《勾股定理》典型练习题.docx
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《勾股定理》典型练习题
《勾股定理》典型例题分析
二、考点剖析考点一:
利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:
(1)阴影部分是正方形;
(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
2.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.
3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是()
A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3 4、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 5、在直线 上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二: 在直角三角形中,已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为. 2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高. 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的() A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍 5、在Rt△ABC中,∠C=90° ①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________; ③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC的面积是=________。 6、如果直角三角形的两直角边长分别为 ,2n(n>1),那么它的斜边长是( ) A、2nB、n+1C、n2-1D、 7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是() A. B. C. D.以上都有可能 8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( ) A、24 B、36 C、48 D、60 9、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为() A、5B、25C、7D、15 考点三: 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示,等腰 中, , 是底边上的高,若 ,求①AD的长;②ΔABC的面积. 考点四: 勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是() A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17 2、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( ) A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7 3、下面的三角形中: ①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1: 2: 3; ③△ABC中,a: b: c=3: 4: 5;④△ABC中,三边长分别为8,15,17. 其中是直角三角形的个数有(). A.1个B.2个C.3个D.4个 4、若三角形的三边之比为 ,则这个三角形一定是() A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形 5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( ) A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是() A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 7、若△ABC的三边长a,b,c满足 试判断△ABC的形状。 8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。 例3: 求 (1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。 (2)已知三角形三边的比为1: : 2,则其最小角为。 考点五: 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3所示,其中 米, , ,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 . 考点六、利用列方程求线段的长(方程思想) 1、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗? 2、一架长2.5 的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7 (如图),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 ,那么梯子底端将向左滑动米 3、如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离1米,(填“大于”,“等于”,或“小于”) 4、在一棵树10m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? 5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位: mm)计算两圆孔中心A和B的距离为. 6、如图: 有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了米. 7、如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A处登陆后,往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐,仅1km就找到了宝藏,问: 登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少? 考点七: 折叠问题 1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD等于() A. B. C. D. 2、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长. 3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。 4、 4、如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为F,若△ABF的面积为30,求折叠的△AED的面积 5、如图,矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少? 6、如图,在长方形ABCD中,将 ABC沿AC对折至 AEC位置,CE与AD交于点F。 (1)试说明: AF=FC; (2)如果AB=3,BC=4,求AF的长 7、如图2所示,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______. 8、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分△EBD的面积为________. 9、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。 如果M为CD边的中点,求证: DE: DM: EM=3: 4: 5。 10、如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕迹EF的长为() A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77 11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P: ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C? 若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由. ②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm? 若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由. 12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 13、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。 假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响? 请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 考点八: 应用勾股定理解决勾股树问题 1、如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中 2、最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为 .3、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 考点九、图形问题 1、如图1,求该四边形的面积 2、如图2,已知,在△ABC中,∠A=45°,AC= ,AB= +1,则边BC的长为. 3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门? 并说明你的理由 . 4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h㎝,则h的取值范围。 5、如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15km,BC=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站建在距A站多少千米处? 考点十: 其他图形与直角三角形 如图是一块地,已知AD=8m,CD=6m,∠D=90°,AB=26m,BC=24m,求这块地的面积。 考点十一: 与展开图有关的计算 1、如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离. 2、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm 3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 考点十二、航海问题 1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里. 2、如图,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。 该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该
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