深圳中考数学优等生系列1角度数量关系问题有详解.docx
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深圳中考数学优等生系列1角度数量关系问题有详解
角度数量问题
知识点梳理
关于角的考查,是每年中考的涉及到的内容之一,考查的知识点包括角的概念、角的计算、方向角和关于角的综合性问题等多方面,总体来看,难度系数低,以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以计算为主。
结合近几年的中考情况,我们从四方面进行角的问题的探讨:
(1)关于角的概念;
(2)关于角的计算;
(3)方向角问题
(4)角与其它图形之间的综合性问题.
精讲精练
例1如图,在直线AD上任取一点O,过点O作射线OB,OE平分∠DOB,OC平分∠AOB,∠BOC=26°时,∠BOE的度数是 .
【考点】角平分线的定义.
【分析】先根据角平分线的性质求出∠AOB的度数,再利用平角求出∠BOD的度数,利用OE平分∠DOB,即可解答.
【解答】解:
∵OC平分∠AOB,∠BOC=26°,
∴∠AOB=2∠BOC=26°×2=52°,
∴∠BOD=180°﹣∠AOB=180°﹣52°=128°,
∵OE平分∠DOB,
∴∠BOE=
BOD=64°.
故答案为:
64°.
例2如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=25°,求∠AOB的度数.
【考点】角的计算;角平分线的定义.
【分析】先设∠AOC=x,则∠COB=2∠AOC=2x,再根据角平分线定义得出∠AOD=∠BOD=1.5x,进而根据∠COD=25°列出方程,解方程求出x的值,即可得出答案.
【解答】解:
设∠AOC=x,则∠COB=2∠AOC=2x.
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOD=∠BOD=1.5x.
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=0.5x.
∵∠COD=25°,
∴0.5x=25°,
∴x=50°,
∴∠AOB=3×50°=150°.
例3已知点A在点O的北偏西60°方向,点B在点O的南偏东40°方向,则∠AOB的度数为( )
A.80°B.100°C.160°D.170°
【考点】方向角.
【分析】直接利用方向角画出图形,进而得出答案.
【解答】解:
如图所示:
由题意可得,∠AOC=30°,
故∠AOB的度数为:
30°+90°+40°=160°.
故选:
C.
例4如图,将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起.
(1)若∠AOD=25°,则∠AOC= ,∠BOD= ,∠BOC= ;
(2)比较∠AOC与∠BOD的大小关系,并说明理由;
(3)猜想∠AOD与∠BOC的数量关系,并说明理由.
【考点】余角和补角.
【分析】
(1)依据∠AOC+∠AOD=90°,可求得∠AOC的度数,同理可求得∠BOD的度数,然后依据∠BOC=∠COD+∠DOB求解即可;
(2)依据同角的余角相等进行证明即可;
(3)依据∠BOC=∠AOD+∠AOB﹣∠AOD求解即可.
【解答】解:
(1)∠AOC=∠COD﹣∠AOD=90°﹣25°=65°,
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=90°﹣25°=65°,
∠BOC=∠COD+∠DOB=90°+65°=155°
故答案为:
65°;65°;155°.
(2)∠AOC=∠BOD.
理由如下:
∵∠AOC+∠AOD=90°,∠BOD+∠AOD=90°,
∴∠AOC=∠BOD.
(3)∠AOD+∠BOC=180°.
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠COD=180°,
又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD,
∴∠AOD+BOD+∠COD=180°.
又∵∠BOD+∠COD=∠BOC,
∴∠AOD+∠BOC=180°.
例5我们已学习了角平分线的概念,那么你会用他们解决有关问题吗?
(1)如图1所示,将长方形笔记本活页纸片的一角折过去,使角的顶点A落在A′处,BC为折痕.若∠ABC=55°,求∠A′BD的度数.
(2)在
(1)条件下,如果又将它的另一个角也斜折过去,并使BD边与BA′重合,折痕为BE,如图2所示,求∠2和∠CBE的度数.
(3)如果将图2中改变∠ABC的大小,则BA′的位置也随之改变,那么
(2)中∠CBE的大小会不会改变?
