概数因数倍数.docx

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概数因数倍数

概數、因數、倍數

單元名稱

概數、因數、倍數

適用年級

五年級

教學節數

約4節

設計者

杜陽蘭、陳芝仙、林世健、王雅慧

教學節數

1.第一節：

概數

2.第二節：

因數、公因數

3.第三節：

倍數、公倍數

3.綜合活動

教材分析

一、先備知識：

（1）概數

1.

（二）下，第四冊單元7：

最少要帶幾十元（兩位數概數估算活動）。

2.（三）上，第五冊單元5：

幾的幾倍（概數活動、估算活動）

3.（三）上，第五冊單元7：

最少要帶幾百元（幾百多的概數意義）

4.

（2）因數、倍數

1.乘法的意義與乘號（十十乘法表、倍數活動、幾的幾倍）

2.認識除式，能解除法問題（等分除、包含除的問題）

二、本單元相關教材

（1）概數：

（五）上，第九冊單元1：

4＋

與4

（三位數的概數意義與加減估算）

（2）因數、倍數

1.（五）下，第十冊單元4認識因數、倍數、質數和合數的意義。

2.（五）下，第十冊單元6認識公因數、最大公因數和互質的意義。

（活動7.8.9.10.）

3.（五）下，第十冊單元6認識公倍數的最小公倍數的意義。

（活動11.12.13.）

4.（五）下，第十冊單元10在量的情境中，利用找出（最小）公倍數的方法，解決問題。

（活動1.）

三、發展教材

5.

（1）概數：

（六）上，第十一冊，第十二單元：

四捨五入法概數問題

（2）因數、倍數

1.（六）上，第十一冊單元1認識「因數分解」與「質因數分解」的意義。

（活動5.6.7.8）

2.（六）上，第十一冊單元3求兩數的最大公因數或最小公倍數，再利用短除法表現其（質）因數連乘積。

（活動1.2.3.4）

3.應用於約分（公因數）與擴分（公倍數）活動。

單元目標

1.應用除法原理判斷可組成一個正整數的單位量（因數）。

2.探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數（倍數）。

3.能找出幾個正整數有共同的因數，即找出「公因數」。

4.能找出幾個整數的共同倍數，即找出「公倍數」。

5.透過各種不同的問題情境，去經驗掌握數概念的乘法性結構（multiplicativestructure），瞭解乘除的互逆關係。

透過單位量轉換觀點，以單位量轉換的觀點，在包含除問題中，商數是單位數，描述以除數為被計數單位的個數；相對地，在等分除問題中，已知單位數，而商數是以壹為被計數單位，描述單位的內容（或單位量）將乘除問題視為下列三個式子：

（1）乘法：

新單位量新單位數＝總量

（2）包含除：

總量÷新單位量＝新單位數

ex:

18個人÷3人/組=？

組，「男生有18人，3人一組，可以分成幾組？

」

（3）等分除：

總量÷新單位數＝新單位量

ex:

12個人÷3組=？

人/組，「小明有12顆糖，平分成3組，一組有幾個人﹖」

能力指標

具體目標

N-1-6能在生活情境中，經驗概數的意義。

N-2-4能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數，並利用概數作簡單的估算。

N-3-18能察覺整數的因數、倍數、公因數、公倍數。

N-3-20能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、質數和合數，並能將一個數做質因數分解。

1.應用除法原理，兩數相除是否能整除，判別一整數（除數）是否為另一整數（被除數）的因數。

2.整除時，能區辨商是單位量或單位數。

3.瞭解單位量或單位數會搭配出現，兩者（除數與商）可以互換，一樣可以整除。

4.整除時，除數與商都是被除數的因數。

5.能有效率地找出某一整數的所有因數。

6.能找出二個整數的公因數。

7.能正確應用公因數解決問題，區辨究竟是要當單位量還是單位數。

設計構想

一﹑兒童迷思概念

（1）概數：

學生對取概數的原則會不清楚甚至搞錯，取概數的原則是以某位數為基準，針對該位數的下一位做四捨五入或是無條件捨去或是無條件進入法，並且取概數的後面需要都化為零。

而取概數的三個方法也因應情境的不同而有不同的選擇，學生要能分清楚。

（2）因數：

直接由數的情境進入討論因數的意義，對學生而言，可能並不恰當，因為數本身相當抽象，當學生測量運思尚未發展完全，無法將等分除與包含除視為相同的問題時（無法彈性地互換單位量與單位數的角色），可能混淆除數的雙重意義，不易掌握由單位量（因數）組成總數的意義。

