指数对数概念及运算公式.docx
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指数对数概念及运算公式
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指数对数概念及运算公式
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指数函数及对数函数重难点
根式的概念:
①定义:
若一个数的次方等于,则这个数称的次方根.即,若
,则称的次方根,
1)当为奇数时,次方根记作;
2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作
.
②性质:
1);2)当为奇数时,;
3)当为偶数时,
幂的有关概念:
①规定:
1)N*,2),
n个
3)Q,4)、N*且
②性质:
1)、Q),
2)、Q),
3)Q)
(注)上述性质对r、R均适用.
例求值
(1)
(2)(3)(4)
例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
例.化简求值
(1)
=
指数函数的定义:
①定义:
函数称指数函数,
1)函数的定义域为R,
2)函数的值域为,
3)当时函数为减函数,当时函数为增函数.
提问:
在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)(>1,且)
例:
比较下列各题中的个值的大小
(1)1.72.5与1.73
(2)与
(3)1.70.3与0.93.1
例:
已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求
思考:
已知按大小顺序排列.
O
例如图为指数函数,则与1的大小关系为
(A)(B)
(C)(D)
1、函数是()
A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
2、函数的值域是()
A、B、C、D、
3、已知,则函数的图像必定不经过()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
例.求函数的值域和单调区间
例若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.
.f(x)=,则f(x)值域为______.
考查分段函数值域.
【解析】x∈(-∞,1]时,x-1≤0,0<3x-1≤1,
∴-2 x∈(1,+∞)时,1-x<0,0<31-x<1,∴-2 ∴f(x)值域为(-2,-1] 【答案】(-2,-1] 例、已知,则函数的值域是_____________ 例点(2,1)与(1,2)在函数的图象上,求的解析式 例.设函数,求使的取值范围. 例已知定义域为的函数是奇函数。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围; 对数的概念: ①定义: 如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数. 1)以10为底的对数称常用对数,记作, 2)以无理数为底的对数称自然对数,记作 ②基本性质: 1)真数N为正数(负数和零无对数), 2), 3), 4)对数恒等式: 例将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)54=645 (2)(3) (4)(5)(6) 例: 求下列各式中x的值 (1) (2)(3)(4) 分析: 将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x. 练习: 将下列指数式与对数式互化,有的求出的值. (1) (2)(3) (4)(5)(6) 例利用对数恒等式,求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) ③运算性质: 如果则 1); 2); 3)R). ④换底公式: ,2) 对数函数的运算规律 例.用,,表示下列各式: (2) . (1); (2). 解: (1) ; 例.求下列各式的值: (1); (2). 解: (1)原式==; (2)原式= 例.计算: (1)lg1421g; (2); (3) (4)lg2·lg50+(lg5)2 (5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解: (1) ; (2); 例.计算: (1); (2). 解: (1)原式=; (2)原式=. 例.求值: (1); ; (3). 例.求值 (1)log89·log2732 (2) (3) (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 对数函数性质典型例题 例.比较下列各组数中两个值的大小: (1),; (2),; 解: (1)对数函数在上是增函数, 于是; (2)对数函数在上是减函数, 于是; 2、比较大小 (1)_________ (2)________ 3若,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 4已知,则的大小关系是() (B)(C)(D) 例比较下列各组数中的两个值大小: (1)log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1) 例如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系? 提示: 作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0<c<d<1<a<b 例求下列函数的定义域. (1)y= (2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a≠1,k∈R). 例.求函数的单调区间 解: 设,,由得,知定义域为 又,则当时,是减函数;当时,是增函数,而在上是减函数 的单调增区间为,单调减区间为 例函数的单调减区间是________。 例已知y=log4(2x+3-x2). (1)求定义域; (2)求f(x)的单调区间; (3)求y的最大值,并求取最大值时x值. 考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值. 【解】 (1)由2x+3-x2>0,解得-1 ∴f(x)定义域为{x|-1 (2)令u=2x+3-x2,则u>0,y=log4u 由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4 再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1),减区间是[1, 又y=log4u为(0,+∞)增函数, 故该函数单调递增区间为(-1,1],减区间为[1,3) (3)∵u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4 ∴y=log4u≤log44=1 故当x=1时,u取最大值4时,y取最大值1. 例求函数的最小值. 变式.求函数的定义域及值域. 例已知函数y=f(2x)定义域为[1,2],则y=f(log2x)的定义域为() A.[1,2]B.[4,16]C.[0,1]D.(-∞,0] 考查函数定义域的理解. 【解析】由1≤x≤22≤2x≤4, ∴y=f(x)定义域为[2,4] 由2≤log2x≤4,得4≤x≤16 【答案】B 例作出下列函数的图像,并指出其单调区间. (1)y=lg(-x), (2)y=log2|x+1| 例已知函数f(t)=log2t,. (1)求f(t)的值域G; (2)若对于G内的所有实数x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立,求实数m的取值范围. 例已知函数f(x)=,其中为常数,若当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求实数a的取值范围. 分析: 参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于的不等式(组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把分离出来,重新认识与其它变元(x)的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”. 解: >0,且a2-a+1=(a-)2+>0, ∴1+2x+4x·a>0,a>, 当x∈(-∞,1]时,y=与y=都是减函数, ∴y=在(-∞,1]上是增函数,max=-, ∴a>-,故a的取值范围是(-,+∞). 例已知a>0且a≠1,f(logax)=(x-) (1)求f(x); (2)判断f(x)的奇偶性与单调性; (3)对于f(x),当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的集合M. 解: (1)令t=logax(t∈R),则 f(x)在R上都是增函数. 例已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 例、已知函数. (Ⅰ)求函数的定义域;(Ⅱ)若函数在[10,+∞)上单调递增,求k的取值范围. 1.函数的定义域是() A.B.C.D. 2..已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞]时,f(x)≥0恒成立,则 () A.b≤1B.b<1C.b≥1D.b=1 3.函数y=的单调递减区间为( ) A.(-∞,-3)B.(-∞,-1)C.[1,+∞]D.[-3,-1] 4.设f(x)是定义在A上的减函数,且f(x)>0,则下列函数: y=3-2f(x),y=1+,y=f2(x),y=1-,其中增函数的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 5、.若集合M={y|y=2—x},P={y|y=},M∩P=() A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0} 6、设,则() A、B、C、D、 7、在中,实数的取值范围是() A、B、C、D、 8、已知函数,其中,则的值为() 2467 9、函数的图象的大致形状是() 10.当a>0且a≠1,x>0,y>0,n∈N*,下列各式不恒等的是() A.loganx=logaxB.logax=nloga C.=xD.logaxn+logayn=n(logax+logay) 11的值是() B.1C.D.2 12函数f(x)=lnx-零点所在的大致区间是 A(1,2)B(2,3)C(e,+∞)D 13.若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 A.B. C.D. 14.函数的递减区间为 A.(1,+)B.(-,]C.(,+)D.(-,] 15.如果是定义在R上的偶函数,它在上是减函数,那么下述式子中正确的是 A.B. C.D.以上关系均不确定 16.函数、均为偶函数,且当x∈[0,2]时,是减函数,设,,则a、b、c的大小是 A.B.C.D. 17、如果方程的两根是,则的值是() A、B、C、35D、 18、已知,那么等于() A、B、C、D、 19.三个数的大小顺序是() (A)(B) (C)(D) 20、函数的值域是() A、B、C、D、
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- 关 键 词:
- 指数 对数 概念 运算 公式