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天津高考文科数学含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(文史类)
本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第I卷1至2页,第n卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形
码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项:
1•每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2•本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
•如果事件A,B互斥,那么P(AUB)=P(A)+P(B)•
•棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.
1
•棱锥的体积公式V-Sh,其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.
3
1.选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)设集合A{1,2,3,4},B{1,0,2,3},C{xR|1x2},则(AUB)IC
(B){0,1}
(D){2,3,4}
(A){1,1}
(C){1,0,1}
5,
(2)设变量x,y满足约束条件2x
y
0,
(A)6
(C)21
4
'则目标函数z3x5y的最大值为
1,
(B)19
(D)45
(3)设xR,则“x38”是“|x|
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为
r=r+1
a
(A)
1
(B)2
(C)
3
(D)4
(5)
已知a
log3
7,b
(1)3,c
logi1,则
a,b,c的大小关
€系为
24
35
(A)
ab
c
(B)bac
(C)
cba
(D)cab
(6)将函数y
sin(2x-)的图象向右平移一个单位长度,所得图象对应的函数
510
双曲线交于代B两点•设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为di和d2,且
d!
d26,则双曲线的方程为
uuuuuuu
则BCOM的值为
注意事项:
1•用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
2.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)i是虚数单位,复数口
12i
(10)
的值为
已知函数f(x)=ex|nx,f'x)为f(x)的导函数,则f'
(1)
(11)如图,已知正方体ABCDAB1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1-BB1D1D的体积为
第(11)题團
(12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.
1
(13)已知a,b€R,且a43b+6=0,则2a+飞的最小值为.
8b
2
x2xa2,x0,
(14)已知a€R,函数fx2若对任意x€[43,+),f(x)wx恒
x22x2a,x0.
成立,则a的取值范围是.
3.解答题:
本大题共6小题,共80分•解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的
方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(n)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学
承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
(16)(本小题满分13分)
在厶ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-n).
6
(I)求教B的大小;
(n)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC丄平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,/BAD=90°.
(I)求证:
AD丄BC;
(n)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(川)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n€N*);{5}是等比数列,公比大于0,其前n项和
为Tn(n€N*).已知bi=i,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(I)求Sn和Tn;
(n)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
22
设椭圆笃岭1(a
ab
(19)(本小题满分14分)
b0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:
ykx(k0)与椭圆交于P,Q两点,I与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限若厶BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
(20)(本小题满分14分)
设函数f(X)=(Xt1)(Xt2)(Xt3),其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
(I)若t20,d1,求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(II)若d3,求f(x)的极值;
(III)若曲线yf(x)与直线y(X1t2)6'、3有三个互异的公共点,求d的取值范
参考答案
1
(9)4-i(10)e(11)-
3
2211
(12)xy2x0(13)—(14)[—,2]
48
三、解答题
(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其
概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
(I)解:
由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:
2:
2,由于采用分层
抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3
人,2人,2人.
(□)(i)解:
从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,
F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},
{E,G},{F,G},共21种.
(ii)解:
由(I),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.学@科网所以,事件M发生的概率为P(M)=—.
21
(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦
与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.
(I)解:
在△ABC中,由正弦定理―—,可得bsinAasinB,又由
sinAsinB
bsinAacos(Bn),得asinBacos(Bn),即sinBcos(B—),可得tanB73.又666
因为b(0,n,可得b=n.
3
(n)解:
在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=丄,有b2a2C2accosB7,3
故b=,7.
4J32
sin2A2sinAcosA,cos2A2cosA1
7
所以,sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB-4-3--33-3
727214
识•考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力•满分13分.
(I)由平面ABC丄平面ABD,平面ABCA平面ABD=AB,AD丄AB,可得AD丄平面ABC,故AD丄BC.
(n)解:
取棱AC的中点N,连接MN,ND•又因为M为棱AB的中点,故MN//BC.所以/DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=ad2AM2=.13.因为AD丄平面ABC,故AD丄AC.
在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD2AN2=13.
1在等腰三角形DMN中,MN=1,可得2MN13.
cosDMN
DM26
所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为二3.
26
(川)解:
连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM丄AB,CM=.3.又
因为平面ABC丄平面ABD,而CM平面ABC,故CM丄平面ABD.所以,/CDM为直线
CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD=aC2AD2=4.
3a113d
16,
从而a1
1,d
1,故ann,所以Sn
n(n
2
1)
(II)解:
由(
I),
知T
T2
LTn(2123
L2n
)n
2n
1n2.
由Sn(%
T2
L
Tn
)an
4bn可得W1)
2
2n1
n2
n
2n1,
整理得n2
3n
4
0,
解得n
1(舍),或n
4.所以
n的值为
4.学&科网
设等差数列{an}的公差为d.由b4a3,可得33d4.由b§
所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
(I)解:
设等比数列{bn}的公比为q,由bi=1,b3=b2+2,可得q2q20.
a42a6,可得
(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法
研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
5
一,又由a2b2c2,可得2a3b.由
9
|AB|、.a2b213,从而a3,b2.
22
所以,椭圆的方程为—1.
94
(II)解:
设点P的坐标为(X1,yj,点M的坐标为化°2),由题意,X2人0,
点Q的坐标为(x,,y1).由厶BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,
从而x2x12[x1(xj],即x25x1.
3k2
易知直线AB的方程为2x3y6,由方程组2x3y6,消去y,可得x2.由
ykx,
22
xy
”.由x25x,,可得45(3k2),
方程组~9才1,消去y,可得x,
ykx,
两边平方,整理得18k2
25k80,解得k
,或k
9
1
2.
8
当k时,X29
0,不合题意,
舍去;当
k
-时,
X212,冷
—,符合题
9
2
5
意.
1
所以,k的值为丄.
2
(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识
和方法,考查函数思想和分类讨论思想,考查综合分析问题和解决问题的能量,满分14分.
(I)解:
由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x-1,因此f(0)=0,f(0)=-1,
又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.
(n)解:
由已知可得
f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2X2+(3t22-9)X-t22+9t2.
故f(x)=3x3-6t2X+3t22-9.令f(x)=0,解得x=t2-3,或x=t2+3.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
X
(-8,t2-)
t2-V3
(t2-73,t2+V3)
t2+V3
(t2+",+8)
f(X)
+
0
-
0
+
f(x)
/
极大值
极小值
/
所以函数f(x)的极大值为f(t2-,3)=(-,3)3-9^(-.3)=^.3;函数小值为f(t2+
、、3)=(3)3-9x(3)=-63.
(Ill)解:
曲线y=f(x)与直线y=-(x-12)-6.3有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)
(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+63=0有三个互异的实数解,令u=x-12,可得u3+(1-d2)u+6=0.
设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6-3,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-12)-6■.3有三个互异的公共点等
价于函数y=g(x)有三个零点
g'(x)=3x3+(1-d2).
当d2wi时,g'(x)>0这时g'(x)在R上单调递增,不合题意
易得,g(x)在(-m,Xi)上单调递增,在[xi,X2]上单调递减,在(x2,+旳上单调递增,
若g(x2)>0由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点,不合题意.
3
若g(X2)0,即(d21)227,也就是|d|,此时|d|化,g(|d|)|d|630,
且2|d|为,g(2|d|)6|d|32|d|6362106「30,从而由g(x)的单调
性,可知函数yg(x)在区间(2|d|"),(捲必),&2,|d|)内各有一个零点,符合题意.学科……网
所以d的取值范围是(,.10)UC、10,).
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