请说明.
【考点】角平分线的定义;角的计算;翻折变换(折叠问题).
【分析】
(1)由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC=55°,由平角的定义可得∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC,可得结果;
(2)由
(1)的结论可得∠DBD′=70°,由折叠的性质可得
=
=35°,由角平分线的性质可得∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=
×180°=90°;
(3)由折叠的性质可得,
,∠2=∠EBD=
∠DBD′,可得结果.
【解答】解:
(1)∵∠ABC=55°,
∴∠A′BC=∠ABC=55°,
∴∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC
=180°﹣55﹣55°
=70°;
(2)由
(1)的结论可得∠DBD′=70°,
∴
=
=35°,
由折叠的性质可得,
∴∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=
×180°=90°;
(3)不变,
由折叠的性质可得,
,∠2=∠EBD=
∠DBD′,
∴∠1+∠2=
=
=90°,
不变,永远是平角的一半.
例6在学习了角的相关知识后,老师给张萌留了道作业题,请你帮助张萌做完这道题.
作业题
已知∠MON=100°,在∠MON的外部画∠AON,OB,BO分别是∠MOA和∠BON的平分线.(题中所有的角都是小于平角的角)
(1)如图1,若∠AON=40°,求∠COA的度数;
(2)如图2,若∠AON=120°,求∠COA的度数.
【考点】角的计算;角平分线的定义.
【分析】
(1)根据已知条件得到∠AOM=140°,根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=
,由角的和差即可得到结论;
(2)根据已知条件得到∠AOM=140°,根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=
,由角的和差即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵∠MON=100°,∠AON=40°,
∴∠AOM=140°,
∵OB,CO分别是∠MOA和∠BON的平分线,
∴∠AOB=∠BOM=
,
∴∠BON=∠AOB﹣∠AON=30°,
∴∠BOC=
=15°,
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°;
(2)∵∠MON=100°,∠AON=120°,
∴∠AOM=360°﹣∠AON﹣∠MON=140°,
∵OB,CO分别是∠MOA和∠BON的平分线,
∴∠AOB=∠BOM=
,
∴∠BON=∠BOM+∠MON=170°,
∴∠BOC=
=85°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°.
专题突破
类型一角的有关概念
1.23.46°的余角的补角是( )
A.113.46°B.66.14°C.156.14°D.113.14°
2.已知∠α是锐角,∠α与∠β互补,∠α与∠γ互余,则∠β﹣∠γ的值等于( )
A.45°B.60°C.90°D.180°
3.钟表在8:
25时,时针与分针的夹角是( )度.
A.101.5B.102.5C.120D.125
4.若∠α和∠β互为余角,则∠α和∠β的补角之和是( )
A.90°B.180°C.270°D.不能确定
5.如图所示,∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,∠MON等于 度.
6.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于O,则∠AOC+∠DOB= .
7..如图,已知射线OC,OD在∠AOB的内部,OC是∠AOD的平分线,OD是∠COB的平分线,若∠COD=35°,则∠AOB的度数为 .
8.如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数?
类型二角的计算
1.如图,点A、B、O在同一条直线上,∠COE和∠BOE互余,射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE,则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是( )
A.∠AOF+∠BOD=∠DOFB.∠AOF+∠BOD=2∠DOF
C.∠AOF+∠BOD=3∠DOFD.∠AOF+∠BOD=4∠DOF
2.如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若∠AOD=150°,则∠BOC等于( )
A.30°B.45°C.50°D.60°
3.若∠A=64.4°,则∠A的补角等于( )
A.25°36′B.25°24′C.115°36′D.115°24′
4.如图,已知直线AB和CD相交于O点,OC⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,则∠BOD的度数 .
5.如果一个角的余角是它的补角的
,则这个角的度数是 .
6.15°30′= °,6.75°= ° ′.
7.如图,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°,求∠AOB的度数.
8.如图所示,已知点O在直线AB上,∠AOE:
∠EOD=1:
3,OC是∠BOD的平分线,∠EOC=115°,求∠AOE和∠BOC.
