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近世代数复习
第一章
集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系;
集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章
群的定义
a.设G是一个非空集合,“?
’是其上一个二元运算,若满足
1.“7满足结合律;2.{G,?
中有单位元;3.{G,?
每个元都与逆元则称{G,?
■是一个群,简称G是一个群。
b.若G是一个有乘法的有限非空集合,且满足消去律。
群的性质
1.单位元唯一;2.逆元唯一;
3.若G是群,则对G中的任意元a、b,方程ax=b和xa=b都有唯一的解
4.
若G是群,则对任意G中的两个元素a、b,有(ab)-1=b-1a「1
5.单位元是群中唯一的等幕元素(满足x2=x的元叫等幕元)
证:
令x是等幕元,•••x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6•群满足左右消去律。
推论:
若G是有限群,则其运算表中的每一行(列)都是G中元的一个排列,而且不同行
(列)的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n(有限),贝Uak=en|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一兀素具有一有限阶,且阶数至多为|G|。
交换群:
若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab=ba则这个群为交换群。
元素的阶:
G的一个元素a,能够使am=e的最小正整数m叫做a的阶,记为o(a)。
若是这样的m不存在,则称a是无限阶的。
有限群:
若一个群的元的个数是一个有限整数,则称这个群为有限群,否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理:
一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律,那么,对
于G的任意两个元a,b来说,方程ax=b和ya=b
§5变换群
定理1:
假定G是集合A的若干个变换所作成的集合,并且G包含恒等变换£。
若是对于上述乘法来说G做成一个群,那么G只包含A的一一变换。
定理2:
一个集合A的所有变换做成一个变换群G。
定理3:
任何一个群都同一个变换群同构。
(凯莱定理)
§6置换群
置换:
一个有限集合的一个一一变换;置换群:
一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群;n次对称群:
一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。
定理1:
n次对称群Sn的阶是n!
k-阶循环置换可用符号(iii2…ik)表示。
定理2:
每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的(不相连的)循环置换的乘积。
定理3:
每一个有限群都与一个置换群同构。
§7循环群
定义:
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;也说,G是由元a所生成的,并且用符号G=(a表示,a叫做生成元。
定理:
假定G是一个由元a所生成的循环群。
那么G的构完全可以由a的阶来决定:
的阶若是无限,那么G与整数加群同构;的阶若是一个有限整数n,那么G与模n的剩余类加群同构。
§8子群
定义:
一个群G的一个子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法来说做成一个群。
定理1:
一个群G的不空子集H做成G的一个子集a,bHabH;
aHa-1H
推论:
hG,且h不空,eh=eg,ah-1=ag-1
定理2:
—个群G的不空子集H做成G的一个子群a,bHab-1H
定理3:
—个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是:
a,bHabH
生成子群:
p64
§9子群的陪集
定义:
设G为一个群,H是G的一个子群。
而aG那么
1形如Ha={ha|hH}的子集,叫做子群H的一个右陪集,a称为Ha的
代表元。
2形如aH={ah|hH}的子集,叫做子群H的一个左陪集,a称为aH的
代表元。
指数:
一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数,记为[G:
H].
定理1:
一个子群H的左右陪集个数相同,或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。
定理2(Lagrange定理):
假定H是一个有限群G的一个子群,那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,且N=nj;
注:
子群H的陪集Ha(aH)所含元素个数与H的元素个数相同
推论:
G是有限群,aG,若o(a)m,那么m必是|G|的因子
定理3:
一个有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。
陪集的性质
HaHbab-1
