华师大版九年级数学上册的第23章第4节234中位线.docx

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华师大版九年级数学上册的第23章第4节234中位线

华师大版的九年级上册第23章第4节23.4中位线

一、选择题

1.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）

A.8B.10C.12D.14

答案：

C

解析：

解答：

∵点D、E分别是边AB，BC的中点，

∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，

∴DE∥BC且DE=

AC，

又∵AB=2BD，BC=2BE，

∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），

即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，

∵△DBE的周长是6，

∴△ABC的周长是：

6×2=12．

故选：

C.

分析：

首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=

AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．

2.如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：

先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（　　）

A.15mB.25mC.30mD.20m

答案：

D

解析：

解答：

∵D，E分别是AC，BC的中点，

∴AB=2DE=20m．

故选D.

分析：

利用三角形的中位线定理即可直接求解．

3.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，则S△EBD：

S△ABC=（　　）

A.1：

2B.1：

4C.1：

3D.2：

3

答案：

B

解析：

解答：

如图，

∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，

∴点D是BC的中点．

又∵DE∥AC，

∴ED是△ABC的中位线，且△EBD∽△ABC，

∴相似比是：

ED：

AC=1：

2，

∴S△EBD：

S△ABC=1：

4．

故选：

B.

分析：

易证ED是△ABC的中位线，相似三角形△EBD∽△ABC的相似比是1：

2；然后由相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行答题．

4.如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连结△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（　　）

A.3B.4C.5D.6

答案：

D

解析：

解答：

设三角形的三边分别是a、b、c，令a=3，b=5，

则2＜c＜7，10＜三角形的周长＜15，

故5＜中点三角形周长＜7.5．

故选D.

分析：

本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于7，原三角形的周长大于10小于15，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于7.5，看哪个符合就可以了．

5.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（　　）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.以上都不对

答案：

A

解析：

解答：

如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，

根据三角形中位线定理可得：

EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，

根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．

故选：

A.

分析：

利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．

6.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（　　）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

答案：

B

解析：

解答：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC；

又∵点E是BC的中点，

∴BE=CE，

∴AB=2OE=2×3=6（cm）．

故选B.

分析：

因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．

7.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，EF是梯形的中位线，AC交EF于G，BD交EF于H，以下说法错误的是（　　）

A.AB∥EF

B.AB+DC=2EF

C.四边形AEFB和四边形ABCD相似

D.EG=FH

答案：

C

解析：

解答：

AB∥DC，EF是梯形的中位线，

∴AB∥EF，AB+DC=2EF，故A、B选项结论正确，

∵EF是梯形的中位线，

∴点G、H分别是AC、BD的中点，

∴EG=FH=

CD，D选项结论正确，

∵

，

，

∴四边形AEFB和四边形ABCD一定不相似，故C选项错误．

故选C.

分析：

因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．

8.如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是（　　）

A.3B.4C.5D.6

答案：

B

解析：

解答：

在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，

则O是DC的中点，

过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，

∵PD∥CQ，

∴∠PDC=∠DCQ，

∴∠ADP=∠QCH，

又∵PD=CQ，

在Rt△ADP与Rt△HCQ中，

∠ADP＝∠QCH

∠A＝∠QHC

PD＝CQ

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），

∴AD=HC，

∵AD=1，BC=3，

∴BH=4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

故选B.

分析：

在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；

9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于G、H，若AD=6，BC=10，则GH的长为（　　）

A.5B.4C.3D.2

答案：

D

解析：

解答：

∵EF是梯形ABCD的中位线，

∴E、GH、F分别为AB、BD、AC、DC的中点，

又∵AD=6，BC=10，

∴EF=（6+10）÷2=8，EG=HF=6÷2=3，

∴GH=EF-EG-HF=8-3-3=2，

故选D.

分析：

根据梯形中位线的性质，计算出EF的长，再根据三角形中位线的性质，求出EG和HF的长，从而计算出GH的长．

10.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=2，则梯形ABCD的周长为（　　）

A.12B.10C.8D.6

答案：

C

解析：

解答：

∵EF是梯形ABCD的中位线，

∴AD+BC=2EF，EF∥BC，

∴∠PBC=∠BPE，

∵BP是∠ABC的平分线，

∴∠PBE=PBC，

∴∠PBE=∠BPE，

∴PE=BE，

同理可得CF=PF，

∵EF分别是AB、CD的中点，

∴AB=2BE，CD=2CF，

∴AB+CD=2（BE+CF）=2（PE+PF）=2EF，

∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4EF，

∵EF=2，

∴梯形ABCD的周长=2×4=8．

故答案为：

C.

分析：

根据梯形的中位线等于两底边长和的一半并且平行于底边可得AD+BC=2EF，EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠PBC=∠BPE，再根据角平分线的定义可得∠PBE=PBC，然后求出∠PBE=∠BPE，然后根据等角对等边的性质可得PE=BE，同理求出CF=PF，再根据中点定义求出AB+CD=2EF，然后代入数据进行计算即可得解．

11.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=4cm，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG=（　　）cm．

A.2B.3C.4D.5

答案：

B

解析：

解答：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=4cm，

∵E为AD的中点，

∴ED=

AD=2（cm），

∵F、G分别为BE、CD的中点，

∴FG=

（ED+BC）=3（cm）．

故选B.

