湖北省八校高考第二次联考数学理科.docx
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湖北省八校高考第二次联考数学理科
湖北省八校2009年高考第二次联考
理科数学试卷
鄂南高中黄冈中学黄石二中华师一附中
荆州中学襄樊四中襄樊五中孝感高中
命题人:
襄樊五中刘军何宇飞
审题人:
襄樊四中尹春明
考试时间:
2009.3.27下午15:
00~17:
00
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.
成立的充要条件是()
2.设复数
,
(
),若
为实数,则
等于()
3.已知
、
是不共线的向量,
,
(
、
),则
、
、
三点共线的充要条件是()
4.设映射
是实数集
到实数集
的映射,若对于实数
,
在
中不存在原象,则
的取值范围是()
5.等差数列
中,
是其前
项和,
,
,则
的值为()
6.已知函数
(
)(其中
是自然对数的底数)的反函数为
,则有()
7.要从
名女生和
名男生中选出
名学生组成课外兴趣小组,如果按性别依比例分层随机抽样,则组成此课外兴趣小组的概率为()
8.半径为
的球面上有
、
、
三点,其中点
与
、
两点间的球面距离均为
,
、
两点间的球面距离均为
,则球心到平面
的距离为()
9.已知函数
(
,
)对定义域内的任意
,都满足条件
,若
,
,则有()
10.已知
,若方程
的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率,则()
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.设实数
、
满足
,则
的取值范围是__________.
12.设
是
的展开式中
项的系数(
、
、
、…),则
_____________.
13.已知函数
为偶函数,且
满足不等式
,则
的值为_____________.
14.在
中,
,以点
为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的另一个焦点在
边上,且这个椭圆过
、
两点,则这个椭圆的焦距长为_____________.
15.设
、
、
依次是
的角
、
、
所对的边,若
,且
,则
_____________.
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
已知向量
,
(
,
).函数
,
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
,且过点
.
(Ⅰ)求函数
的表达式;
(Ⅱ)当
时,求函数
的单调区间。
17.(本小题满分12分)
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答这道题对的概率是
,甲、丙两人都回答错的概率是
,乙、丙两人都回答对的概率是
.
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率;
(Ⅱ)用
表示回答该题对的人数,求
的分布列和数学期望
.
18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱
各棱长都为
,
为棱
上的动点。
(Ⅰ)试确定
的值,使得
;(Ⅱ)若
,求二面角
的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点
到面
的距离。
19.(本小题满分12分)
已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间和极值;
(Ⅱ)若
对满足
的任意实数
恒成立,求实数
的取值范围(这里
是自然对数的底数);
(Ⅲ)求证:
对任意正数
、
、
、
,恒有
.
20.(本小题满分13分)
如图,已知曲线
与抛物线
的交点分别为
、
,曲线
和抛物线
在点
处的切线分别为
、
,且
、
的斜率分别为
、
.
(Ⅰ)当
为定值时,求证
为定值(与
无关),并求出这个定值;
(Ⅱ)若直线
与
轴的交点为
,当
取得最小值
时,求曲线
和
的方程。
21.(本小题满分14分)
已知数列
中,
,
,其前
项和
满足
.令
.(Ⅰ)求数列
的通项公式;(Ⅱ)若
,求证:
(
);(Ⅲ)令
(
),求同时满足下列两个条件的所有
的值:
①对于任意正整数
,都有
;②对于任意的
,均存在
,使得
时,
湖北省2009届八校联考第二次理科数学选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11.
;12.
;13.
或
或
;14.
;15.
.
16【解】(Ⅰ)
…………3′
由题意得周期
,故
.…………4′
又图象过点
,∴
即
,而
,∴
,∴
………6′
(Ⅱ)当
时,
∴当
时,即
时,
是减函数
当
时,即
时,
是增函数
∴函数
的单调减区间是
,单调增区间是
…………12′
17.【解】(Ⅰ)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、
、
,则
,且有
,即
∴
,
.…………6′
(Ⅱ)由(Ⅰ)
,
.
的可能取值为:
、
、
、
.
则
;
;
;
.…………9′
∴
的分布列为
的数学期望
.…………12′
18【法一】(Ⅰ)当
时,作
在
上的射影
.连结
.
则
平面
,∴
,∴
是
的中点,又
,∴
也是
的中点,
即
.反之当
时,取
的中点
,连接
、
.
∵
为正三角形,∴
.由于
为
的中点时,
∵
平面
,∴
平面
,∴
.……4′
(Ⅱ)当
时,作
在
上的射影
.则
底面
.
作
在
上的射影
,连结
,则
.
∴
为二面角
的平面角。
又∵
,∴
,∴
.
∴
,又∵
,∴
.
∴
,∴
的大小为
.…8′
(Ⅲ)设
到面
的距离为
,则
,∵
,∴
平面
∴
即为
点到平面
的距离,
又
,∴
.
即
,解得
.即
到面
的距离为
.……12′
【法二】以
为原点,
为
轴,过
点与
垂直的直线为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系
,如图所示,
设
,则
、
、
.
(Ⅰ)由
得
,
即
,∴
,即
为
的中点,
也即
时,
.…………4′
(Ⅱ)当
时,
点的坐标是
.取
.
则
,
.
∴
是平面
的一个法向量。
又平面
的一个法向量为
.
∴
,∴二面角
的大小是
.……8′
(Ⅲ)设
到面
的距离为
,则
,∴
到面
的距离为
.…12′
19【解】(Ⅰ)
∴
的增区间为
,
减区间为
和
.
极大值为
,极小值为
.…………4′
(Ⅱ)原不等式可化为
由(Ⅰ)知,
时,
的最大值为
.
∴
的最大值为
,由恒成立的意义知道
,从而
…8′
(Ⅲ)设
则
.
∴当
时,
,故
在
上是减函数,
又当
、
、
、
是正实数时,
∴
.
由
的单调性有:
,
即
.…………12′
20.【解】(Ⅰ)设点
的坐标为
,
曲线
的方程可写成:
,∴
∴
…2′
又
…………4′
∴
为定值。
……6′
(Ⅱ)如图设
点的坐标为
,则
.
由(Ⅰ)知:
,则直线
.
∵
过点
,则
,即
,∴点
.…8′
将
代入曲线
的方程得
.
∴
.
由重要不等式得
.……10′
当且仅当“
”成立时,有
,解得
∴
,
.……13′
21.【解】(Ⅰ)由题意知
即
……1′
∴
……2′
检验知
、
时,结论也成立,故
.…………3′
(Ⅱ)由于
故
.…………6′
(Ⅲ)(ⅰ)当
时,由(Ⅱ)知:
,即条件①满足;又
,
∴
.
取
等于不超过
的最大整数,则当
时,
.…9′
(ⅱ)当
时,∵
,
,∴
,∴
.
∴
.
由(ⅰ)知存在
,当
时,
,
故存在
,当
时,
,不满足条件.…12′
(ⅲ)当
时,∵
,
,∴
,∴
.
∴
.
取
,若存在
,当
时,
,则
.
∴
矛盾.故不存在
,当
时,
.不满足条件.
综上所述:
只有
时满足条件,故
.…………14′
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