类型三方向角问题
1.8点30分时刻,钟表上时针与分针所组成的角为 度.
2.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向,同时轮船B在南偏东15°的方向,那么∠AOB的大小为( )
A.69°B.111°C.141°D.159°
类型四角与其它图形的综合性问题
1.如图,将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C重合),使点C落在长方形内部点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数α是( )
A.90°<α<180°
B.0°<α<90°
C.α=90°
D.α随折痕GF位置的变化而变化
2.如图所示,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)∠AOD的余角是 ,∠COD的余角是 .
(2)OE是∠BOC的平分线吗?
请说明理由.
3.如图,OD是∠AOB的平分线,OE是∠BOC的平分线,且∠AOC=130°,求∠DOE的度数.
4.如图,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOC
(1)若∠AOB是直角,∠BOC=60°,求∠EOF的度数.
(2)若∠AOC=x°,∠EOF=y°,∠BOC=60°,请用x的代数式来表示y.(直接写出结果就行).
5.如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,已知0°<∠AOC<90°,射线OD平分∠AOC,射线OE平分∠BOC,射线OF平分∠DOE.
(1)求∠DOE的度数;
(2)求∠FOB+∠DOC的度数.
6.已知线段AB=30cm
(1)如图1,点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动,同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动,几秒钟后,P、Q两点相遇?
(2)如图1,几秒后,点P、Q两点相距10cm?
(3)如图2,AO=4cm,PO=2cm,当点P在AB的上方,且∠POB=60°时,点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q沿直线BA自B点向A点运动,假若点P、Q两点能相遇,求点Q的运动速度.
角度数量问题
知识点梳理
关于角的考查,是每年中考的涉及到的内容之一,考查的知识点包括角的概念、角的计算、方向角和关于角的综合性问题等多方面,总体来看,难度系数低,以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以计算为主。
结合近几年的中考情况,我们从四方面进行角的问题的探讨:
(1)关于角的概念;
(2)关于角的计算;
(3)方向角问题
(4)角与其它图形之间的综合性问题.
精讲精练
例1如图,在直线AD上任取一点O,过点O作射线OB,OE平分∠DOB,OC平分∠AOB,∠BOC=26°时,∠BOE的度数是 64° .
【考点】角平分线的定义.
【分析】先根据角平分线的性质求出∠AOB的度数,再利用平角求出∠BOD的度数,利用OE平分∠DOB,即可解答.
【解答】解:
∵OC平分∠AOB,∠BOC=26°,
∴∠AOB=2∠BOC=26°×2=52°,
∴∠BOD=180°﹣∠AOB=180°﹣52°=128°,
∵OE平分∠DOB,
∴∠BOE=
BOD=64°.
故答案为:
64°.
例2如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=25°,求∠AOB的度数.
【考点】角的计算;角平分线的定义.
【分析】先设∠AOC=x,则∠COB=2∠AOC=2x,再根据角平分线定义得出∠AOD=∠BOD=1.5x,进而根据∠COD=25°列出方程,解方程求出x的值,即可得出答案.
【解答】解:
设∠AOC=x,则∠COB=2∠AOC=2x.
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOD=∠BOD=1.5x.
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=0.5x.
∵∠COD=25°,
∴0.5x=25°,
∴x=50°,
∴∠AOB=3×50°=150°.
例3已知点A在点O的北偏西60°方向,点B在点O的南偏东40°方向,则∠AOB的度数为( )
A.80°B.100°C.160°D.170°
【考点】方向角.
【分析】直接利用方向角画出图形,进而得出答案.
【解答】解:
如图所示:
由题意可得,∠AOC=30°,
故∠AOB的度数为:
30°+90°+40°=160°.
故选:
C.
例4如图,将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起.
(1)若∠AOD=25°,则∠AOC= 65° ,∠BOD= 65° ,∠BOC= 155° ;
(2)比较∠AOC与∠BOD的大小关系,并说明理由;
(3)猜想∠AOD与∠BOC的数量关系,并说明理由.
【考点】余角和补角.