（3）倍數：

數本身相當抽象，由於學生測量運思尚未發展完全，對於因、倍數間的相對關係常無法掌握且不能理解。

尤其是做應用題時，學生容易誤解題意而將因數和倍數混淆。

再者，最大公因數與最小公倍數也常搞混。

因為在日常生活中學生很少會去運用到公因數、公倍數。

二、教學活動設計的特色

1、由於本單元概數概念可以與生活做結合，我們希望學生在自然的生活情境中進行學習，因此，我們結合的生活當中的購物，讓學生藉由購物進行數的概算，如此一來，學生的學習將更為具體且貼近生活，學生會有較高的學習動機。

2、整個教學活動以慶生會為主軸，學生會有較高的學習動機。

3、利用對號入座的遊戲，讓學生練習找因數，學生除了自己練習之外，再由全班一起檢討站在台上的人正確與否，學生的觀念可以再一次獲得釐清。

慶生會所舉行的遊戲都讓學生先自行思考，再進行小組討論，接著由全班進行檢討最後再由老師進行統整及歸納學生的觀念可以進行多次澄清。

教學活動流程

學習目標

活動主題及進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

1.

應用加減乘除算出總數

一、關係洞察

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

南小學五年二班有男生18人，女生12人，多胡老師宣布學期結束前要舉辦同樂會，多胡老師要小紅豆和陽子負責本次慶生同樂會餅乾糖果及飲料的採買:

小紅豆去附近的商店問過了，餅乾一小包（一人份）要17元，糖果一大包（45顆）要90元，飲料一罐10元

（甲）如果多胡老師要小紅豆和陽子要採買的量是班上每位同學都有兩包餅乾，10顆糖果，2罐飲料，你覺得小紅豆他們算算要花多少錢。

勇之助的想法

本班共有30人

餅乾17×2=34元

糖果90÷45=2,2×10=20元

飲料10×2=20元

總共需要（34+20+20）×30=2220元

陽子的想法

餅乾17×2×30=1020元

糖果90÷45=2,2×10×30=600元

飲料10×2×30=600元

總共需要1020+600+600=2220元

小朋友是勇之助的想法對還是陽子的想法對

全班先高舉小白板，每二人互相檢查彼此答案是否相同，再請同學到台上說明自己的想法或理由。

學生能正確運用四則運算

2.

能恰當應用取概數的方法，得到正確的答案

二、正誤區辨

情境設計

↓

個人思考

↓

小組分享

（乙）小紅豆和陽子知道總共要花2220元採買同樂會需要的餅乾糖果和飲料，利用百元提款機時，需要提多少元就夠呢?

