第26章二次函数教案南中.docx
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第26章二次函数教案南中
第26章二次函数教案
26.1二次函数
26.2二次函数的图象与性质
第一课时y=ax2的图象与性质
第二课时y=ax2+bx+c的图象与性质①
第三课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质②
第四课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质③
第五课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质④
第六课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质⑤
第七课时求二次函数的函数关系式①
第八课时求二次函数的函数关系式
(二)
26.3实践与探索
26.3实践与探索
课序01课题26.1二次函数
教学目标
1、认识二次函数,知道二次函数自变量的取值范围,并能熟练地列出二次函数关系式。
2、通过对实际问题的探索,熟练地掌握列二次函数关系和求自变量的取值范围。
重点:
能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
难点:
熟练地列出二次函数关系式。
教学过程:
一、情景创设
1.什么叫函数?
它有几种表示方法?
2.什么叫一次函数?
自变量是什么?
常量是什么?
为什么要有k≠0的条件?
k值对函数性质有什么影响?
二、实践与探索
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系,我们已学过正比例函数,反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.
问题1:
用周长为20m的围栏材料,一面靠墙,围成一个矩形花圃,怎样围才能使花圃的面积最大?
问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件,该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
经市场调查,发现这种商品每件降价0.1元,每天的销售量可增加10件,将这种商品的售价降低多少元时,其每天的销售利润最大?
三、分析:
问题1.提出问题:
(1)完成下表,从所填表格中,你能发现什么?
(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?
(3)当AB=xm时,BC长等于多少m?
面积y等于多少?
X的取值有没有要求?
问题2:
分析:
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?
一天总的利润是多少元?
3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?
一天可销售约多少件商品?
4.x的值是否可以任意取?
如果不能任意取,请求出它的范围,
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。
四、观察;概括
1.教师引导学生观察函数关系式
(1)和
(2),提出以下问题让学生思考回答;
(1)函数关系式
(1)和
(2)的自变量各有几个?
(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式?
(3)函数关系式
(1)和
(2)有什么共同特点?
概括:
二次函数定义:
形如y=ax2+bx+c(a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次
函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
五、巩固新课
1、下列函数中哪些是二次函数?
哪些不是?
若是二次函数,指出a、b、c.
(1)y=1-3x2;
(2)y=x(x-5); (3)y=3x(2-x)+3x2; (4)y=(x+2)(2-x);
2、正方形的边长是x,面积y与边长x之间的函数关系如何表示?
3、农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示?
4、m取何值时,函数
是以x为自变量的二次函数?
六、小结、作业
作业优化设计
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x4+x2+1
(2)y=
+x+1(3)y=3x2+4x(4)y=
x2+
x+
(5)y=(x+3)2-x2(6)y=3(x-1)2-1
2.y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)为二次函数的条件是()
A.b≠0B.c≠0C.a≠0,b≠0,c≠0D.a≠0
3.在半径为5cm的圆面上从中挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,求y与x的函数关系式.
4.边长为4的正方形中间挖去一个边长为xm的小正方形,剩下的四方框形的面积为ym2,求y与x的函数关系式。
5.巳知矩形的周长为80cm,设它的一边为xcm,那么矩形的面积Scm2与x之间的函数关系式是什么?
27.2二次函数的图象与性质
课序:
02课题:
二次函数y=ax2的图象与性质
教学目标
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。
3、培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点:
使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
教学难点:
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
教学方法:
探究、归纳、类比
教学过程:
(一)、提出问题
1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
如果可以,应先研究什么?
3.一次函数的图象是什么?
二次函数的图象是什么?
(二)、范例
例1、画二次函数y=x2的图象。
解:
(1)列表:
在x的取值范围内列出函数对应值表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点:
用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点
(3)连线:
用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=x2的图象,如图所示。
提问:
观察这个函数的图象,它有什么特点?
概括:
二次函数的图象:
像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念:
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
(三)、做一做
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?
