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信号与线性系统
信号与线性系统
课程设计说明书NO.1
设计题目对连续信号的分析及仿真
1(设计目的
信号与线性系统课程设计是信号与线性系统教学中的重要实践环节。
要求学生掌握信号与线性系统的时域分析方法和频域分析方法,加深对频域分析理解,让学生独立完成题目要求以及调试工作,激发学习兴趣、巩固已经学过的知识,加深对知识的理解和应用,加强学科间的横向联系,学会应用MATLAB对实际问题进行仿真,锻炼实践能力和科研能
MATLAB软件是今年来比较长用的一种数学软件,它有很强大的功能,主要侧重于某些理论知识的灵活运用。
本次课程设计的目的是:
增加对仿真软件MATLAB的感性认识,熟悉MATLAB软件平台的使用和MATLAB编程方法及常用语句;、初步掌握MATLAB的编程方法和特点;加深理解采样与重构的概念,应用MATLAB编程实现对信号的采样与重构;分别计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下重构信号的误差,并由此总结采样频率对信号重构误差的影响;学生需要自拟题目,根据自己手中的资料独立思考与分析,明确实习内容,制定实习步骤与方案,独立完成作业。
2(原理说明
2.1(1MATLAB
MATLAB是美国MathWorks公司产品,MATLAB现已被广泛于数学、通信、信号处理、自动控制、神经网络、图形处理等许多不同学科的研究中。
并越来越多的应用到我们的学习生活中来,是目前通信工程上最广泛应用的软件之一。
最初的MATLAB只是一个数学计算工具。
但现在的MATLAB已经远不仅仅是一个“矩阵实验室”,它已经成为一个集概念设计、算法开发、建模仿真,实时实现于一体的集成环境,它拥有许多衍生子集工具。
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课程设计说明书NO.2
2.1(2MATLAB绘图的基本指令---plot
plot是MATLAB绘图的基本指令,MATLAB中的绘图指令基本都是由它“衍生”而来,其基本指令形式有如下3种:
plot(x1);
plot(x2,y2);
plot(x3,y3,x4,y4…);
其中,x1、x2、y2、x3、y3等符号均代表需要绘制的参数,它门可以是向量、矩阵、复数矩阵等,plot指令将根据不同的参数绘制不同的图形。
2.1(3多子图绘制指令---subplot
MATLAB为方便用户进行仿真分析,设置了subplot指令,利用它可以在不同的子图下绘制图形,以进行对比分析。
subplot的基本指令格式如下:
subplot(m,n,k)%作出(mn)幅子图中的第k幅图形
subplot(„position‟,[leftbottomwidthheight])%在人工指定位置作出字图。
subplot(m,n,k)指令表示在图形窗口中产生(mn)幅子图,k代表当前绘制子图号。
如
subplot(2,2,1)就是产生22幅子图,当前在子图1绘制图形。
2.1(4sinc序列
Sinc函数是Matlab软件中经常使用的函数之一,sinc序列定义为:
sinn,n,0,n,S(n),,a
1n,0,
这个信号可以利用SignalProcessingToolbox中的函数sinc来实现。
2.2连续时间信号
系统是连续事物或各个部分的一个复杂的整体,有形或无形事物的组成体。
系统可以分为即时系统与动态系统;连续系统与离散系统;线性系统与非线形系统;样时变系统和非时变系统等等。
在连续时间系统中,如一个连续时间系统接收,输入信号x(t),并产生输出信号y(t)。
连续时间信号:
在连续时间范围内定义的信号值,信号的幅值可以是连续数值,也可以是离散数值。
当信号幅值连续是,则称之为模拟信号。
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课程设计说明书NO.32.3信号采样
取样定理论述了在一定条件下,一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值(或称样本值)表示,这些样本值包含了连续时间信号的全部信息,利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。
其具体内容如下:
取样定理:
设为带限信号,带宽为,则当取样频F0率时,可从取样序列中重构,否则将导致的混叠现象。
F,2Fx(n),x(nT)x(n)s0as
带限信号的最低取样频率称为Nyquist(奈奎斯特)速率。
图1给出信号采样原理图
图1信号采样原理图
由图1可见,,其中,冲激采样信号的表达式为:
f(t),f(t),,(t),(t)sTsTs
(1),(t),,(t,nT),Tssn,,,
2,其傅立叶变换为,其中。
设,F(j,)分别为,,F(j,)f(t),,(,,n,),s,sssTns,,,
f(t)的傅立叶变换,由傅立叶变换的频域卷积定理,可得:
s
,11
(2)F(j,),F(j,)*,,(,,n,),F[j(,,n,)]ssss,,2T,nns,,,,,,
F(j,)若设是带限信号,带宽为,由式
(2)可见,经过采样后的频谱就是f(t)f(t)sm
0,,,,,,,?
