教师用书 转Word 12章 集合逻辑 函数.docx
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教师用书转Word12章集合逻辑函数
第1讲 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:
若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
解析
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(必修1P7练习2改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=2,知a∉A.
答案 D
3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )
A.{1,3}B.{3,5}
C.{5,7}D.{1,7}
解析 因为A={1,3,5,7},而3,5∈A且3,5∈B,所以A∩B={3,5}.
答案 B
4.(2017·杭州模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,4}B.{1,5}C.{2,5}D.{2,4}
解析 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.
答案 D
5.(2017·绍兴调研)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则A∪B=________,(∁UA)∩B=________.
解析 ∵A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},∴A∪B={x|x≥0},(∁UA)∩B={x|0≤x<2}.
答案 {x|x≥0} {x|0≤x<2}
6.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.B.C.0D.0或
解析
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的取值为0或.
答案
(1)C
(2)D
规律方法
(1)第
(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第
(2)题集合A中只有一个元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形.
(2)用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=________.
(2)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解析
(1)因为{1,a+b,a}=,a≠0,
所以a+b=0,且b=1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
(2)由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-.
答案
(1)2
(2)
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BAC.A⊆BD.B=A
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 解析 (1)易知A={x|-1≤x≤1}, 所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}. 因此BA. (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则解得2 综上,m的取值范围为(-∞,4]. 答案 (1)B (2)(-∞,4] 规律方法 (1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解. 【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A={x|x>0},且B⊆A,则集合B可能是( ) A.{1,2}B.{x|x≤1} C.{-1,0,1}D.R (2)(2016·郑州调研)已知集合A={x|=,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( ) A.2B.-1 C.-1或2D.或2 解析 (1)因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确. (2)由=,得x=2,则A={2}. 因为B={1,m}且A⊆B, 所以m=2. 答案 (1)A (2)A 考点三 集合的基本运算 【例3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ) A.5B.4C.3D.2 (2)(2016·浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3]B.(-2,3] C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞) 解析 (1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素. (2)易知Q={x|x≥2或x≤-2}. ∴∁RQ={x|-2 又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁RQ)={x|-2 答案 (1)D (2)B 规律方法 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化. (2)一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 【训练3】 (1)(2017·石家庄模拟)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是( ) A.N⊆MB.N∩M=∅ C.M⊆ND.M∩N=R (2)(2016·山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( ) A.{2,6}B.{3,6} C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6} 解析 (1)易知N=(-2,3),且M={-1,1},∴M⊆N. (2)∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5}, 又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}. 答案 (1)C (2)A [思想方法] 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. 基础巩固题组 (建议用时: 25分钟) 一、选择题 1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=BB.A∩B=∅ C.ABD.BA 解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B, ∴BA. 答案 D 2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3}D.{1,2} 解析 由于B={x|x2<9}={x|-3 答案 D 3.(2017·肇庆模拟)已知集合A={x|lgx>0},B={x|x≤1},则( ) A.A∩B≠∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B 解析 由B={x|x≤1},且A={x|lgx>0}=(1,+∞),∴A∪B=R. 答案 B 4.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1]B.[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 解析 因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P, 得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1]. 答案 C 5.(2016·山东卷)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1)B.(0,1) C.(-1,+∞)D.(0,+∞) 解析 由y=2x,x∈R,知y>0,则A=(0,+∞). 又B={x|x2-1<0}=(-1,1). 因此A∪B=(-1,+∞). 答案 C 6.(2016·浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=( ) A.{1}B.{3,5} C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},∴∁UP={2,4,6},∵Q={1,2,4},∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6}. 答案 C 7.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1B.3C.7D.31 解析 具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个: {-1},,. 