又有什么区别?
2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?
3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?
(四)、归纳、概括
函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例,
由函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象的共同特点,可猜想:
函数y=ax2的图象是一条_______,它关于_____对称,它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?
为什么?
1、让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;
当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
其次,让学生填空。
当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值y=______
以上结论就是当a>0时,函数y=ax2的性质。
2、观察函数y=-x2、y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a 它反映了当a 反映了当aO时,函数y=ax2的性质;当x<0时,函数值y随x的增大而;与x>O时,函数值y随x的增大而,当x=0时,函数值y=ax2取得最大值,最大值是y=0。 六、小结、作业: 课序: 03课题: 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 教学目标: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。 2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程, 理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。 教学重点: 会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系 教学难点: 正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系 教学方法: 探究,类比、归纳 教学过程: (一)、提出问题 1.二次函数y=2x2的图象是____,它的开口向_____,顶点坐标是_____;对称轴是______,在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而______,函数y=ax2与x=______时,取最______值,其最______值是______。 2.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? (二)、分析问题,解决问题 问题1: 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究? 问题2: 你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗? 问题3: 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系? 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系? 问题4: 函数y=2x2+1和y=2x2的图象有什么联系? 问题5: 现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 问题6: 你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗? 问题7: 完成填空: 当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大,当x______时,函数取得最______值,最______值y=______. 问题8: 你能说出函数y=2x2-2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,以及这个函数的性质吗? 三,课堂练习巩固: 四、小结与作业 作业优化设计 1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象, y= x2,y= x2+2,y= x2-2 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 你能说出抛物线y= x2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2.根据上题的结果,试说明: 分别通过怎样的平移,可以由抛物线y= x2得到抛 物线y= x2+2和y= x2-2? 3.一条抛物线的开口方向、对称轴与 相同,顶点纵坐标是-2, 且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式. 4.试说出函数y= x2,y= x2+2,y= x2-2的图象所具有的共同性质。 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质② 一、教学目标 知识与技能: 使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。 过程与方法: 让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。 情感态度与价值观: 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 二、重点: 会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系 三、难点: 理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系 四、教具准备: 投影仪、幻灯片、课外资料。 五、教学过程: 一、分析问题,解决问题 问题1: 你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y=2(x-1)2和二次函数y=2x2的图象,并加以观察) 问题2: 你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象吗? 教学要点 1.让学生完成下表填空。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2 y=2(x-1)2 2.让学生在图 (1)的直角坐标系中画出图来: 3.教师巡视、指导。 问题3: 现在你能回答前面提出的问题吗? 教学要点 1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象,完成以下填空: 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2(x-1)2 2.让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识: 函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0)。 问题4: 你可以由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x-1)2的性质吗? 三、做一做 问题5: 你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗? 问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x+1)2的性质吗? 问题7: 在同一直角坐标系中,函数y=- (x+2)2的图象与函数y=- x2的图象有什么关系? 问题8: 你能说出函数y=- (x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 问题9: 你能得到函数y= (x+2)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流,发表意见,归结为: 当x<-2时,函数值y随x的增大而增大; 当x>-2时,函数值y随工的增大而减小;当x=-2时,函数取得最大值,最大值y=0。 六、作业 七、板书设计: 八、小结: 作业优化设计 1.在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y=4x2与y=4(x-3)2 (2)y= (x+1)2与y= (x-1)2 2.已知函数y=- x2,y=- (x+2)2和y=- (x-2)2。 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象; (2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由函数y=-1/4x2的图象得到函数y=- (x+2)2和函数y=- (x-2)2的图象? (4)分别说出各个函数的性质。 3.已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x-1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象; (2)分别说出各个函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标; (3)试说明: 分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图象, (4)分别说出各个函数的性质. 4.二次函数y=a(x-h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系? 