第13讲圆的概念与垂径定理点题名师班讲义人教版九年级word无答案.docx
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第13讲圆的概念与垂径定理点题名师班讲义人教版九年级word无答案
第十三讲圆的概念与垂径定理
【点知归纳】
一、圆的相关概念
1.圆的定义
(1)描述性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径.
(2)集合性定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.
(3)圆的表示方法:
通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作”⊙O“,读作”
圆O“.
(4)同圆、同心圆、等圆:
圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.
注意:
注意:
同圆或等圆的半径相等.
2.弦和弧
(1)弦:
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径:
经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍.
(3)弦心距:
从圆心到弦的距离叫做弦心距.
(4)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的圆弧记作AB,读作弧AB.
(5)等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
(6)半圆:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
(7)优弧、劣弧:
大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
(8)弓形:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.二、圆的对称性
1.旋转对称性
(1)圆是中心对称图形,对称中心是圆心;圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度角,总能与自身重合.
(2)圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.
2.轴对称性
(1)圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线是它的对称轴.
(2)圆的轴对称性⇒垂径定理.
三、圆的性质定理
1.垂径定理
(1)定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)推论1:
①平分弦(非直径)的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(3)推论2:
圆的两条平行线所夹的弧相等.
注意:
若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦(非直径)”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立,则另外三个都成立.注意:
应用垂径定理与推论进行计算时,往往要构造如右图所示的直角三角形,根据垂径定理与勾股定理有:
r2=d2+(
)2,根据此公式,在a,r,d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量.
【点例讲练】
【例1】如图,已知在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:
∠AOC=∠BOD.
(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系,并证明你的结论.
【练1】如图,点P为⊙O外一点,PO及延长线分别交⊙O于A,B,过点P作一直线交⊙O于M,N(异于A,B).
求证:
(1)AB>MN;
(2)PB>PN;(3)PA<PM.
【练2】如图,△ABC和△ABD都是直角三角形,且∠C=∠D=90°.
(1)求证:
A,B,C,D四点在同一圆上;
(2)若将△ABD沿直线AB翻折后,问
(1)中结论是否仍成立?
请证明.
【例2】如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于E.
(1)若BE=2,AE=8,则CD=;
(2)若BE=2,CD=8,则AB=.
【练】
(1)如图,⊙O的半径为5,点M在弦AB上,连接OM,若OM=3,则AM·BM=.
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=900,AC=
,BC=1,若以C为圆心,CB的长为半径的圆交AB于P,则AP=.
【变1】如图,点P为弦AB上的一动点,连接OP,过点P作PC⊥OP,PC交O于C.若AB=8,则
PC长的最大值为.
【变2】
(1)在半径为1的⊙O中,弦AB,AC的长分别为
和
,则∠BAC度数为.
(2)在⊙O中,半径R=5,AB,CD是两条平行弦,且AB=8,CD=6,则弦AC的长为.
【变3】如图,⊙O的弦AB、CD在圆心的同侧,且AB∥CD,AB、CD间的距离是3,AB=6,CD=4
,则⊙O的半径长为.
【例3】如图所示,有一座拱桥为圆弧形,它的跨度AB为60米,拱高PM为18米.当洪水泛滥到跨度
只有30米时,就要采取紧急措施.若某时刻拱顶离水面只有4米,即PN=4米,则此时是否需要采取紧急措施?
【练1】如图,为了测量圆形工件的直径,在工作台上用边长都为5cm的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧,测得两木块间的距离AB=40cm,求圆形工件的直径.若此题把两个小木块换成小圆柱,其直径为5cm,你还会做吗?
【练2】(2011年武汉中考)如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时,A处受噪音影响的时间为()
A.12秒B.16秒C.20秒D.24秒
【例4】如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB、CD交于P点,且∠APC=45°,若⊙O的半径为R.求证:
PC2+PD2=2R2.
【练】(2014年武汉元调)如图,P为直径AB上的一点,点M和N在⊙O上,且∠APM=∠NPB=30°.若
OP=2cm,AB=16cm,则PN+PM=cm.
【变1】如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AM⊥CD于M,BN⊥CD于N.
(1)求证:
CM=DN.
(2)若AB=10,CD=8,求BN﹣AM的值.
【变2】如图,⊙O的直径AB=15cm,有一定长为9cm的动弦CD在AMB上滑动(点C与点A,点D与点B不重合),且CE⊥CD交AB于E,DF⊥CD交AB于F.