定理1:
设H是G的一个子群,a,bG,于是有aHbHaHbab-1H
推论:
设H是G的一个子群,a,bG,于是有aHbbHa
定理1'设H是G的一个子群,a,bG,于是有:
abHaH
1aH;baHaHbHabH
定理2:
设H是G的一个子群,设a,bG,那么
群的陪集分解
定理3:
设H是G的子群,在G中定义关系“~”:
a,bG,a~b
那么“~”必是等价关系
bHb
ab-1H,
证:
1)
aG,aa-1e
H
a~a
2)
若a~bab-1
H
ba-1(ab-1)-1Hb~a
3)
若a~bKb~c
ab
-1H且bc-1Hac-1Ha~c
由
(1)、
(2)、
(3)
知关系“~”是一个等价关系
由a〜ba-1bH定义的关系决定的G中的分类,每个子类就是左陪集.G表示这些左陪集的并aH叫做G的一个左陪集分解
aHbHaHbab-iH
abHaHbHb-iaH
hia=hib(i=1,2,3…)
注:
若Ha=Hb另E么代表两个集合相等,但并不代表
§10不变子群、商群
不变子群:
NG,对aG,都有NaaN
不变子群的中心:
NG,对aG,nN,有anna,则称N为G的中心
商群:
一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群,记为:
G/N。
§11同态和不变子群
同态核:
假定①是一个群G到另一个群G'的同态满射。
G'的单位元e'在①之下
的所有的逆象所作成G的子集叫做同态满射①的核,记为Ker(①)。
即:
Ker(①){aG|①(a)e'}
定理1:
一个群G同它的每一个商群|G/N|同态(自然同态)。
定理2:
设①:
GG'是群同态映射,那么Ker(①)是G的不变子群,并且
G/Ker(①)G'
定理3:
假定G和G'是两个群,并且G与G'同态。
那么在这个同态满射之下的:
的一个子群H的象H是G'的一个子群
的一个不变子群N的象是G'的一个不变子群
定理4:
假定G和G'是两个群,并且G与G'同态。
那么在这个同态满射之下的:
’的一个其群H'的逆象H是G的一个子群
'的一个不变子群N'的象是G的一个不变子群
第三章
§1加群、环的定义
加群:
封闭、结合律
环:
是一个加群,换一句话说,R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。
对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的;
3.这个乘法适合结合律a(bc)(ab)c,不管a,b,c是R的那三个元
4.两个分配率都成立:
a(bc)abac,(bc)abaca
§2交换律、单位元、零因子、整环
交换环:
R为一个环,a,bR,abba
零因子:
在一个环里,a0,b0但ab0,则称a为左零因子,b为右零因子
剩余类环:
R=-所有模n的剩余类},乘法适合结合律,并且两个分配律都成立,则R做成一个环,叫做模n的剩余类环。
整环:
R为一个整环,若:
1.乘法适合交换律,abba;
有单位元1;
没有零因子,即:
ab0a0或b0
定理:
环中无零因子环中左右消去律都成立
推论:
在一个环里若有一个消去律成立,那么另一个消去律也成立
§3除环、域
除环:
R为除环,若:
中至少包含一个不等于零的元;
有一个单位元;
的每一个不等于零的元有一个逆元;
域:
交换除环。
交换环I
{i整环]
环有单位元环域
除环
无零因子环
§4无零因子环的特征
特征:
一个无零因子环R非零元的相同的(对加法来说)阶叫做环R的特征定理1:
在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
定理2:
如果无零因子环R的特征是有限整数,那么n是个素数
推论:
整环、除环以及域的特征或是无限大、或是一个素数p
§5.子环、环的同态
子环:
一个环R的子集S叫做R的一个子环,假如S本身对于R的代数运算来说
做成一个环。
即:
a,bSabS,abS
子除环:
一个除环R的子集S叫做R的一个子除环,假如S本身对于R的代数运算来说做成一个除环。
即:
1.S包含一个不等于0的元;
2.a,bS,b0,abS,ab-1S
定理1:
若是存在一个R到R'的满射,使得R与R'对于一对加法以及一对乘法来说都同态,那么R'也是一个环
定理2:
假定R和R'是两个环,并且R与R'同态。
那么,R的零元的象是R'的零元,R的元a的负元的象是a的象的负元,并且,假如R是交换环,那么R'也是交换环;假如R有单位元1那么R也有单位元1',而且1是1的象。
定理3:
假定R同R'是两个环,并且RR'。
那么,若R是整环,R'也是整环;R是除环,R'也是除环;R是域,R'也是域。
定理4:
假定S是环R的一个子环,S在R里的补足集合(这就是所有不属于S的R的元做成的集合)与另一个环S'没有共同元,并且SSo那么存在一个与
R同构的环R',而且S是R'的子环。
即:
(RS)S'①
§7理想
理想:
环R的非空子集H叫做一个理想子环,简称理想,满足:
1.a,bHabH
2.aH,rRra,arH
零理想:
只包含零元
单位理想:
该理想本身
主理想:
由一个元素生成的理想
1.(xiayi+…+xmaym)+sa+at+na(xys,tR,N是整数)
2.若R是交换环:
rana(rR,n是整数)
3.当R有单位元时xiayi(xi,yiR)
4.当R既是交换环又有单位元时:
ra(rR)定理:
除环只有零理想和单位理想.