第四课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质③ 一、教学目标 知识与技能: 使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 过程与方法: 让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。 情感态度与价值观: 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 二、重点: 确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质 三、难点: 正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质 四、教具准备: 投影仪、幻灯片、课外资料。 五、教学过程: (一)、提出问题 1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的,见P7图26.2.2) 2.函数y=2(x-1)2的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系? (函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,见P10图26.2.3) 3.函数y=2(x-1)2+1的图象与函数y=2(x-1)2的图象有什么关系? 函数y=2(x-1)2+1有哪些性质? (二)、试一试 你能填写下表吗? y=2x2 向右平移 的图象 1个单位 y=2(x-1)2 向上平移 1个单位 y=2(x-1)2+1的图象 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点 (0,0) 问题2: 从上表中,你能分别找到函数y=2(x-1)2+1与函数y=2(x-1)2、y=2x2的图象的关系吗? 问题3: 你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质? 对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识; 函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x<1时,函数值y随x的增大而减小,当x>1时,函数值y随x的增大而增大;当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。 (三)、做一做 问题4: 在图26.2.3中,你能再画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较吗? 教学要点 1.在学生画函数图象时,教师巡视指导; 2.对“比较”两字做出解释,然后让学生进行比较。 问题5: 你能说出函数y=- (x-1)2+2的图象与函数y=- x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y=- (x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=- x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2) 六、作业 七、板书设计: 八、小结: 作业优化设计 1.巳知函数y=- x2、y=- x2-1和y=- (x+1)2-1 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象; (2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试说明: 分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=- x2得到抛物线y=- x2-1和抛物线y= (x+1)2-1; (4)试讨论函数y=- (x+1)2-1的性质。 2.已知函数y=6x2、y=6(x-3)2+3和y=6(x+3)2-3。 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象; (2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x-3)2+3和抛物线y=6(x+3)2-3; (4)试讨沦函数y=6(x+3)2-3的性质; 3.不画图象,直接说出函数y=-2x2-5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 4.函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关 第五课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质④ 一、教学目标 知识与技能: 使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。 过程与方法: 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 情感态度与价值观: 让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。 二、重点: 用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标 三、难点: 理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=- 、(- , ) 四、教具准备: 投影仪、幻灯片、课外资料。 五、教学过程: 一、提出问题 你能画出函数y=- x2+x- 的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗? 因为y=- x2+x- =- (x-1)2-2,所以这个函数的图象开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2) 二、解决问题 由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y=- x2+x- 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y=- x2+x- 的图象,进而观察得到这个函数的性质。 解: (1)列表: 在x的取值范围内列出函数对应值表; x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -6 -4 -2 -2 -2 -4 -6 … (2)描点: 用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。 (3)连线: 用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=- x2+x- 的图象,如图所示。 说明: (1)列表时,应根据对称轴是x=1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值。 相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。 所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观。 让学生观察函数图象,发表意见,互相补充,得到这个函数韵性质; 当x<1时,函数值y随x的增大而增大;当x>1时,函数值y随x的增大而减小; 当x=1时,函数取得最大值,最大值y=-2 三、做一做 1.请你按照上面的方法,画出函数y= x2-4x+10的图象,由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗? 2.通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值? 这个值是多少? 以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。 那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标? 你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识; y=ax2+bx+c =a(x2+ x)+c =a[x2+ x+( )2-( )2]+c =a[x2+ x+( )2]+c- =a(x+ )2+ 当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。 对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(- , ) 六、作业 七、板书设计: 八、小结: 作业优化设计 1.填空: (1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______; (2)抛物线y=2x2-2x- 的开口_______,对称轴是_______; (3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口_______,顶点坐标是_______; (4)抛物线y=- x2+2x+4的对称轴是_______; (5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______. 2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。 3.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x (3)y=-2x2+8x-8(4)y= x2-4x+3 4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质。 第六课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质⑤ 一、教学目标 知识与技能: 能根据实际问题列出函数关系式、 过程与方法: 使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。 情感态度与价值观: 通过建立
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