分析：

由在平行四边形ABCD中，BC=4cm，E为AD的中点，可求得ED的长，又由F、G分别为BE、CD的中点，根据梯形中位线的性质，即可求得答案．

12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：

①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF．

其中正确的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：

D

解析：

解答：

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，

∴EF∥AD∥BC，∴①正确；

∵在梯形ABCD中，设梯形ABCD的高是h，

则△ABD的面积是

AD×h，△ACD的面积是：

AD×h，

∴S△ABD=S△ACD，

∴S△ABD-S△AOD=S△ACD-S△AOD，

即S△ABO=S△DCO，∴②正确；

∵EF∥BC，

∴∠OGH=∠OBC，∠OHG=∠OCB，

已知四边形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，

即∠OBC和∠OCB不一定相等，

即∠OGH和∠OHG不一定相等，∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等，

∴说△OGH是等腰三角形不对，∴③错误；

∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），

∴BG=DG，∴④正确；

∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），

∴AH=CH，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴EH=

BC，FG=

BC，

∴EH=FG，

∴EG=FH，

∴EH-GH=FG-GH，

∴EG=HF，

∴⑤正确；

∴正确的个数是4个，

故选D.

分析：

根据梯形的中位线推出①，求出△ABD和△ACD的面积，都减去△AOD的面积，即可判断②；只有等腰梯形ABCD，才能得出∠OBC=∠OCB，再根据平行线性质即可判断③；根据平行线分线段定理即可得出G、H分别为BD和AC中点，即可判断④；根据三角形的中位线得出EH=FG，即可得出EG=FH，即可判断⑤．

13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，若BC=7，MN=3，则EF为（　　）

A.3B.4C.5D.6

答案：

B

解析：

解答：

过点M分别作G∥AB，MH∥CD，

得平行四边形ABHM和平行四边形DCGM，

∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90°，GH=BC-AD，MG=MH

∴GH=2MN=6（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴AD=7-6=1

∴EF=4，

故选B.

分析：

过点N分别作NG∥AB，NH∥CD，得平行四边形ABGN和平行四边形DCHN，根据平行四边形的性质可得到△GNH为直角三角形，且MN为其斜边上的中线，由已知可求得AD的长，从而不难求中位线的长了．

14.已知：

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=4，MN是梯形ABCD的中位线，且MN=6，则梯形ABCD的周长是（　　）

A.22B.20C.18D.14

答案：

B

解析：

解答：

∵MN是梯形ABCD的中位线，且MN=6，

∴AD+BC=2MN=2×6=12．

∴梯形ABCD的周长是AB+DC+AD+BD=4+4+12=20．

故选B.

分析：

此题只需根据“梯形的中位线等于两底和的一半”，求得梯形的两底和，再进一步计算其周长．

15.梯形ABCD中AD∥BC，E是AB的中点，过E作两底的平行线交DC于F，则下面结论错误的是（　　）

A.EF平分线段AC

B.梯形上下底间任意两点的连线段被EF平分

C.梯形EBCF与梯形AEFD周长之差的绝对值等于梯形两底之差的绝对值

D.梯形EBCF的面积比梯形AEFD的面积大

答案：

D

解析：

解答：

根据题意可知EF是梯形ABCD的中位线，

则A正确，因为EF是梯形ABCD的中位线，所以FG是△ACD的中位线，则EF平分线段AC.

B正确，因为EF是梯形ABCD的中位线，再根据平行线分线段成比例，则梯形上下底间任意两点的连线段被EF平分．

C正确，因为梯形EBCF的周长为EF+EB+BC+CF，梯形AEFD周长为AE+AD+DF+EF，又因为EF是梯形ABCD的中位线，所以梯形EBCF与梯形AEFD周长之差的绝对值等于梯形两底之差的绝对值．

D错误，因为根据题意不能判断AD和BC谁是上底谁是下底，所以不能判断梯形EBCF的面积比梯形AEFD的面积大．

故选D.

分析：

根据题意可先判断出EF是梯形ABCD的中位线，然后再根据梯形中位线的性质分别进行判断．

二、填空题

16.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=．

答案：

5

解析：

解答：

∵D、E分别是AB、AC的中点．

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE，

∵BC=10，

∴DE=5．

故答案为：

5．

分析：

根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=

BC，从而求出DE的长．

17.如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为．

答案：

5

解析：

解答：

如上图所示，

∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=

AC，

同理有EF=

AB，DF=

BC，

∴△DEF的周长=

（AC+BC+AB）=

×10=5．

故答案为5．

分析：

由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=

AC，同理有EF=

AB，DF=

BC，于是易求△DEF的周长．

18.已知梯形的上底长为a，中位线长为m，那么这个梯形的下底长为

答案：

2m-a

解析：

解答：

根据题意得，下底=2中位线-上底，

则下底=2m-A.

