复数思想在平面几何中的应用.docx
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复数思想在平面几何中的应用
复数思想在平面几何中的应用
一、基本思想
用复数解几何问题的重要依据是复数的向量表示。
凡是能用平面向量运算能解的题目,也一定可以用复数运算来求解,而且由于复数乘法用来实现向量的旋转,比向量解法显得更简便,使一些问题几乎只留下直截了当的计算,而不必多费脑筋。
解题的关键在于熟练掌握复数运算的几何意义。
二、复数的表示及常用结论
(1)复数
与复平面上的点
建立一一对应。
表示点
到原点的距离,给定复数
,以原点为起点,以
为终点作向量
,在复平面上,复数
也可与向量
建立一一对应。
因此,我们在应用中记号
同时可表示复数
、点
,以及向量
而不加以区别。
(2)
是复数表示的三角形式及指数形式。
,
是实轴正向到向量
的旋转角,有无穷多个值,规定
时,称为辐角主值,记为
。
(3)复数加减法与平面向量加减法的平行四边形法则一致。
表示
与
间的距离,且有不等式
。
前(后)一个不等式成立的充要条件是
与
反(同)向。
(4)复数乘法的几何意义是向量的旋转和伸缩,具体地为
①
表示将向量
旋转
角。
②
表示将
伸缩到原来的
倍。
(5)定比分点公式
设
、
是直线
上的两个定点,
,
是
上任一点,且
,则
,特别地,线段
的中点
。
又
重心
,且由此得
共线
存在不全为零的实数
使
且
.
若
不共线,且存在实数
同时满足
且
,则
.
(6)三角形的面积公式
设
是复平面上一个正向三角形(
按逆时针方向绕行),则
证明:
如图
因为
,所以
由该结论,又有
共线
.
(7)n个n次单位根将原点为圆心的单位圆n等分,即
的根为
是以原点为圆心的单位圆的内接正n边形的顶点,且有
.
(8)
为正向正三角形的充要条件是:
,其中
是一个3次单位根。
(
)
或
,其中
. (
)
证明:
若
为正向正三角形,则,且
到
扫过的有向角为
,即
,
由此可得
,又
故上式写为
.
另外,由此式反推回去可证明
为正向正三角形。
(9)复平面上任意三点不共线的四点A、B、C、D形成平行四边形
A+C=B+D(即对角线互相平分).
三、例题分析
例1 延长△ABC的三边BC、CA、AB到
、
、
,使
.
证明:
与
有相同的重心。
证明:
设
由定比分点公式有
,
,
,
故
,从而重心坐标相同。
■
例2凸四边形对边中点的连线叫做此四边形的中位线。
若某凸四边形两中位线长度之和等于周长之半,求
:
此四边形为平行四边形。
(1980年苏联列宁格勒数学竞赛试题)
证明:
设此四边形的四顶点的复数表示为
、
、
、
,利用中点公式,则题目的条件是
于是
由此可见,在下列不等式
,
,
中均应成立等号,这必须且只须
,
,其中
由此得
,
,
我们得出等式
即
又
,且
、
、
不共线,从而
,故
,
故
为平行四边形。
例3
为正方形
内一点,
、
都是与
有相同转向的正方形。
求证:
且
.
证明:
设
为复平面的原点,由
知
故
,
即
,故
且
. ■
例4 以四边形ABCD的各边为斜边向外作等腰直角三角形ABP、BCQ、CDR、DAS.
求证:
RP⊥QS且RP=QS.
证明:
由
知
同理可得
,
,
,
计算
∴
,故RP⊥QS且RP=QS. ■
例5(87年全国MO) 如图,
和
是两个不全等的等腰直角三角形,
,现固定
,而将
绕
点在平面上旋转。
试证:
不论
旋转到什么位置,线段
上必存在点
,使得
为等腰直角三角形。
分析:
在
中,
,在
中,
,在
中,
,用余弦定理求出
,从而定出
。
证明:
以
为复平面中心,由
知
。
不论
转到何处,始终有
,
,即
,
,
,
,
,即
,
为等腰直角三角形。
例6 如果圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF=R,其中R为圆的半径。
求证:
BC、DE、FA的中点P、Q、R联成一个正三角形。
证明:
设圆心为原点,
,则
,
由中点公式
,
由于
,所以
故
为正三角形。
■
例7(拿破仑定理)以
的三边为底,分别向外作顶角为
的等腰三角形
、
、
。
求证:
是正三角形。
证明:
记
,由
知
,
同理可得:
,
,
从而
,故
是正三角形。
例8 四边形ABCD中,AD、BC交于F,AB、DC交于E,M、N、L分别是AC、BD、EF的中点。
证明:
M、N、L共线。
分析:
若用综合法,共线的条件不好找,而用复数求解,剩下的只有计算而已。
证明:
因为
又A、B、E和A、D、F和B、C、F和D、C、E分别共线,故
从而M、N、L共线。
■
例9 在四边形ABCD中,
,等式成立当且仅当A、B、C、D共圆。
(托勒密定理)
证明:
设A为复平面的原点,由于
∴
又因为上式等号成立
与
同向
存在正实数
,使
A、B、C、D四点共圆。
■
例10 设ACPH、AMBE、AHBT、BKGM、CKGP都是同向的平行四边形。
求证:
ABTE也是平行四边形。
分析:
问题涉及10个点以及这些点为顶点的6个四边形。
若用综合法求证,较准确的作图是必不可少的,但此题作图较难,而用复数法,完全不必作图。
证明:
ACPH是平行四边形,则A+P=C+H,
AMBE是平行四边形,则A+B=M+E,
AHBT是平行四边形,则H+T=A+B,
BKGM是平行四边形,则K+M=B+G,
CKGP是平行四边形,则C+G=P+K,
以上等式两边相加得:
A+T=B+E,又A、B、T及A、B、E不共线,所以ABTE也是平行四边形。
■
例11已知正向正方形
,同一平面上另有一点
,
,将
绕
顺时针转
,得
,将
绕
顺时针转
,得
,依此类推,对依此类推,对
、
、
、
,
、
、
、
、…顺时针转
,最后在转了1991交次后得到点
,问点
距
点有多远?
解:
如图所示,设正方形边长为1,则
,
,
,
,
又
,
,
,
,
∴
,
,
∴
又
,故
,
.
例12在
的外侧作正方形
和
,
、
分别是
、
的中点,
、
是两个正方形的中心,求证:
为正方形。
证明:
以
所在平面为复平面,任意点为复平面中心,显然
,
,
,
,
解得
,
,
,
,
又
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点,故
,
,
,
,
故
,
∴四边形
为正方形。
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