第二章静电场.docx
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第二章静电场
第二章静电场
习题2.1
真空中有一密度为2πnC/m的无限长电荷沿y轴放置,另有密度分别为0.1nC/m2和-0.1nC/m2的无限大带电平面分别位于z=3m和z=-4m处。
求点P(1,7,2)的电场强度
。
图2.1
题意分析:
题目中给出了3个不同类型电荷的位置与大小,计算空间中一点的电场强度
。
可以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度,然后采用叠加原理得出总的场强。
考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场,选用用直角坐标系进行计算比较合适,如图2.1所示,对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场,需要转换成直角坐标下的形式,再进行矢量叠加求总电场。
解:
(1)计算无限大平板在P点产生的电场强度
在计算无限大平板在P点产生的电场强度时,建立图2.1所示的直角坐标系,则位于z=3m处的无穷大带电平板在P点产生的电场强度
为:
(1)
位于z=-4m的无穷大带电平板在P点产生的电场强度为:
(2)
因此,2个无穷大带电板在P点产生的合成场强
为:
(3)
(2)计算无穷长直电荷产生的电场强度
对于圆柱坐标系中位于z轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关,其电场强度的表达式为:
图2.2
因此图2.2中所示在沿y轴放置的无穷长线电荷产生的电场
为:
式中
所以,P点(1,7,2)的电场强度
为:
习题2.2
如题图2.3所示球形电容器中,对半地填充有介电常数分别为
和
两种均匀介质,两介质交界面是以球心为中心的圆环面。
在内、外导体间施加电压U时,试求:
(1)采用边值问题计算电容器中的电位函数和电场强度;
(2)内导体两部分表面上的自由电荷密度。
图2.3
题意分析:
题目中要求采用边值问题计算电容器的电位函数与电场强度,需要确定坐标系类型。
分析该球形电容器中电场分布,在同种介质中电场具有球对称性,选用球坐标系,原点位于内导体球心。
解:
(1)计算电容器中电场强度与电位函数
建立球坐标系,原点位于球心。
在均匀介质1和介质2中,电位分别满足拉普拉斯方程,并且边界面条件相同,所以可判断两个区域的电位函数相同,有
(1)
在球坐标系中有
(2)
在两种介质中,
都与
、
无关,所以
(3)
式(3)的通解为
(4)
有边界条件解得:
所以
(2)内导体两部分表面上的自由电荷密度
两种介质中的电位移矢量分别为
,
(5)
根据分界面条件
(6)
对于本题,设媒质2为介质,媒质1为导体,因此有
,
则内导体两部分表面上的自由电荷密度为:
习题2.3
图2.3所示为一半径a,带电量q的导体球,其球心位于两种介质的分界面上,两种介质的介电常数分别为ε1和ε2,分界面可视为无限大平面。
图2.4
试求:
(1)两种介质中的电场强度
和电位函数
;
(2)球的电容C;
(3)总静电能量We。
题意分析:
给出带电导体球的电量,不同介电常数的2种介质,要求计算电场、电位、电容、静电能量。
导体球在2种介质中的电场分别呈现球对称性分布,可以用高斯定理方便地求解电场的分布。
2种介质之间电场以介质分界面条件相联系。
因此本题可以首先根据高斯定理计算出导体球所产生的电场,根据电场的积分进而可以计算出电位分布,从而计算出电容与电场。
解:
导体球在无限大的介质中产生的电场具有球对称性,选取球坐标系,如图2.5所示,虚线所示为所选高斯面,用于计算两种介质中的电场。
图2.5
(1)计算介质内电场
在图2.5中根据高斯定理,
在介质的分界面上,电场只有切向方向分量,没有法向方向分量,根据介质分界面条件可以得,
(2)计算电位
根据电位的定义可以得
(3)电容
由已知电量导体球,其周围空间电位分布已知,按定义式可计算其电容
(4)静电能量
已知电量、电位、电容可以采用下式计算静电能量
习题2.4
半径为a的导体球,被内半径为b(b>a)、外半径为c(c>b)的同心导体球壳所包围,两导体间填充介质,其介电系数为ε(常数),外球壳之外为空气。
设外导体带有电荷Q,内球接地(假定大地在无限远处)。
图2.6
试求:
(1)内球上应有的电荷;
(2)两个介质区间中的电位与电场强度;
(3)求静电独立系统的能量;(4)系统等值电容。
题意分析:
本题是一个典型的静电场中导体的静电感应问题,导体球位于静电场中,达到静电平衡后,导体球、外球壳与大地形成一个静电独立系统。
设内球上有电荷+q,外球上有电荷Q,则外球壳内表面有感应电荷-q,外球壳外表面有电荷(Q+q)。
内导体球接地,大地设在无穷远,二处电位同时都应为零,由此可以计算出电荷q,得出内导体与外球壳间、外导体以外的电场与电位的分布。
进一步,导体球与球壳、大地组成的静电独立系统的能量、系统的等值电容可求。
解:
根据导体球与球壳产生的电场的对称性,选取球坐标系,坐标原点位于球心。
做如图2.7中虚线所示的高斯面。
图2.7
(1)导体球的电量
设介质内电场强度为
,空气中电场强度为
,在导体球壳内外做如图2.7中虚线所示的同心高斯球面S1和S2。
根据高斯定理可得,
(1)
(2)
所以
(3)
(4)
选择大地为电位参考点,则导体球的电位为:
(5)
,(6)
(2)两个介质区间中的电位函数与电场强度
将(6)分别带入(3)与(4)中可以得出
(7)
(8)
根据电位的定义,可得
(a≤r≤b)(9)
(r≥c)(10)
(3)内、外导体与大地组成了静电独立系统,其能量为:
(4)系统的等值电容
或
习题2.5
已知板间距离为d,电压为U0的两平行电极,浸于介电常数与ε的液态介质中,如图2.8所示。
已知液体升高的高度为h,电容器极板的宽度为H,长度为L,介质液体的质量密度为ρm。
求:
液体在空气与液体分界面上受到的电场力
图2.8图2.9
题意分析:
题目要求计算液体受到的电场力,根据电场力的定义,首先需要计算出电场能量。
题目中给出的是两平行电极,形成一个平板电容,因此可以考虑采用
计算其电场能量,然后计算液体所受到的电场力。
选用直角坐标系如图2.9所示。
解
选取坐标系如图2.9所示。
液面的面积为S(dL),电场强度为
则静电能量密度为
,
静电能量为
将两极板看作电容器,则电容为
电容中储存的能量:
液体在空气与液体分界面上的受到的电场力为:
.
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