,,,?
1T将在频率轴上搬移至处(幅度为原频谱的倍)。
因此,F(j,)s2snss,,2,,,2,当时,频谱不发生混叠;而当时,频谱发生混叠。
实际信号中,绝大smsm
多数都不是严格意义上的带限信号,这时根据实际精度要求来确定信号的带宽。
m
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课程设计说明书NO.4
2(4(1信号恢复
设信号被采样后形成的采样信号为,信号的重构是指由经过内插处f(t)f(t)f(t)ss
理后,恢复出原来信号的过程。
又称为信号恢复。
f(t)
若设是带限信号,带宽为,,经采样后的频谱为F(j,)。
设采样频率,,2,,f(t)mssm则由式
(2)知F(j,),是以为周期的谱线。
现选取一个频率特性ss
,,,T,sc,s,(),,,Hj,(其中截止频率满足)的理想低通滤波器与,,,cmc20,,,,c,
F(j,)相乘,得到的频谱即为原信号的频谱。
F(j,)s
F(j,),F(j,)H(j,)显然,,与之对应的时域表达式为s
f(t),h(t)*f(t)(3)s
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课程设计说明书NO.5
,
而f(t),f(t),(t,nT),f(nT),(t,nT)ssss,,nn,,,,,,
,1ch(t),F[H(j,)],TSa(,t)sc,
将及代入式(3)得:
f(t)h(t)s
,,Tcsc(4)f(t),f(t)*TSa(,t),f(nT)Sa[,(t,nT)]sscscs,,,n,,,
式(4)即为用求解的表达式,是利用MATLAB实现信号重构的基本关f(nT)f(t)s
系式,抽样函数在此起着内插函数的作用。
Sa(,t)c
sintf(t),Sa(t),设,其为:
F(j,)t
,,,1,,(),Fj,,0,1,,
即的带宽为,为了由的采样信号不失真地重构,由时域,,1f(t)f(t)f(t)f(t)ms
采样定理知采样间隔,这种采样就被称为欠采样,重构的信号被称为欠采T,,,s,m
tsin()Sinct(),样重构信号。
利用MATLAB的抽样函数来表示,有。
Sa(t)Sa(t),Sinc(t/,),t
据此可知:
,,,Tcscc,(5)f(t),f(t)*TSa(t),f(nT)Sinc[(t,nT)]ssc,ss,,,n,,,
2(4(2重构仿真
所谓仿真(Simulation),就是模型实验,即通过对系统模型进行实验来研究一个存在的或设计中的系统。
按照模型的建立方法,仿真方法可以分为3类:
实物仿真、数学仿真和半实物仿真。
F,2F重构:
从取样信号x(n)重构原信号是一个重要的问题。
理想情况下,序列经s0
F(奈奎斯特速率)取样,再经理想的低通滤波(截止频率为)后,可重构出s
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课程设计说明书NO.6
。
这时采用的内插公式为:
x(t),x(n)sinc[F(t,nT)],assn,,,
3(实验内容
运用MATLAB软件,根据采样定理对分别进行临界采样、过采样和欠采样欠Sa(t)
采样,并观察输出图形。
再将临界采样信号,过采样信号及欠采样信号以及进行防真重构,得出重构图形。
并将重够信号与原信号进行比较,观察误差,并做出分析。
具体程序以及步骤如下:
3(1(1临界采样及其重构
当采样频率时,称为临界采样,取。
利用MATLAB的抽样函数,,2,,,,smcm
tsin()Sinct来表示,有。
据此可知:
下列程序实现对信号(),Sa(t)Sa(t),Sinc(t/,)Sa(t),t
的临界采样及由采样信号恢复。
、Sa(t)
wm=1;
wc=wm;
Ts=pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-150:
150;
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-30:
Dt:
30;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
t1=-30:
0.5:
30;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(211);
stem(t1,f1);
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xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');
subplot(212);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');
grid;
程序分析:
Sa(t)=sinc(t/pi)%利用sinc函数生成函数Sa(t)Pi%圆周率
n=-150:
150;%时域采样点
t=-20:
Dt:
20%产生一个时间采样序列fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))))
%信号重构
sinc(t1/pi)%绘制f1的非的非零样值向量plot(t,fa)%绘制fa的图形
stem(t1,f1)%绘制一个二维杆图title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)')%书写图名grid%是否画网络线的双向切换指令
程序输出图如下:
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课程设计说明书NO.8
图6临界采样信号及其重构信号
3(1(2过采样及其重构
当,,2,时则称采样为过采样,所以令wm=1,wc=1.1*wm,Ts=0.4*pi/wm,ws=2*pi/Tssm
则下列程序实现对信号的临界采样及由采样信号恢复。
Sa(t)Sa(t)
wm=1;
wc=1.1*wm;
Ts=0.4*pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-150:
150;
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-30:
