椭圆双曲线抛物线性质资料.docx
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椭圆双曲线抛物线性质资料
椭圆标准方程及其性质知识点大全
(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程:
椭圆第一定义:
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PR|十PF2|=2a>|F1F2),
这个动点P的轨迹叫椭圆•这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:
①若(PFj+PF2=F1F2),则动点P的轨迹为线段F1F2;
②若(PFj+PF^<|FiF2),则动点P的轨迹无图形
(二)椭圆的简单几何性:
标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。
焦点的位置
焦点在X轴上
焦点在y轴上
图形
护」旨
I
标准方程
22
xy,
r=1(a>baO)
ab
22
yx,
r=1(aaba0)
ab
第一定义
到两定点Fi、F2的距离之和等于常数2a,即|MFi|+IMF2|=2a(2a纠F1F21)
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即MF一e(O^ecl)
d
范围
-a兰x兰a且一b兰y兰b
一b^xWb且一a兰y^a
顶点
Ai(-a,0卜A2(a,0)瓦(0,-b卜E2(0,b)
直1(0,—a卜九2(0,a)
B^-b,0卜E2(b,0)
轴长
长轴的长=2a短轴的长=2b
对称性
关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称
焦占
八'、八、、
Fi(-c,0)、F2(c,0)
F1(0,-c)、F2(0,c)
焦距
RF2|=2c(c=a-b2)
离心率
e仝护(0 准线方程 2 斗a X-士 c 2 斗ay—±—c 焦半径 M(Xo,y。 ) 左焦半径: 右焦半径: 1 MH=a+ex) MF2=a—exo 下焦半径: 上焦半径: MF MF J=a+ey° 2=a-eyo 焦点三角形面积 26 Smf1f2=btan_2(B=zF1MF2) 通径 2b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: |HM-2b a (焦点)弦长公式 A(x1,y1),B(x2,y2),卜耳=J1+k2为—x2=』1+k2J(为+x2)2—4皿2 【说明】: 方程中的两个参数a与b,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,焦点F,F1,F2的位置(焦点跟着 分母大的走),是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,常数a,b,c都大于零, rr222 其中a最大且a=b+c(即a,b,c为直角三角形的三边,a为斜边) 1•方程Ax2By2二C表示椭圆的充要条件是: ABC丰0,且A,B,C同号,A丰B。 当A>B时,焦点在y轴上,当AvB时,焦点在x轴上。 (根据焦点跟着系数小的走) (三)焦点三角形 2 可得cos: _1-2e0 (利用张角大小变化易得有sine: : : 1)(重点使用) 2 (四)焦半径问题: 由第二定义: 椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率 =a+ex)(-a兰X。 兰a) J=a_ey°(—a兰y。 兰a) 负“+”正“-” 焦半径的最大值 PF max=a+c, PF min 焦点在x轴上时: 两焦半径乘积 PF1 PF2 所以 (1) a-c =a2—(exo)2,(—a^x。 乞a) 1•显然当Xq=0时有最大值(PF]'PF2)max=a2 2 2显然当x°=±a时有最小值(PF],PF2)min=b 22 同理,焦点在y轴上时: 两焦半径乘积PF]PF? =a-(ey0),(—a兰y。 兰a) (六)点与椭圆的位置关系: (可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系) 22 (])点P(xo,yo)在椭圆外: 二笃y°21;(过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”)ab 22 (2)点P(xo,yo)在椭圆上二与•卷=1;(过该定点的直线与椭圆“相交或相切”) ab 22 (3)点P(xo,yo)在椭圆内二磚绎: : 1(过该定点的直线与椭圆“相交”) ab (七)直线与椭圆的位置关系: 22 Xy 设直线I的方程为: Ax+By+C=O,椭圆—2=1(a>b>O),联立组成方程组, ab 消去y(或x)利用判别式△的符号来确定: (1)相交: =「0直线与椭圆相交; )相切: 二=0=直线与椭圆相切; (3)相离: .「: : 0二直线与椭圆相离; (八)弦长公式: 若直线AB: y=kx•b与椭圆标准方程 2y_a2b2 x2 =1 (ab0)相交于两点A(x1,yj、 B(x2,y2), 备注: 若直线为过定点的动直线则可以用知识点(六)来解决“位置关系” 22 把AB所在直线方程y=kx+b,代入椭圆方程笃•在=1整理得: Ax2+Bx+C=0。 