分析：

根据“梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半”较易求解．

19.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF交BD于点O，若FO-EO=6，则BC-AD为

答案：

12

解析：

解答：

∵EF是梯形ABCD的中位线，

∴AE=BE，CF=DF，EF∥AD∥BC，

∴DO=BO，

∴AD=2EO，BC=2FO，

∵FO-EO=6，

∴BC-AD=2×6=12，

故答案为：

12．

分析：

根据梯形的中位线得出EF∥AD∥BC，推出BO=DO，根据三角形的中位线求出AD=2EO，BC=2FO，代入求出即可．

20.如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为

答案：

解析：

解答：

延长CF交AB于点G，

∵AE平分∠BAC，

∴∠GAF=∠CAF，

∵AF垂直CG，

∴∠AFG=∠AFC，

在△AFG和△AFC中，

∵∠GAF＝∠CAF

AF＝AF

∠AFG＝∠AFC

∴△AFG≌△AFC（ASA），

∴AC=AG，GF=CF，

又∵点D是BC中点，

∴DF是△CBG的中位线，

∴DF=

BG=

（AB-AG）=

（AB-AC）=

．

故答案为：

．

分析：

延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．

三、解答题

21.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．

答案：

解答：

在△AGF和△ACF中，

∠GAF＝∠CAF

AF＝AF

∠AFG＝∠AFC

∴△AGF≌△ACF，

∴AG=AC=3，GF=CF，

则BG=AB-AG=4-3=1．

又∵BE=CE，

∴EF是△BCG的中位线，

∴EF=

BG=

．

解析：

分析：

首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=3，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．

22.如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边中点，求证：

AB=2DE．

答案：

证明：

取AC中点F，连接EF，DF，

则EF为中位线，且EF‖AB、∠FEC=∠B=2∠C，

在直角三角形ACD中，F是斜边AC的中点，

∴DF=CF，

∴∠DEF=∠C，

即有2∠FDC=∠FEC，

∴∠EFC=∠FDC+∠DFE，

∴2∠DFE=∠FEC=2∠FDC，

∴DE=EF，

∴AB=2DE．

解析：

取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEC=2∠C，结合直角三角形的性质可得到∠EDF=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．

23.

（1）叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；

（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，CD的中点，求证：

EF=

（AD+BC）

答案：

（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

已知：

△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，

求证：

EF∥BC且EF=

BC，

证明：

如图，延长EF到D，使FD=EF，

∵点F是AC的中点，

∴AF=CF，

在△AEF和△CDF中，

AF＝FC

∠AFE＝∠CFD

EF＝FD

∴△AEF≌△CDF（SAS），

∴AE=CD，∠D=∠AEF，

∴AB∥CD，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴BE=CD，

∴BE

CD，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴DE∥BC且EF=

BC.

证明：

连接AF并延长，交BC延长线于点M，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中点，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

∠D＝∠FCM

DF＝CF

∠AFD＝∠MFC

∴△ADF≌△MCF（ASA），

∴AF=FM，AD=CM，

∴EF是△ABM的中位线，

∴EF∥BC∥AD，EF=BM=

（AD+BC）．

解析：

（1）作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC.

（2）连接AF并延长，交BC延长线于点M，根据ASA证明△ADF≌△MCF，判断EF是△ABM的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论．

24.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

求证：

四边形DGFE是平行四边形．

答案：

证明：

∵D、E分别是AB、AC边的中点，

∴DE∥BC，且DE=

BC，

同理，GF∥BC，且GF=

BC，

∴DE∥GF且DE=GF，

四边形DGFE是平行四边形．

解析：

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=

BC，GF∥BC且GF=

BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可

25.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠AOD=60°，E为OA的中点，F为OB的中点，G为CD的中点，试判断△EFG的形状并说明理由．

答案：

解：

△EFG为等边三角形；证明如下：

如图，连接DE、CF；

∵AD∥BC，AB=CD，

∴四边形ABCD为等腰梯形，

∴AC=BD；

在△ABD与△DCA中，

AB＝DC

AD＝DA

BD＝AC

∴△ABD≌△DCA（SSS），

∴∠OAD=∠ODA，AO=DO；而∠AOD=60°，

∴△AOD为等边三角形，AD=OD；

∵AE=OE，

∴DE⊥AO，△CDE为直角三角形，

∵DG=CG，

∴EG=

CD；同理可求：

FG=

CD；

∵E为OA的中点，F为OB的中点，

∴EF为△OAB的中位线，

∴EF=

AB；而AB=CD，

∴EG=FG=EF，

∴△EFG为等边三角形．

解析：

如图，作辅助线；首先证明∠OAD=∠ODA，得到AO=DO，结合∠AOD=60°，判断出△AOD为等边三角形，此为解题的关键性结论；其次证明DE⊥AC，运用直角三角形的性质证明EG=FG=

CD；运用三角形的中位线定理证明EF=

AB，结合AB=CD，得到EG=FG=EF，即可解决问题．