答案 B 8.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1}D.{x|0 解析 ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图. ∴∁U(A∪B)={x|0 答案 D 二、填空题 9.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________. 解析 ∵1∉{x|x2-2x+a>0}, ∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1. 答案 (-∞,1] 10.(2017·宁波调研)集合A={0,|x|},B={1,0,-1},若A∪B=B,则A∩B=________;A∪B=________;∁BA=________. 解析 A={0,|x|},B={1,0,-1},若A∪B=B,则A⊆B,∴|x|=1,∴A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1},∁BA={-1}. 答案 {0,1} {-1,0,1} {-1} 11.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B=________. 解析 由x(x+1)>0,得x<-1或x>0, ∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞), ∴A-B=[-1,0). 答案 [-1,0) 12.(2017·湖州质检)已知集合A={x|x2-2016x-2017≤0},B={x|x 解析 由x2-2016x-2017≤0,得A=[-1,2017], 又B={x|x 所以m+1>2017,则m>2016. 答案 (2016,+∞) 13.(2017·金华模拟)设集合A={x∈N|∈N},B={x|y=ln(x-1)},则A=________,B=________,A∩(∁RB)=________. 解析 当x=0,1,2,5时,的值分别为6,3,2,1,当x∈N且x≠0,1,2,5时,∉N,∴A={0,1,2,5},由x-1>0,得x>1,∴B={x|x>1},∁RB={x|x≤1},∴A∩(∁RB)={0,1}. 答案 {0,1,2,5} {x|x>1} {0,1} 能力提升题组 (建议用时: 10分钟) 14.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁RS)∩T=( ) A.[2,3]B.(-∞,-2)∪[3,+∞) C.(2,3)D.(0,+∞) 解析 易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),∴∁RS=(2,3), 因此(∁RS)∩T=(2,3). 答案 C 15.(2016·黄山模拟) 集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y= ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2} C.{x|0 解析 易知A=(-1,2),B=(-∞,1),∴∁UB=[1,+∞),A∩(∁UB)=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<2}. 答案 B 16.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是________. 解析 由≤2x≤16,x∈N, ∴x=0,1,2,3,4,即A={0,1,2,3,4}. 又x2-3x>0,知B={x|x>3或x<0}, ∴A∩B={4},即A∩B中只有一个元素. 答案 1 17.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m+n=________. 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n)可知m<1, 则B={x|m 所以m+n=0. 答案 0 18.(2017·丽水质检)若三个非零且互不相等的实数a,b,c满足+=,则称a,b,c是调和的;若满足a+c=2b,则称a,b,c是等差的,若集合P中元素a,b,c既是调和的,又是等差的,则称集合P为“好集”,若集合M={x||x|≤2014,x∈Z},集合P={a,b,c}⊆M,则 (1)“好集”P中的元素最大值为________; (2)“好集”P的个数为________. 解析 (1)由题意得,⇒+=⇒c(a+c)+2ac=2a(a+c)⇒c2+ac-2a2=0⇒(c+2a)(c-a)=0,∵c≠a,∴c=-2a,b==-,∴c=4b,令-2014≤4b≤2014,得-503≤b≤503,∴P中最大元素为4b=4×503=2012. (2)由 (1)知P={-2b,b,4b}且-503≤b≤503,所以“好集”P的个数为2×503=1006. 答案 (1)2012 (2)1006 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 知识梳理 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( ) (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( ) (4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( ) 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(选修2-1P6练习改编)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α= 解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,显然綈q: tanα≠1,綈p: α≠,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”. 答案 C 3.(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析 x>y x>|y|(如x=1,y=-2). 但x>|y|时,能有x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 答案 C 4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题. 答案 B 5.(2017·舟山双基检测)已知函数f(x)的定义域为R,则命题p: “函数f(x)为偶函数”是命题q: “∃x0∈R,f(x0)=f(-x0)”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 若f(x)为偶函数,则有f(x)=f(-x),所以p⇒q;若f(x)=x,当x=0时,f(0)=f(-0),而f(x)=x为奇函数,所以q p. ∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件. 答案 A 6.(2017·温州调研)已知命题p: “若a2=b2,则a=b”,则命题p的否命题为________,该否命题是一个________命题(填“真”,“假”). 解析 由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2,则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a=b,则a2=b2”是一个真命题,∴否命题是一个真命题. 答案 “若a2≠b2,则a≠b” 真 考点一 四种命题的关系及其真假判断 【例1】 (1)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( ) A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题 B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题 C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题 D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题 (2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真、假、真B.假、假、真 C.真、真、假D.假、假、假 解析 (1)根据逆否命题的定义可以排除A,D;由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题. (2)由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真;取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假. 答案 (1)C (2)B 规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”
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