a2b2 弦长公式: 1AB=栋2|为—x2=U1+k2J(Xj+x2)2Txm=11+k2*^(含x的方程) |a| 2AB+古|屮一丫2+右J®")2-4丫巧2=J1+古寸(含y的方程) (应用于能解出具体坐标)(应用于带有参数的大题)(a是一元二次方程中的,此公式用于计算) (九)圆锥曲线的中点弦问题: 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 (十一)焦点弦三角形 2 1.过椭圆— 2 则ABF2的周长为() (十)椭圆、双曲线、圆同型系数设法(此类设法用于过曲线两点求方程) 1.椭圆: mx2ny2=i(m0,n0且m=n) 22 2.双曲线: mxny=i(mn: : 0) 3.圆: mx2ny2=i(m=n0) 2 y-1的左焦点F1作直线l交椭圆于代B两点,F2是椭圆右焦点, 2•已知椭圆 C: 代B两点•若△ 22 A.H=1 32 、4、2C 22 ~2岭=1(ab0)的左、右焦点为Fi,F2,离心率为 ab AFiB的周长为4.3,则椭圆C的方程为() 22£》1 128 过F2的直线l交椭圆C于 2 X2. y1 3 22 XI1 124 22 3.已知Fi、F2为椭圆25+y 1的两个焦点,过Fi的直线交椭圆于A、 B两点.若|F2A|+|F2B| =12,贝UAB|= 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 71 V k 标准方程 22 x2〈"(aRbAO) ab 22 yx“「c 务——=1(aa0,ba0)ab 第一定义 到两定点F、F2的距离之差的绝对值等于常数2a,即||MF1^|MF2^2a(0c2a<|FF? |) 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即MF—e(e》1) d 范围 x兰一a或x^a,y^R y兰一a或y^a,x^R 顶点 AJ—a,0)、A2(a,0) 紀(0,-a)、A2(0,a) 轴长 实轴的长=2a虚轴的长=2b 对称性 关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称 焦占 八'、八\、 Fi(-c,0)、F2(c,0) Fi(0,-c)、F2(0,c) 焦距 222 证=2c(c=a+b) 离心率 e=E=* 准线方程 2 .a x=±—— c 2 斗ay—士 c 渐近线方程 .by=±_xa y=x b 焦半径 M(Xo,yo) 左焦: 右焦: |a+exo -exo 下焦: 上焦: a+eyoa-eyo 焦点三角形面积 2日 S^FiF^bcotJ(日=NRMF2) 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HM 2b2 a 7.若知道双曲线过两点,则设双曲线方程为: mx2+ny2=1(mnc0)、 22 8•点P(xo,yo)与双曲线笃笃=1的位置关系 ab 22 (1)若笃-与1,点P(xo,y。 )在双曲线“内” ab 22 (2)若答-电-1,点P(x°,y。 )在双曲线“上” ab 22 (3)若答-与",点P(x°,y。 )在双曲线“外” ab 备注: “注意它和圆、椭圆、抛物线的区别”内外相反 圆锤曲线一些常用结论 图形 誹 * \m\ 标准方程 2 y=2px (p>0) y2=-2px (P>0) 2 x=2py (P=0) x2=-2py (P=0) 定义 与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上) 顶点 (0,0) 离心率 e=1 对称轴 X轴 y轴 范围 x30 xE0 八0 y兰0 焦占 八'、八、、 F加 1 F[一卫,0〕 I2丿 F陶 1 F(0,-i 〕 准线方程 x—子 x=E 2 y七 焦半径 m(xo,yo) MFi垮 |mf|=—X°+卫 2 |mf|=%+号 MF=-yo^ 2 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH [=2p 焦点弦长公式 aB+%+P 参数p的几何意义 参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越阔 关于抛物线焦点弦的几个结论: 设AB为过抛物线y=2px(p0)焦点的弦, p22 ⑴x1x2=——,yiy2=—p;⑵AB 4 ⑶以AB为直径的圆与准线相切; 兀 ⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为一; 2 A(xi,yi)、B(X2,y2),直线AB的倾斜角为「则 2p; sin2: ' 丄.丄 |FA||FB|P 实用小结论: 一1 1•焦点非0坐标为一次项系数的一 4 1 2•准线方程的值为焦点非0坐标的相反数(即抛物线一次项系数一的相反数) 4 1一 3•焦半径长度: 一次项系数的绝对值+对应横(纵)坐标的绝对值。 4 2 4抛物线方程为y二ax(a=0)则其中点弦直线斜率 22xo 5..抛物线方程为x二ay(a=0)则其中点弦直线斜率k0 a 6•求最值问题的注意“两个距离之和,将之中的抛物线上动点到准线距离换成到焦点的距离” 或“两个距离之和,将之中的抛物线上动点到焦点的距离换成到准线距离 7•点P(xo,y。 )与抛物线y2=ax的位置关系 2 (1)若y0: : ax0,点P(x°,y。 )在抛物线“内” 2 (2)若y0=ax。 ,点P(x°,y。 )在抛物线“上” (3)若y。 axo,点P(x°,y°)在抛物线“外”
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