(1)求证:
AE=BF;
(2)在动弦CD滑动过程中,四边形CDFE的面积是否发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,请予以证明并求出这个定值.
FBE
AO
CD
【例5】如图,已知AB,CD是⊙O内两条相互垂直的弦,垂足为K,⊙O的半径为5,且AB=CD=8,
求OK,KD的长度.
【练】如图,⊙O中弦AB⊥CD于E,AE=1,BE=5,OE=2.5.
(1)求⊙O的半径;
(2)求CD的长.
【变】如图,AB,CD是半径为R的⊙O内两条相互垂直且相交于点M的弦,⊙O的半径R=2,且OM
=1.
(1)证明:
AB2+CD2为定值
(2)证明:
AC2+BD2=BC2+AD2.
【例6】如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个点,且BC=2,OD⊥BC,
OE⊥AC,垂足分别为DE.
(1)求线段OD,DE的长;
(2)求线段OE的长.
【练】如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上运动,保持∠BAC=60°,OD⊥AB于D,OE⊥AC
于E.下列结论中错误的是()
A.弦BC的长为定值B.四边形OEAD的面积为定值
C.线段DE的长为定值D.四边形OEAD的面积有最大值
【变】(2015年武汉四调)如图,直径AB,CD的夹角为60°,P为⊙O上的一个动点(不与点A,B,C,
D重合).PM,PN分别垂直于CD,AB,垂足分别为M,N.若⊙O的半径长为2,则MN的长()
A.随P点运动而变化,最大值为
B.等于
C.随P点运动而变化,最小值为
D.随P点运动而变化,没有最值
【例7】等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,点O到底边BC的距离为3,则AB的长为.
【变1】如图扇形AOB的圆心角∠AOB=90°,半径为5,正方形CDEF内接于该扇形,则正方形CDEF
的边长为.
【变2】如图,正方形ABCD的顶点A,D和正方形JKLM的顶点K,L在一个以5为半径的⊙O上,点J,
M在线段BC上.若正方形ABCD的边长为6,求正方形JKLM的边长.
【变3】如图,EF所在的⊙O的半径长为10,等边△ABC的顶点A、B分别在半径OE、OF上,点在EF上,∠EOF=60°,如果AB⊥OF,那么这个等边三角形的边长为.
【拓1】如图,已知⊙O中,直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上,
并且∠POM=45°,则AB的长为.
【拓2】如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为.
【拓3】如图,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形,其中C,D,E在AB上,F,
N在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是.
【点题作业】
1、如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于.
2、如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,若AB=2
,则⊙O的半径为.
3、如图所示为直径是52cm的圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=cm.
4、如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为.
5、如图,AB是⊙O内过点P的一条弦,已知⊙O的半径为3cm,且PA=2
cm,PB=
cm,则PO的长为.
6、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。
如图所示,AD=2.3米,CD=2米.现有一辆集装箱卡车
要开进工厂,卡车高2.5米,宽1.6米,请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门?
7、如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,AM⊥CD,BN⊥CD,垂足分别为M、N.已知CD
=5,MN=
,则线段DN的长为.
8、AB为⊙O的直径,CD为弦,AM⊥CD于M,BN⊥CD于N.
(1)求证:
CM=DN;
(2)若AB=10,CD=8,求BN+AM的值.
9、如图,⊙O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD.已知CE=2,ED=8,则⊙O的半径是.
10、如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
11、如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上,∠BAC=60°,求AB2+AC2-AB·AC的值.
12、如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上运动,保持∠BAC=60°,OD⊥AB于D,OE⊥AC于
E,求四边形OEAD面积的最大值.
13、在一节数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:
若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径为(单位:
mm).
14、如图,三个正方形在⊙O直径的同侧,顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上,正方形ABCD的顶点A在⊙O上,顶点D在PC上,正方形EFGH的顶点E在⊙O上,顶点F在QG上,正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上,若BC=1,GH=2,则CG的长为.
15、小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论:
如图1,在⊙O中,OM⊥弦AB于点M,ON⊥弦
CD于点N,若OM=ON,则AB=CD.
(1)请帮小雅证明这个结论;
(2)运用以上结论解决问题:
如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为△ABC的角平分线的交点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G,若AD=9,CF=2,求△ABC的周长.
A
G
ACD
MONOF
BDBEC
图图
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