□2200□2300□3000

□2230□2220

請問此時需用：

□四捨五入法□無條件捨去法

□無條件進入法

將你的想法說給小組成員聽

學生能澄清取概數會有的迷思

第二節

1.應用除法原理，藉由兩數相除是否能整除，判別一整數（除數）是否為另一整數（被除數）的因數。

一、關係洞察

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

南小學五年二班有男生18人，女生12人，多胡老師宣布學期結束前要舉辦慶生同樂會，請同學進行分組，之後再由各組組長領取食物飲料和管理該組秩序。

由於各組人數要一樣多，並能將男女生平分到各組。

請小朋友找出幾種可能的分組方式。

幾個男生分在一組可以剛好分完，沒有剩下？

勇之助說3個，小誠說4個，小健說5個一組，請問誰說得對？

勇之助　　小誠　　小健

理由是_____________________________

全班先高舉小白板，每二人互相檢查彼此答案是否相同，再請同學到台上說明自己的想法或理由。

歸納：

「每組人數」乘以「整數倍」可以得到18。

即「乘法」：

新單位量新單位數＝總量

或18÷每組人數的商為整數

即「包含除」：

總量÷新單位量＝新單位數

1.學生能覺察一整數的因數。

2.學生能正確表達。

2-1整除時，能區辨商是單位量或單位數。

2-2瞭解單位量或單位數會搭配出現，兩者（除數與商）可以互換，一樣可以整除。

二、正誤區辨

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

勇之助用除法找出了可整除18的數有1、2、3、6、9、18，這些數都是18的因數。

請問他算式中的除數和商分別代表什麼？

18÷1=18　　18÷6=3

18÷2=9　　18÷9=2

18÷3=618÷18=1

組數，每組男生數

每組男生數，組數

都代表組數都代表每組男生數

理由是：

_____________________________

全班先高舉小白板，再每兩人互相檢查彼此答案是否相同，再請同學到台上說明自己的想法或理由。

全班同學一起辨別對錯，並說明想法或理由。

歸納：

讓同學察覺組數與每組人數會搭配出現，兩者（除數與商）可以互換，一樣可以整除18。

小白板、彩色筆

1.學生能區辨商是每組人數還是組數。

2.瞭解每組人數與組數會搭配出現，兩者可互換。

3.學生能正確表達。

3.整除時，除數與商都是被除數的因數。

三、概念確認

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

小誠說勇之助左邊和右邊的式子，除數和商剛好相反ㄟ，所以整除時，除數和商都是18的因數。

小誠說得對嗎？

對　　不對

理由是__________________

全班先高舉小白板，每二人互相檢查彼此答案是否相同，再請同學到台前，並說明對或不對的理由。

歸納：

確認除數和商都是被除數的因數。

小白板

彩色筆

1.學生能察覺整除時，每組人數與組數都是是男生總人數（18）的因數。

2.學生能正確表達。

4.能有效率地找出某一整數的所有因數。

四、綜合統整

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

小健覺得

很疑惑，因為1、2、3、6、9、18在左邊的式子中都出現過了，何必那麼麻煩繼續，除數和商都是被除數的因數嘛！

因此如果從小的數開始找可以整除18的數，只要發現有數重複了，就可以停止了，不用再繼續找。

18÷1=18　　18÷6=3

18÷2=9　　18÷9=2

18÷3=618÷18=1

你同意小健的說法嗎？

同意　　不同意

理由是_____________________________

全班先高舉小白板，每二人互相檢查彼此答案是否相同，再請同學發表，說明同意或不同意的理由。

歸納：

不論由大的數開始找，還是由小開始找，一旦發現接下來要用來除被除數的「除數」在之前的「商」已出現過，即可停止，不用再找。

小白板

彩色筆

1.學生能由除數與商會配合出現，察覺何時可以停止找因數。

2.學生能正確表達。

五、統整歸納

師生共同歸納：

師：

男生可以平分成幾組可以剛好分完，沒有剩下？

每組男生幾人？

生：

組數　　1、2、3、6、9、18

男生數18、9、6、3、2、1

小白板

彩色筆

學習目標

活動主題及

進行方式

主要活動與問話

教學資源

評量

1.察覺一整數的因數。

一、洞察關係

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

多胡老師

請班長朋子負責班上的分組事宜，班長請同學提出來分成幾組，男（18人）女（12人）同學可以平分到各組去，沒有剩下。

女生到底可以平分為幾組呢？

