旋转图形所行路程.docx
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旋转图形所行路程.docx
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旋转图形所行路程
.
旋转图形所行路程问题
1.如图,正△ABC的中心为O,半径为R将其直线L向右滚动,当正三角形翻滚一周
时,其中心O经过的路径是多少?
答案:
2R
A
BCL
2.如图,将半径为R的正方形沿其直线L向右滚动,当正方形翻滚一周时,其中心O经
过的路径是多少?
答案:
2R
AD
BCL
3.如图,将任意多边形沿其直线L向右滚动,当这个多边形翻滚一周时,其中心O经过的
路径是多少?
答案:
2R
O
......
L
4.如图,正△ABC的边长为2,将其沿直线L向右滚动,当正三角形翻滚一周时,其
点B所行路径是多少?
.
解:
〔1〕当正三角形ABC向右翻滚一周时,其中心O经过的路线是三条等弧,
120R
所以其中心O经过的路程为:
3=2πR.
180
5.如图,正方形ABCD的边长为2,将其沿直线L向右滚动,当正方形翻滚一周时,
其点B所行路径是多少?
AD
BCL
解:
根据勾股定理,得
AC=2
2
.
那么当正方形滚动一周时,正方形的顶点
A所经过的路线的长是:
90
2
2
90
2
2
〔cm〕.
2
2
180180
6.正△ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合,点P,Q分别
在AC,AB上,将△APQ沿着边AB,BC,CA顺时针连续翻滚〔如下图〕,直至点P第
一次回到原来的位置,那么点P运动路径的长为多少?
1201
解:
从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角,半径是1,所以弧长=,
180
.
第二次是以点P为圆心,所以没有路程,在BC边上,
120
1
AC边上也是如此,
第一次
第二次同样没有路程,
180
120
1
点P运动路径的长为
×3=2π.
180
故答案为:
2π.
7.矩形ABCD的边AB=8,AD=6地翻滚,当它翻滚至类似开始的位置
,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动AlBlClDl时〔如下图〕,那么顶点A所经过的路线长是
_________.
90
8
90
10
90
6
解:
=12
180180180
8.如图,水平地面上有一面积为
30cm2的扇形
AOB,半径
OA=6cm
,且
OA
与地面垂
直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至
OB
与地面垂直为止,那么
O点移动的距离为
〔〕A、20
cm
B、24
cm
C、10
cm
D、30
cm
.
解:
根据扇形面公式,得
1
1
S=
lR=×6×10π=30π〔cm2〕.
2
2
9.〔2021?
泰安〕如,将
1的正三角形
OAP沿x正方向翻
2021次,点
P依次落在点P
,P,P
⋯P
的位置,点P
2021
的横坐
。
1
2
3
2021
y
P
LL
AO
P1
x
〔第19〕
解:
察形合翻的方法可以得出
P1、P2的横坐是
1,P3的横坐是
2.5,P4、P5
的横坐是
4,P
6
的横坐是5.5⋯依次推下去,P
、P
2006
的横坐是
2005,P
2007
2005
的横坐是
,P2021、P2021的横坐就是2021.
故答案2021
10.如,在直角坐系中,点A〔-3,0〕,B〔0,4〕,△OAB作旋,
依次得到三角形①,②,③,④⋯,三角形⑩的直角点的坐。
.
.
解:
由原图到图③,相当于向右平移了12个单位长度,象这样平移三次直角顶点是〔36,
0〕,再旋转一次到三角形⑩,直角顶点仍然是〔36,0〕,那么三角形⑩的直角顶点的坐标为
(36,0〕.
11.〔2006?
锦州〕如图,将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚,当正方
形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为。
.解:
∵边长为a的正方形ABCD,其对角线的一半即OC=a,
∴第一次旋转的弧长=,
而经过这样的四次旋转后就翻滚了一周,
∴当正方形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为×4=πa.
故填空答案:
πa
12.如图,小明为节省搬运力气,把一个边长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿
直线l不滑行地翻滚,翻滚一周后,原来与地面接触的面ABCD又落回到地面,那么点A1所
走路径的长度为。
.
解:
第一次是以
B为旋转中心,
BA1长
m为半径旋转90°,
此次点A走过的路径是
?
=
πm.
第二次是以B1为旋转中心,
B1A1长1m
为半径旋转90°,
此次走过的路径是
π=
πm.
第三次是以A为旋转中心,
AA1
长1m
为半径旋转90°,
此次走过的路径是
π=
πm.
