高二数学 73两条直线的位置关系第二课时大纲人教版必修.docx
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高二数学73两条直线的位置关系第二课时大纲人教版必修
2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系(第二课时)大纲人教版必修
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线l1到l2的角.
2.直线l1与l2的夹角.
3.夹角公式.
(二)能力训练要求
1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.
2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角.
(三)德育渗透目标
1.用联系的观点看问题
2.认识事物在一定条件下能够相互转化.
●教学重点
两条直线的夹角.
●教学难点
夹角概念的理解.
●教学方法
学导式
首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形,而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角,由此引出直线l1到l2的角,直线l1与l2的夹角,并且在有关公式的推导过程中,引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度.
●教具准备
投影片两张
第一张:
l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2A)
第二张:
本节例题(记作§7.3.2B)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]上一节课,我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题,得出了两直线平行与垂直的充要条件,现在,我们作一下简单回顾.
[师]两直线平行的充要条件是什么?
[生]两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等,在y轴上的截距不等.
[师]两直线垂直的充要条件是什么?
[生]两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为-1.
[师]上述两位同学的回答基本正确,但是都忽略了对于条件的说明.两
直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言,若两直线中有一条或两条斜率不存在,则它们的位置关系较易判断.需要注意的是,若对于含有字母的直线方程讨论位置关系,不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.
[师]这一节课,我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.
[师]这一概念的定义,是为了区分两相交直线所形成的角,也是进一步研究的需要,应注意在这一概念中l1、l2是有顺序的.
如图,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2.
并且,有了对这一概念的认识,也就容易理解两直线的夹角的概念.
2.直线l1与l2的夹角
如上图所示,l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2=π-θ1,当直线l1与l2相交但不垂直时,θ1和π-θ1,仅有一个角是锐角,我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.
当直线l1⊥l2时,直线l1和l2的夹角是.
说明:
θ1>0,θ2>0,且θ1+θ2=π.
[师]请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的定义过程中,寻求一下两种角的取值范围有何不同?
[生]l1到l2的角的取值范围是(0°,180°),l1与l2的夹角的取值范围是(0°,].
[师]下面我们一起推导直线l1到l2的角的公式.
3.直线l1到l2的角的公式
tanθ=
(给出投影片§7.3.2A)
推导:
设直线l1到l2的角为θ,l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2.
如果1+k1k2=0,即k1k2=-1,则θ=;如果1+k1k2≠0
设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2,则k1=tanα1,k2=tanα2
由上图
(1)
(2)分别可知:
θ=α2-α1或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)
∴tanθ=tan(α2-α1)或tanθ=tan[π+(α2-α1)]=tan(α2-α1)于是tanθ=
[师]根据两直线的夹角定义可知,夹角在(0°,90°]范围内变化,所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l1到l2的角取绝对值而得到l1与l2的夹角公式.
4.直线l1和l2的夹角公式
tanα=
[师]下面,我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.
5.例题讲解
[例4]求直线l1:
y=-2x+3,l2:
y=x-的夹角(用角度制表示).
解:
由两条直线的斜率k1=-2,k2=1得
tanα=
∴α=arctan3=71°34′
评述:
此题是直接应用两直线的夹角公式,要求学生熟练掌握.
[例5]等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线l3的方程.
分析:
已经已知l3上一点,故求出l3的斜率k3即可,如图,根据等腰三角形的性质,可得到π-θ1=π-θ2,即θ1-θ2,而θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2到l3的角,而根据公式这两角都可用斜率表示,由此可建立关于k3的方程.
解:
设l1、l2、l3的斜率分别为k1,k2,k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,则k1=,k2=-1.
∴tanθ1=
=-3.
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,所以θ1=θ2,tanθ2=tanθ1=-3.
即=-3,将k2=-1代入得
=-3
解得k3=2.
因为l3经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为y=2(x-(-2))
即:
2x-y+4=0
这就是直线l3的方程.
评述:
此题应用了l1到l2的角的公式及等腰三角形有关知识,并结合了直线方程的点斜式,要求学生注意解答的层次.
Ⅲ.课堂练习
课本P50练习
1.求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角:
(1)l1:
y=x+2;l2:
y=3x+7;
(2)l1:
x-y=5;l2:
x+2y-3=0
解:
(1)∵k1=,k2=3
∴设l1到l2的角为θ1,则
tanθ1=
=1
∴θ1=45°即l1到l2的角为45°.
∴l2到l1的角为135°.
(2)解:
∵k1=1,k2=-
∴设l1到l2的角为θ1,则l2到l1的角为θ2=π-θ1
∴tanθ1=
∴θ1=π-arctan3.θ2=arctan3
即l1到l2的角为π-arctan3,l2到l1的角为arctan3.
2.求下列两条直线的夹角:
(1)y=3x-1,y=-x+4;
(2)x-y=5;y=4.
(3)5x-3y=9,6x+10y+7=0.
解:
(1)k1=3,k2=-.
tanα=
分母为0,正切值不存在.
此时,两直线夹角为90°.
