
2〕当A=E时,C〔A〕=
。
3〕设与A可交换的矩阵为B=〔
〕,那么B只能是对角矩阵,故维数为n,
即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解假设记
A=
,
并设B=
与A可交换,即AB=BA,那么SB=BS。
且由
SB=
,
BS=
=
,
可是
,
又
,
即
,
该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。
取自由未知量a,
,并
令b=1,其余为0,得
=3,a=3;
令
=1,其余为0,得
=3,a=
;
令
=1,其余为0,得
=1,a=1;
令
=1,其余为0,得
=0,a=
;
令
=1,其余为0,得
=1,a=1;
那么与A可交换的矩阵为
B=
,
其中,a,
可经b,
表示,所求子空间的一组基为
,
且维数为5。
15.如果
且
,证明:
L
=L
。
证由
,知
所以a可
经线性表出,即
可经
线性表出,同理,
也可经
线性表出。
故L
=L
。
16.在
中,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。
设
1〕
,
。
解1〕
的一个极大线性无关组
,因此
为L
的一组基,且的维数是3。
2〕
的一个极大线性无关组为
,故
是L
的一组基,且维数为2。
17.在
中,由齐次方程组
确定的解空间的基与维数。
解对系数矩阵作行初等变换,有
所以解空间的维数是2,它的一组基为
,
。
18.求由向量
生成的子空间与由向量
生成的子空间的交的基与维数,设
1〕
;
2〕
;
3〕
。
解1〕设所求交向量
,
那么有
,
即
,
可算得
,且
,
因此方程组的解空间维数为1,故交的维数也为1。
任取一非零解
=
,得一组基
,
所以它们的交L
是一维的,
就是其一组基。
2〕设所求交向量
,
那么有
,
因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解,即
从而
交的维数为0。
3〕设所求交向量为
,
即
,
由
知解空间是一维的,因此交的维数是1。
令
,可得
,因此交向量
就是一组基。
19.设
与
分别是齐次方程组
的解空间,证明:
证由于
的解空间是你n-1维的,其基为
而由
知其解空间是1维的,令
那么其基为
且
即为
的一组基,从而
又
,故
。
20.证明:
如果
那么
。
证由题设知
因为
所以
,又因为
所以
故
,
即证
。
21.证明:
每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
证设
是n维线性空间V的一组基。
显然
都是V的一维子空间,且
=V,又因为
,
故
。
22.证明:
和
是直和的充分必要条件是
。
证必要性是显然的。
这是因为
,所以
。
充分性设
不是直和,那么0向量还有一个分解
,
其中
。
在零分解式中,设最后一个不为0的向量是
那么
,即
,
因此
,这与
矛盾,充分性得证。
23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间R
。
1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?
2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间
问
能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来;
3〕就用该三维空间的例子来说明,假设U,V,X,Y是子空间,满足U+V=X,X
Y,是否一定有
。
解1〕终点所在的平面是过原点的平面,那么所有这些向量构成二维子空间;但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间,因为对加法不封闭。
2)
;
〔1〕直线
与
重合时,是
一维子空间;
〔2〕
与
不重合时,时
二维子空间。
:
(1)
重合时,
构成一维子空间;
(2)
在同一平面上时,
构成二维子空间;
(3)
不在同一平面上时,
构成三维子空间。
3)令过原点的两条不同直线
,
分别构成一维子空间U和V,X=U+V是二维子空间,在
,
决定的平面上,过原点的另一条不与
,
一样
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