∴点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度
=π+π+π=〔
+1〕πm.
13.如图1,是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形
ABCDE.在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚,翻滚一周后到图2的位
置.那么由点A到点A4所走路径的长度为。
解:
第一次旋转是以点C为圆心,AC为半径,旋转角度是
90度,所以弧长是
cm
第二次旋转是以点
D1,为圆心,A1D1为半径,角度是60
度所以弧长=
cm
第三次是以E为圆心,EA
1
为半径,角度是120度,所以
cm
1
1
第四次是以点A1
为圆心所以
A没有路程
.
第五次是以点B为圆心,AB为半径,角度是90度所以弧长是cm
四段弧长的和就是由点A到点A4所走路径的长度=cm.
14.〔2006?
厦门〕如图为某物体的三视图,友情提醒:
在三视图中,
AB=BC=CD=DA=EI=IG=NZ=MZ=KY=YL,θ=60°,FE=GH=KN=LM=YZ.现搬运工
人小明要搬运此物块边长为acm物块ABCD在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚,
翻滚一周后,原来与地面接触的面ABCD又落回到地面,那么此时点B起始位置翻滚一周后
所经过的长度是。
解:
此题实际求的是两段弧长,第一段,以C为圆心,BC为半径,转动了60°角,因此这
段弧长为60×a×π÷180=,第二段弧长是,以D为圆心,BD长为半径,转动了120°
角,因此这段弧长的距离应该是120×a×π÷180=,因此B点经过的距离应该
是aπ.
15.如图,边长为的正△ABC,点A与原点O重合,假设将该正三角形沿数轴正方向翻滚
一周,点A恰好与数轴上的点A′重合,那么点A′对应的实数是。
.
解:
×3=.
16.如图,把一长方形在直线m上翻滚,请在图中作出A点所经过的路径.
解:
如下图.
17.如图,王虎使一长为4cm,宽为3cm的长方形木板,在桌面上做无滑动的翻滚〔顺时
针方向〕木板上点A位置变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使
木板与桌面成30°角,那么点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少?
解:
第一次是以B为旋转中心,
BA长5cm
为半径旋转90
°〔,2分〕
此次点A走过的路径是
.〔4分〕
第二次是以C为旋转中心,3cm
为半径旋转
60°,〔2分〕
.
此次走过的路径是
,〔2分〕
∴点A两次共走过的路径是
.〔2分〕
18.如图,张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板,在桌面上翻滚〔顺时针方向〕,顶点A的位置变化为A1?
A2?
A3,其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住,使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC,那么A翻滚到A2位置时共走过的
路程为〔
〕
解:
根据题意得:
=4πcm,
19.将正方体骰子放置于水平桌面上,如图〔1〕.在图〔2〕中,将骰子向右翻滚
90°,
然后在桌面上按逆时针方向旋转
90°.那么骰子中各相对面上的点数分别为1对6,2
对5,
3对4.
.
解:
观察图形可知与
1相邻的面是
2、3、4、5,那么与
1相对的面是
6;
那么与3相邻的面是
1、2、5、6
,那么与3相对的面是
4;那么与2相对的面是5.
故骰子中各相对面上的点数分别为:
1对6,2对5,3
对4.
故答案为:
1对6,2
对5,3对4.
.
20.〔2021?
无锡〕如图,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°.正
方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合.现将正方形ABCD
在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚,翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.
〔1〕请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;
〔2〕求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ
所围成图形的面积S.
解:
〔1〕作图如图;
〔2〕∵点A绕点D翻滚,然后绕点C翻滚,然后
绕点B翻滚,半径分别为1、、1,翻转角分
别为90°、90°、150°,
∴S=
+2×
+2×
+4××12
=+π+π+2
=π+2.
21.△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,CB=1,将△ABC沿水平线〔AB所在的直线〕作
翻转运动.以下图是△ABC二次翻转形成的图形.
.
(1〕第一次翻后的形△BC′A′是由△ABC按方向旋所得的,那么哪一点是旋中心?
旋了多少度?
〔2〕在下中,画出△ABC第三次翻后的形,你仔察中的△ABC与由它第三次翻后的形,想一想他之可以是怎的,将它完整地表达出来.
解:
〔1〕旋中心是点B,旋了120°;
〔2〕形
AC=
.
∴BB″=1++2=3+
.
∴△A″B″C″是由△ABC
沿着
AB
所指的方向〔即沿着水平〕向右平移了〔
3+
〕得到.