(也可根据k1·k2=-1得出的结论)
(2)k1=1,k2=0
tanα==1
∴α=45°
即两直线夹角为45°.
(3)k1=,k2=-
∴k1·k2=-1
∴两直线夹角为90°.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习,要求大家掌握两直线的夹角公式,并区分与l1到l2的角的联系与区别,能够利用它解决一定的平面几何问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P53习题7.3
8.三角形的三个顶点是A(6,3),B(9,3),C(3,6),求它的三个内角的度数.
解:
由斜率公式:
kAB==0
kBC=
kAC==-1
tanCAB==-1
∴∠CAB=135°
tanABC=
∴∠CBA=arctan=26°34′
∴∠C=180°-135°-26°34′=18°26′
9.已知直线l经过点P(2,1),且和直线5x+2y+3=0的夹角等于45°,求直线l的方程.
解:
设直线l的斜率为k1,直线5x+2y+3=0的斜率为k2.
则k2=-.
tan45°==1
即
=1
解得k1=-或k1=.
所以直线l的方程为:
y-1=-(x-2)或y-1=(x-2)
即:
3x+7y-13=0或7x-3y-11=0.
(二)
1.预习内容:
P50~51
2.预习提纲:
(1)如何通过直线方程判断两直线相交?
(2)如何求解两直线的交点?
●板书设计
§7.3.2两直线位置关系
(二)
1.l1到l2的角θ:
0°<θ<180°
2.l1与l2夹角α:
0°<α≤90°
3.l1到l2的角的公式:
tanθ=
4.夹角公式:
tanα=
5.[例4]
[例5]
6.学生练习
2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系(第五课时)大纲人教版必修
教学目标
(一)教学知识点
1.点关于点对称.
2.点关于直线对称.
3.直线关于点对称.
4.直线关于直线对称.
5.直线系方程.
(二)能力训练要求
1.进一步熟悉应用两直线平行、垂直条件.
2.掌握点关于点、直线对称问题.
3.掌握直线关于点、直线对称问题.
4.理解直线系方程的概念并掌握其简单应用.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间在一定条件下的相互转化.
2.学会用联系观点看问题及分析解决问题.
教学重点
点对称问题.
教学难点
点对称问题向直线对称问题的转化.
教学方法
启发式
通过题组解答。
诱导学生思考并发现题组中各题之间的联系与区别,进而找到解决
问题的一般方法,然后通过相互讨论总结点对称问题的求解规律,并能从直线对称问题
的实质出发,找到求解点对称问题的一般方法.
在直线系方程的认知过程中,要求学生注意体会直线系方程的解题优势,并说出自
己的感受,进一步领会自己发现解题方法的乐趣,从而使自己于无形之中得到能力的提
高.
教具准备
幻灯片
第一张:
题组训练一(记作§7.3.5A)
第二张:
题组训练二(记作§7.3.5B)
教学过程
I.课题导入
[师]前面几节课,我们重点研究两直线的平行、垂直关系的判断方法,并联系了求两
直线交点,求点到直线距离的公式,从中总结出相应的解题方法.下面,我们将给出相关的题组。
希望大家在解题的过程中,熟练应用前面所学的知识.而后注意发现各知识之间的
联系,再谈谈自己的感受.
Ⅱ.讲授新课(打出了幻灯片§7.3.5A)
题组训练一
[例1]已知点A(5.8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.
[例2]已知点A的坐标为(一4,4),直线L的方程为3x+y-2=O.求点A关于直线L
的对称点A'的坐标.
[例3]求直线3x-y-4=O关于点P(2,-1)对称的直线L的方程.
[例4]试求直线L1:
x-y-2=0关于直线L2:
3x-y+3=O对称的直线L的方程.
[师]大家在认真审读题目之后。
可以探求一下解题思路,并注意各题之间的区别与
联系,然后大胆地谈出自己的感受,其余同学在注意听取的同时,可以提出不同的见解.
(适当给学生3~5分钟时间思考并解答,然后让学生主动地谈一谈自己的解题感受)
[生甲]若求点A关于点B的对称点C,可根据点B是A、C两点的中点,利用中点坐
标公式求出.
[生乙]对于例1.我是先设出点C(x0·y0),然后根据|AB|=|BC|得到一个方程.
再由kAB=kAC得到第二个方程,两方程联立方程组求解.
[生丙]虽然乙同学的解题的思路可行,但运算较繁,我认为还是甲同学的解法更为
简捷.
[师]这位同学谈得很好,比较不同方法,并得出较简或者是最简思路。
正是我们所追
求的目标,也体现了解题方法的多样性、灵活性.请同学们继续谈.
[生丁]对于例2.我首先设出A'(x,y),然后设AA'的中点B(x0,y0),根据中点坐标公式可用x,y表示x0,y0,又B在直线L上.可得到关于x、y的一个方程,再根据直线AA'的斜率与直线L的斜率存在互为负倒数关系,得到另一个方程,联立方程组可以求出A,坐标.
[生戊]丁同学的解题思路和我的解题思路大致相同,在此题的解题过程中用到了前
面刚学过的两直线垂直的充要条件.
[生己]还可根据点A与
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