§8剩余类环、同态与理想
定理1:
假定R是一个环,H是它的一个理想,R'是所有模H的剩余类做成的
集合,那么R'本身也是一个环,并且R与R'同态
定理2:
假定R同R'是两个环,并且R与R'同态,那么这个同态满射的核H是R的一个理想,并且R/HR'
§9极大(最大)理想
极大理想:
一个环R的一个不等于R的理想H叫做一个极大理想,假如,除了R同H自己之外,没有包含H的理想。
引理1:
假定HR是环R的理想。
剩余类环R/H除了零理想和单位理想之外不再有其他理想H是极大理想
引理2:
有单位元(0)的交换环R除了零理想同单位理想之外没有其他理想,那
么R一定是一个域。
定理:
假定R是一个有单位元的交换环,H是R的一个理想,R/H是一个域,当而且仅当H是一个极大理想的时候。
对于整数环R来说,由一个素数p所生成的主理想(p)是一个极大理想
§10商域
商域:
假如Q包含R,并且Q刚好是由所有元-,(a,bR,b0)所作成的,那么
b
域Q叫做环R的一个商域
定理1:
每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环
定理2:
Q刚好是由所有元a,(a,bR,b0)所作成的,这里-ab-1=b-1a
bb
定理3:
假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。
定理4:
同构的环的商域也同构,这样,抽象的看来,一个环最多只有一个商域。
第四章
§1素元、唯一分解
因子:
整环I的一个元a可以被I的元b整除,假如在I中找得出元c来,使得a=be则称b是a的因子。
单位:
整环里的一个元&叫做I的一个单位,假如&是一个有逆元的元。
即:
每个可逆元称为单位。
相伴元:
元b叫元a的相伴元,假如b是a和一个单位&的乘积ba平凡/真因子:
单位及元的相伴元叫做该元的平凡因子,其余的因子叫做该元的真因子。
素元:
整环I的一个元p叫做一个素元,假如p既不是零元,也不是单位,并且p只有平凡因子
唯一分解:
一个整环I的一个元a在I里有唯一分解,假如一下条件都能被满足:
1.apip2…pr(pi是I的素元)、
2若同时aqiq2…qs(qi是I的素元),那么r=s,并且我们可以把qi的次序调换一下,使得qi=£ipi(£i是I的单位)
定理1:
两个单位的乘积仍是单位,单位的逆元也是单位。
定理2:
单位同素元的乘积也是一个素元
定理3:
整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是:
abe,
b,e都不是单位。
推论:
假定a0,且a有真因子b。
即:
a=be那么e也是a的真因子。
§2唯一分解环
/
唯一分解环:
假如整环I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
公因子:
元e叫做元ai,a2,…,&的公因子,假如e同时能够整除ai,a2,…,
an.
最大公因子:
元ai,a2,…,an的一个公因子d叫做ai,a2,…,an的最大公因
子,假如d能够被ai,比,…,an的每一个公因子e整除
互素:
一个唯一分解环I的元ai,&,•••,an互素,假如它们的最大公因子是单位
定理i:
一个唯一分解环有一下性质:
3.若一个素元p能够整除ab,那么p能够整除a或bo
定理2:
假定一个整环I有一下性质:
i.I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解:
apip2…pr(pi是I的素
元)
2.I的一个素元p若能整除ab,那么p能整除a或b,这则I一定是一个唯一分解环
定理3:
—个唯一分解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。
a和b的两个最大公因子d和d'只能差一个单位因子.即:
d'=&d.(&是单位)
推论:
一个唯一分解环I的n个元ai,a2,…,an在I里一定有最大公因子。
ai,
82,…,an的两个最大公因子只能差一个单位因子
§3主理想环
主理想环:
一个环的每一个理想都是主理想
引理1:
假定I是一个主理想环,若在序列ai,a2,a3,(aiI)里的每一个元是前面一个的真因子,那么这个序列一定是一个有限序列
引理2:
假定I是一个主理想环,那么I的每一个素元p生成一个极(最)大理想。
定理:
一个主理想环I是一个唯一分解环。
§4欧式环
欧式环:
一个整环I叫做一个欧式环,假如
1.有一个从I的非零元所作成的集合到>=0的整数集合的映射存在;
2.给定了I的一个不等于零的元a,I的任何元b都可以写成:
bqar(q,rI)的
形式,这里或是r=0或是(r)(a)
定理1:
任何欧式环I-定是一个主理想环,因而一定是一个唯一分解环。
定理2:
整数环是一个主理想环,因而一定是一个唯一分解环。
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