【分析】
(1)依据∠AOC+∠AOD=90°,可求得∠AOC的度数,同理可求得∠BOD的度数,然后依据∠BOC=∠COD+∠DOB求解即可;
(2)依据同角的余角相等进行证明即可;
(3)依据∠BOC=∠AOD+∠AOB﹣∠AOD求解即可.
【解答】解:
(1)∠AOC=∠COD﹣∠AOD=90°﹣25°=65°,
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=90°﹣25°=65°,
∠BOC=∠COD+∠DOB=90°+65°=155°
故答案为:
65°;65°;155°.
(2)∠AOC=∠BOD.
理由如下:
∵∠AOC+∠AOD=90°,∠BOD+∠AOD=90°,
∴∠AOC=∠BOD.
(3)∠AOD+∠BOC=180°.
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠COD=180°,
又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD,
∴∠AOD+BOD+∠COD=180°.
又∵∠BOD+∠COD=∠BOC,
∴∠AOD+∠BOC=180°.
例5我们已学习了角平分线的概念,那么你会用他们解决有关问题吗?
(1)如图1所示,将长方形笔记本活页纸片的一角折过去,使角的顶点A落在A′处,BC为折痕.若∠ABC=55°,求∠A′BD的度数.
(2)在
(1)条件下,如果又将它的另一个角也斜折过去,并使BD边与BA′重合,折痕为BE,如图2所示,求∠2和∠CBE的度数.
(3)如果将图2中改变∠ABC的大小,则BA′的位置也随之改变,那么
(2)中∠CBE的大小会不会改变?
请说明.
【考点】角平分线的定义;角的计算;翻折变换(折叠问题).
【分析】
(1)由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC=55°,由平角的定义可得∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC,可得结果;
(2)由
(1)的结论可得∠DBD′=70°,由折叠的性质可得
=
=35°,由角平分线的性质可得∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=
×180°=90°;
(3)由折叠的性质可得,
,∠2=∠EBD=
∠DBD′,可得结果.
【解答】解:
(1)∵∠ABC=55°,
∴∠A′BC=∠ABC=55°,
∴∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC
=180°﹣55﹣55°
=70°;
(2)由
(1)的结论可得∠DBD′=70°,
∴
=
=35°,
由折叠的性质可得,
∴∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=
×180°=90°;
(3)不变,
由折叠的性质可得,
,∠2=∠EBD=
∠DBD′,
∴∠1+∠2=
=
=90°,
不变,永远是平角的一半.
例6在学习了角的相关知识后,老师给张萌留了道作业题,请你帮助张萌做完这道题.
作业题
已知∠MON=100°,在∠MON的外部画∠AON,OB,BO分别是∠MOA和∠BON的平分线.(题中所有的角都是小于平角的角)
(1)如图1,若∠AON=40°,求∠COA的度数;
(2)如图2,若∠AON=120°,求∠COA的度数.
【考点】角的计算;角平分线的定义.
【分析】
(1)根据已知条件得到∠AOM=140°,根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=
,由角的和差即可得到结论;
(2)根据已知条件得到∠AOM=140°,根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=
,由角的和差即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵∠MON=100°,∠AON=40°,
∴∠AOM=140°,
∵OB,CO分别是∠MOA和∠BON的平分线,
∴∠AOB=∠BOM=
,
∴∠BON=∠AOB﹣∠AON=30°,
∴∠BOC=
=15°,
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°;
(2)∵∠MON=100°,∠AON=120°,
∴∠AOM=360°﹣∠AON﹣∠MON=140°,
∵OB,CO分别是∠MOA和∠BON的平分线,
∴∠AOB=∠BOM=
,
∴∠BON=∠BOM+∠MON=170°,
∴∠BOC=
=85°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°.
专题突破
类型一角的有关概念
1.23.46°的余角的补角是( )
A.113.46°B.66.14°C.156.14°D.113.14°
【解答】解:
23.46°角的余角是90°﹣23.46°=66.14°,
66.14°角的余角的补角是180°﹣66.14°=113.46°.
故选:
A.