22.如,将1的等三角形△ABC放在水平直
l上向右翻
n次,第一次以
点C旋中心,第二次以点
A旋中心,第三次以点
B旋中心,⋯,到第2021
次后停止翻,在中出“第②次〞三角形点坐
A〔2,0〕、B〔3,0〕、
C〔2.5,
〕与“第2021
次〞三角形点坐
A〔2021.5,
〕、B〔2021,
0〕、C〔2021
,0〕的位置.
.
解:
如图:
以原始状态时点B为坐标原点,水平直线l为x轴,过B点垂直于l的直线为y
轴建立平面直角坐标系.
根据等边三角形和旋转的性质可知“第②次〞时三角形顶点坐标为A〔2,0〕、B〔3,0〕、
C点横坐标为〔2+3〕
÷2=2.5,纵坐标为1×
,即C
〔2.5,〕.
∵每连续翻滚三次是一个循环,2021÷3=670.故图形的三角形顶点与原始状态时相同,“第
2021次〞时三角形顶点坐标为A〔2021.5,〕、B〔2021,0〕、C〔2021,0〕.
23.如图,将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB,在直线l上向右作无滑动的滚动至
扇形A'O'B'处,那么顶点O经过的路线总长为
.
解:
顶点O经过的路线可以分为三段,当弧AB切直线l于点B时,有OB⊥直线l,此时
O点绕不动点B转过了90°;
.
第二段:
OB⊥直线l到OA⊥直线l,O点绕动点转动,而这一过程中弧AB始终是切于直
线l的,所以O与转动点P的连线始终⊥直线l,所以O点在水平运动,此时O点经过的
路线长=BA’=AB的弧长
第三段:
OA⊥直线l到O点落在直线l上,O点绕不动点A转过了90°
所以,O点经过的路线总长S=π+π+π=π.
故答案为π.
24.〔2006?
黄冈〕将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动〔不滑动〕,
当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是cm.
解:
第一次旋转是以点
C为圆心,AC为半径,旋转角度是
90度,
所以弧长=
=4π;
第二次旋转是以点
D为圆心,AD为半径,角度是
90度,
所以弧长=
;
第三次旋转是以点A为圆心,所以没有路程;
第四次是以点B为圆心,AB为半径,角度是90度,
所以弧长=
;
所以旋转一周的弧长共=4
+8π.
所以正方形滚动两周正方形的顶点
A所经过的路线的长是8
+16π.
25.如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点到达点
.
A,以下说法正确的选项是〔〕
A、点A所表示的是π
B、数轴上只有一个无理数π
C、数轴上只有无理数没有有理数
D、数轴上的有理数比无理数要多一些
解:
A、∵圆的周长为π,∴滚动一圈的路程即π,∴点A所表示的是π,应选项正确;
B、数轴上不止有一个无理数π,应选项错误;
C、数轴上既有无理数,也有有理数,应选项错误;
D、数轴上的有理数与无理数多少无法比拟,应选项错误;应选A.
26.〔2021?
桂林〕如图,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置
按顺时针方向向右作无滑动滚动,当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径
的长为〔〕
A、B、C、D、
解:
连A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,如
.
图,
∵六边形
A1A2A3A4A5A6为正六边形,
∴A1A4=2a
,∠A1A6A5=120
°,
∴∠CA1A6=30
°,
∴A6C=
a,A1C=
a,
∴A1A5=A
1A3=
a,
当A1第一次滚动到图
2位置时,顶点
A1所经过的路径分别是以
A6,A5,A4,A3,A2
为圆
心,以
a,
a,2a,
a,a为半径,圆心角都为
60°的五条弧,
∴顶点A1所经过的路径的长
=
+
+
+
+
=
πa.
应选
A.
27.如图,扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的
位置时,那么点O到点O′所经过的路径长为
.解:
∵扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,
∴AB弧长==,
∴点O到点O′所经过的路径长=×2+=π.
故答案为
28.一个半圆形工件,未搬动前如下图,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆
弧局部不受损伤,先将半圆作如下图的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面
.
平移50米,半圆的直径为4米,那么圆心O所经过的路线长是____.
O
O
l
OO
解:
由图形可知,圆心先向前走O1O2的长度即
1
O2O3旋转
1
圆的周长,然后沿着弧
圆
4
4
的周长,
最后向右平移50
米,
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上
50,
由得圆的半径为2,
设半圆形的弧长为
L,
那么半圆形的弧长
90
90
2
L=
180
2,
∴圆心O所经过的路线长=〔2π+50
〕米.
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