小紅豆說女生可以分成1、2、3、6、12組。

陽子說女生可以分成1、2、3、6、9組。

小紅豆和陽子誰說得對？

小紅豆　　陽子

理由是_____________________________

全班先高舉小白板，每二位同學互相檢查彼此答案是否相同，最後再請同學說明理由，全班一起辨別哪些數是12的因數。

小白板

彩色筆

1.能察覺平分時的組數，需為12的因數。

2能找出二整數的公因數。

二、正誤區辨

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

千玉說要能平分男、女生到各組去，就得找出18與12共同的因數，千玉說1、2、3、6為男生人數和女生人數的共同因數。

男生　　1、2、3、6、9、18

女生1、2、3、6、12

你同意千玉的說法嗎？

同意　　不同意

理由是_____________________________

全班先高舉小白板，每兩位同學互相檢查彼此答案是否相同，最後再請同學說明理由，全班一起辨別對錯。

小白板

彩色筆

2.能找出二整數的公因數。

3.能正確應用公因數解決問題，區辨究竟是要當單位量還是單位數。

三、綜合統整

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

千玉和小香對1、2、3、6是人數還是組數有不同的看法：

千玉說：

一組可以分別有1、2、3、6個男生和女生，這樣剛好可以分完，沒有剩下。

小香卻說全班可以平分成1、2、3、6組。

千玉和小香誰說得對？

？

千玉　　小香

理由是_____________________________

全班先高舉小白板，每兩位同學互相檢查彼此答案是否相同，最後再請同學說明理由，全班一起作正誤區辨。

小白板

彩色筆

3.能正確應用公因數解決問題。

四、統整歸納

師生共同歸納：

師：

全班同學（30人）可以平分為幾組？

最多可以分成幾組？

每組幾人？

生：

可以分成1、2、3、6組。

最多可以分成六組。

每組5人。

師：

如果將班上男、女生平分到各組去，每組有幾個男生、幾個女生？

生：

3個男生、2個女生。

1

.應用乘法原理。

能找出幾個整數的共同倍數，即找出「公倍數」

一、關係洞察

情境設計

↓

個人思考

↓

全班分享

南小學五年二班有男生18人，女生12人，共有30人，總務股長小明準備的糖果，每3個一數，每7個一數，正好都可以數完。

請問總務股長買的糖果至少有多少顆？

勇之助說10顆，小誠說21顆，小健說4顆，請問誰說得對？

勇之助　　小誠　　小健

理由是：

___________________________

這堆糖果至少可以讓每個人分到3顆。

請問小明買的糖果至少有多少顆？

勇之助說90顆，小誠說105顆，小健說63顆，請問誰說得對？

勇之助　　小誠　　小健

理由是_____________________________

全班先高舉小白板，每二人互相檢查彼此答案是否相同，再請同學到台上說明自己的想法或理由。

小白板

彩色筆

1.學生能推算倍數並計算公倍數。

。

2.學生能正確表達。

2.能夠找出因數。

※利用配對的遊戲找出各數的所有因數

個人思考

↓

進行遊戲

↓

班級檢討

個人思考

↓

小組討論

↓

班級檢討

同樂會正式開始了，多胡老師和小紅豆他們吃吃喝喝好快樂喔，為了讓氣氛更熱絡一點，多胡老師開始帶著全班同學玩遊戲。

對號入座

遊戲說明:

慶生同樂會前已經請學生依個人座號製作一頂慶生帽，每個人在帽子上必須清楚的寫出自己的座號，遊戲一開始即將帽子戴在頭上，由老師先抽籤找出最佳男（女）主角，當音樂一結束只要是這位小朋友座號的因數或倍數就必須主動到台前，答對的小朋友可以為自己那一組加分。

引起動機：

利用遊戲的方式讓學生練習找出數的因數

教師佈題：

請問24號這一位小朋友，他的因數應該有幾位小朋友呢?

請大家想一想，如果是他的因數的小朋友要趕快站出來喔!

◎學生先思考24這個數的因數有幾個

◎再思考自己的座號是不是24的因數

等因數站到台前再由全班一起檢討是否有誤老師進行統整與歸納

請問6號這一位小朋友，他的倍數應該有幾位小朋友呢（全班有30個人）?

請大家想一想，如果是他的因數的小朋友要趕快站出來喔!

◎學生先思考6這個數的倍數有幾個（全班有30個人））

◎再思考自己的座號是不是6的倍數

等倍數站到台前再由全班一起檢討是否有誤

老師進行統整與歸納

收音機

CD

慶生帽

籤桶

心臟病大挑戰

遊戲說明:

每組4人每人各有1-13的撲克牌，老師隨意說出一合數。

各位小朋友現在我們要進行心臟病大挑戰的遊戲，老師說一數字時，能正確打出該數的因數者的所有牌者得5分，正確者且最快者得6分。

☺小組檢核並紀錄每人的得分。

☺老師進行統整歸納

撲克牌

小白板