秋人教必修2862第一课时直线与平面垂直的判定.docx
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秋人教必修2862第一课时直线与平面垂直的判定
8.6.2 直线与平面垂直
第一课时 直线与平面垂直的判定
课标要求
素养要求
1.借助长方体,通过直观感知,归纳出直线与平面垂直的判定定理,并加以证明.
2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如右图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
问题
(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么?
提示
(1)不能.
(2)直线垂直于平面内的两条相交直线.
1.直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
图示
性质
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
2.直线与平面垂直的判定定理 定理中的条件“相交直线”很重要,切勿忽视
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α
图形语言
3.直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线
斜足
斜线和平面的交点A叫做斜足
射影
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角
定义:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定:
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
取值范围
0°≤θ≤90°
教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α.(×)
2.若a⊥b,b⊥α,则a∥α.(×)
3.若直线l与平面α垂直,则直线l与平面α的所有直线成的角均为90°.(√)
4.若直线l与平面α所成的角为0°,则直线l∥平面α.(×)
提示 1.直线l垂直于平面α内的无数条平行直线时,则l与α不一定垂直.
2.还有可能a⊂α.
4.l∥α或l⊂α.
[微训练]
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OABB.平面OAC
C.平面OBCD.平面ABC
解析 ∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC,
∴OA⊥平面OBC.
答案 C
2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是________(填序号).
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
解析 由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③图形所在的平面,对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
答案 ①③
[微思考]
1.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”?
提示 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.
2.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗?
提示 当这两条直线平行时,直线可与平面平行或相交,不一定垂直.
3.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?
提示 垂直.
题型一 线面垂直概念的理解
【例1】 下列命题中,正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
解析 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确.故填④⑤.
答案 ④⑤
规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
【训练1】 设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
解析 对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;对于B,因l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可能相交或异面.
答案 B
题型二 直线与平面所成的角
【例2】 如图所示,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,求MC与平面CAB所成角的正弦值.
解 由题意知A是M在平面ABC上的射影,
∴MA⊥平面ABC,
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,
∴MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×
=
.
在Rt△MAB中,MA=
=
=3.
在Rt△MAC中,sin∠MCA=
=
=
.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为
.
规律方法 求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图:
作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.
(2)证明:
证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算:
通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.
解
(1)如图所示,连接DB,
∵D1D⊥平面ABCD,
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影,
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.
∵DB=
AB,D1B=
AB,
∴cos∠D1BD=
=
,
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为
.
(2)∵E是A1A的中点,A1A⊥平面A1B1C1D1,
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.
在Rt△EA1F中,
∵F是A1D1的中点,∴∠EFA1=45°,
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
题型三 直线与平面垂直的判定定理的应用
探究1 直线与平面垂直的证明
【例3-1】 如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:
SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
BD⊥平面SAC.
证明
(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,
∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC,∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC.
又由
(1)知SD⊥BD,
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.
∴BD⊥平面SAC.
探究2 线面垂直的应用
【例3-2】 在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,边BC上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?
为什么?
解 ∵PA⊥平面ABCD,QD⊂平面ABCD,∴PA⊥QD.
若边BC上存在一点Q,使得QD⊥AQ,又PA∩AQ=A,
则有QD⊥平面PAQ,又PQ⊂平面PAQ,从而QD⊥PQ.
在矩形ABCD中,当AD=a<2时,直线BC与以AD为直径的圆相离,故不存在点Q,使AQ⊥DQ.
∴当a≥2时,才存在点Q,使得PQ⊥QD.
规律方法 1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理.
(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
【训练3】 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=
,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=
.证明:
D′H⊥平面ABCD.
证明 由已知得:
AC⊥BD,AD=CD,
又由AE=CF,得
=
,故AC∥EF.
因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.
由AB=5,AC=6得DO=BO=
=4.
由EF∥AC得
=
=
,所以OH=1,D′H=DH=3,
于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,OH,EF⊂平面ABCD,
所以D′H⊥平面ABCD.
一、素养落地
1.通过学习线面角、线面垂直的判定定理及应用,重点培养学生的数学抽象素养,以及提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.直线和平面垂直的判定方法:
(1)利用线面垂直的定义;
(2)利用线面垂直的判定定理;
(3)利用下面两个结论:
①若a∥b,a⊥α,则b⊥α;②若α∥β,a⊥α,则a⊥β.
3.求线面角的常用方法:
(1)直接法(一作(或找)二证三计算);
(2)转移法(找过点与面平行的线或面).
二、素养训练
1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A.平行B.垂直C.相交D.不确定
解析 由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.
答案 B
2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能( )
A.平行B.相交C.异面D.垂直
解析 若l∥m,又l⊄α,m⊂α,∴l∥α,
这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.
答案 A
3.矩形ABCD中,AB=1,BC=
,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是________.
解析 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.
在Rt△PAC中,ta
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