Dt:
30;
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fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
error=abs(fa-sinc(t/pi));
t1=-30:
0.5:
30;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(311);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');
subplot(312);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)');
grid;
subplot(313);
plot(t,error);
xlabel('t');
ylabel('error(t)');
title('过采样信号与原信号的误差error(t)');程序分析:
error=abs(fa-sinc(t/pi));%求重构信号与原信号误差f1=sinc(t1/pi);%f1的非零样值向量xlabel('t')%横坐标轴ylabel('fa(t)')%纵坐标轴
输出图如下:
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图7过采样信号及其重构信号及两信号的绝对误差
3(1(3欠采样及其重构
将上述程序稍加改动,令,,1,,,,,T,1.9,,这种采样信号被称为欠采cmsm
样信号,这种信号的重构被称为欠采样信号的重构,这样根据改动后的程序就可以实现欠采样信号及其信号的重构。
具体程序如下:
wc=wm;
Ts=1.9*pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-150:
150;
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-30:
Dt:
30;
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fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
error=abs(fa-sinc(t/pi));
t1=-30:
0.5:
30;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(311);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');
subplot(312);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)');grid;
subplot(313);
plot(t,error);
xlabel('t');
ylabel('error(t)');
title('欠采样信号与原信号的误差error(t)');
其输出图如下:
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图8欠采样信号及其重构信号及两信号的绝对误差
4、运行结果及结果分析
从图6中我们可以看出,它是临界采样,,,2,其重构信号可以近乎完整的恢sm,
,2,复为原信号,其误差可忽略不计。
图4中,时,此时为对原信号的过采样,由sm
-6图可以看出,两信号的绝对误差error已在10数量级,说明重构信号的精度已经很高。
,2,图7中为原信号的欠采样信号,因为它的取样频率不符合奈奎斯特频率,那sm,
么频移后的各相临频谱会发生相互重叠,这样就无法将他们分开,因而也不能再恢复原信号。
频谱重叠的现象被称为混叠现象。
由图8可见,绝对误差error已大为增加,其原
,,因是因采样信号的频谱混叠,使得在区域内的频谱相互“干扰”所致。
由取样信号c
f(t),,2,的频谱可以看出如果那么各相邻频移后的频谱不会发生重叠,这时就ssm,
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课程设计说明书NO.13能设法从取样信号的频谱中得到原信号的频谱,即从取样信号中恢复原信F(j,)f(t)ss号。
如果,那么频移后的各相临频谱将相互重叠,这样就无法将它们分开,,,2,f(t)sm
因而也不能再恢复原信号。
频谱的这种重叠现象被称为混叠现象。
可见,为了不发生混叠现象,必须满足,,2,sm。
5、心得体会
通过学习完信号与线性系统的课程设计,加深了我对该课程的了解,我觉得理论和实际是分不开的,本学期是我们第一次学习信号与线性系统基础课程,通过该实验巩固了的关于信号的理论,在完整的学习理论课程以后,通过课程设计的事件操作,我们对此门课程有更深的印象。
信号抽样的定理是很一个重要的概念,它贯穿整个课程设计的始终。
课程设计的草稿完成以后,自以为完成不错,但在老师的指导下发现有很多漏洞与不足,经过再三修改,最终完成令人比较满意的结果
由于开始不熟悉MATLAB这个软件,走了很多弯路,后来上图书馆借阅很多相关的材料,经过多日仔细研究,然后在老师的帮助下,最终能熟练运用该软件并顺利运行以上程序,在制作课程设计的过程当中,同时也发现了对此门课程自己还有不尽人意之处,比如对信号线形系统的分析,以及应用MATLAB软件进行仿真的程序,我还不能运用自如。
但是,我相信经过日后系统的深入学习再加上我自己的努力,将来我可以将这些知识进行熟练的应用,并在实际生活当中应用这些知识来解决问题。
6、参考文献
[1]刘旭.MATLAB的系统分析与设计,信号处理[M].北京:
北京电子科技大学出版社,1998.66-68
[2]王涌.MATLAB教程及其应用程序实例[M].北京:
北京航空航天大学出版社,2001.1-6[3]张昱,周绮敏.信号与线性系统实验教程[M].北京:
人民邮电出版社,2005.88-99[4]赵毅,高原等.MATLAB7辅助信号处理技术与应用[M].北京:
科技工业出版社,2005.1-3[5]吴大正,杨林耀,张永瑞.信号与线性系统分析[M](第三版).北京:
高等教育出版社,1998.32-3
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