2.已知∠α是锐角,∠α与∠β互补,∠α与∠γ互余,则∠β﹣∠γ的值等于( )
A.45°B.60°C.90°D.180°
【解答】解:
由题意得,∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=90°,
两式相减可得:
∠β﹣∠γ=90°.
故选:
C.
3.钟表在8:
25时,时针与分针的夹角是( )度.
A.101.5B.102.5C.120D.125
【解答】解:
∵时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转6°,
∴钟表上8:
25时,时针与分针的夹角可以看成时针转过8时0.5°×25=12.5°,分针在数字5上.
∵钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°,
∴8:
25时分针与时针的夹角3×30°+12.5°=102.5°.
故选:
B.
4.若∠α和∠β互为余角,则∠α和∠β的补角之和是( )
A.90°B.180°C.270°D.不能确定
【考点】余角和补角.
【分析】表示出∠α和∠β的补角之和,代入∠α+∠β=90°,可得出答案.
【解答】解:
∠α和∠β的补角之和=+=360°﹣(∠α+∠β),
∵∠α和∠β互为余角,
∴∠α+∠β=90°,
∴∠α和∠β的补角之和=360°﹣90°=270°.
故选C.
5.如图所示,∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,∠MON等于 135 度.
【考点】角平分线的定义.
【分析】根据平角和角平分线的定义求得.
【解答】解:
∵∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,
∴∠COD=90°(互为补角)
∵OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
∴∠MOC+∠NOD=
(30°+60°)=45°(角平分线定义)
∴∠MON=90°+45°=135°.
故答案为135.
6.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于O,则∠AOC+∠DOB= 180° .
【解答】解:
设∠AOD=a,∠AOC=90°+a,∠BOD=90°﹣a,
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°.
故答案为:
180°.
7..如图,已知射线OC,OD在∠AOB的内部,OC是∠AOD的平分线,OD是∠COB的平分线,若∠COD=35°,则∠AOB的度数为 105° .
【考点】角平分线的定义.
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠COD,∠COD=∠BOD,再由∠COD=35°可得答案.
【解答】解:
∵OC是∠AOD的平分线,
∴∠AOC=∠COD,
∵OD是∠COB的平分线,
∴∠COD=∠BOD,
∵∠COD=35°,
∴∠AOB=35°×3=105°,
故答案为:
105°.
8.如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数?
【解答】解:
∵∠AOB=90°,∠BOC=30°,
∴∠AOC=90°+30°=120°,
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM=
∠AOC=
×120°=60°,
∵ON平分∠BOC,
∴∠CON=
∠BOC=
=15°,
∴∠MON=∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON=120°﹣60°﹣15°=45°.
类型二角的计算
1.如图,点A、B、O在同一条直线上,∠COE和∠BOE互余,射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE,则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是( )
A.∠AOF+∠BOD=∠DOFB.∠AOF+∠BOD=2∠DOF
C.∠AOF+∠BOD=3∠DOFD.∠AOF+∠BOD=4∠DOF
【解答】解:
∠AOF+∠BOD=3∠DOF.理由如下:
设∠COF=∠EOF=x,∠DOE=∠BOD=y,
∵2x+2y=90゜,
∴∠DOF=x+y=45゜,
∴∠AOF+∠BOD=90゜+x+y=135゜,
∴∠AOF+∠BOD=3∠DOF,
故选:
C.
2.如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若∠AOD=150°,则∠BOC等于( )
A.30°B.45°C.50°D.60°
【考点】角的计算.
【分析】从如图可以看出,∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数,从而问题可解.
【解答】解:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=150°
∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣150°=30°.
故选A.
3.若∠A=64.4°,则∠A的补角等于( )
A.25°36′B.25°24′C.115°36′D.115°24′
【解答】解:
∵∠A=64.4°,
∴∠A的补角=180°﹣64.4°=115.6°=115°36′.
故选:
C.
4.如图,已知直线AB和CD相交于O点,OC⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,则∠BOD的度数 22° .
【解答】解:
∵CO⊥OE,
∴∠COE=90°,
∵∠COF=34°
∴∠EOF=90°﹣34°=56°
又∵OF平分∠AOE
∴∠A
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