南京市高三上学期迎一模模拟考试数学试题.docx

南京市高三上学期迎一模模拟考试数学试题.docx

《南京市高三上学期迎一模模拟考试数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京市高三上学期迎一模模拟考试数学试题.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

南京市高三上学期迎一模模拟考试数学试题

2016-2017高三数学迎一模模拟卷

第I卷（共160分）

一．填空题（每题5分，共70分）

1．已知集合

，

，则

=▲．

【答案】

2．复数

（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为▲．

【答案】4

3．已知命题

是真命题，则实数

的取值范围是_______.

【答案】

4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为.【答案】

5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为__________．

【答案】30．

6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为▲．

【答案】4

7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线

的渐近线的距离为▲．

【答案】

8．已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a▲2b-

。

（填“>”、“<”或“=”）

【答案】“<”

9．

是直角边等于4的等腰直角三角形，

是斜边

的中点，

，向量

的终点

在

的内部（不含边界），则

的取值范围是．

【答案】

10．已知正数

依次成等比数列，且公比

．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则公比

的取值集合是．

【答案】

；

11．已知棱长为1的正方体

，

是棱

的中点，

是线段

上的动点，则△

与△

的面积和的最小值是．

【答案】

;

12．已知函数

的值域为

，若关于

的不等式

的解集为

，则实数

的值为．

【答案】

13.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）＝（k－1）x－1，g（x）＝0，h（x）＝（x＋1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k的取值集合为________．

【答案】{2}

14．若实数x,y满足x－4

＝2

，则x的取值范围是．

【答案】{0}[4，20].

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

如图，在

平面上，点

，点

在单位圆上，

（

）

（1）若点

，求

的值；

（2）若

，

，求

.

15.

（1）由于

，

，所以

，

，

所以

，所以

；

（2）由于

所以

.

所以

，所以

，

所以

.

16．（本小题满分14分）

如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．

（1）求证：

AE//面DBC；

（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：

AD⊥DC．

16．

（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．

因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO⊂面DBC，

所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE//DO．

又AE

面DBC，DO⊂面DBC，故AE//面DBC．

（2）由

（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．

又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．

因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．

又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．

又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．

17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一条公路从正西方

通过市中心

后转向东偏北

角方向的

．位于该市的某大学

与市中心

的距离

，且

．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站

，在OB上设一站B，铁路在

部分为直线段，且经过大学

．其中

，

，

．

（1）求大学

与站

的距离

；

（2）求铁路

段的长

．

17.

（1）在

中，

，

且

，

，

由余弦定理得，

，即大学

与站

的距离

为

；

（2）

，且

为锐角，

，

在

中，由正弦定理得，

即

，

，

，

，

，

，

，

又

，

，

在

中，

，由正弦定理得，

，

即

，

，即铁路

段的长

为

．

18．（本小题满分16分）

设椭圆

的离心率为

，直线

与以原点为圆心、椭圆

的短半轴长为半径的圆

相切．

（1）求椭圆

的方程；

（2）设直线

与椭圆

交于不同的两点

，以线段

为直径作圆

．若圆

与

轴相交于不同的两点

，求

的面积；

（3）如图，

、

、

、

是椭圆

的顶点，

是椭圆

上除顶点外的任意点，直线

交

轴于点

，直线

交

于点

．设

的斜率为

，

的斜率为

，求证：

为定值．

18.

（1）圆

的方程为

，

直线

与圆O相切，

，即

，又

，

，

，

椭圆

的方程为

；

（2）由题意，可得

，

圆

的半径

，

，

的面积为

；

（3）由题意可知

，

的斜率为

，

直线

的方程为

，

由

，得

，

其中

，

，

，

则直线

的方程为

，

令

，则

，即

，

直线

的方程为

，

由

，解得

，

，

的斜率

，

（定值）．

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an（n∈N*）．

（1）证明：

数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝（2n＋1）an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.

求满足不等式

>2010的n的最小值．

19．

（1）因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－（n－1）（n≥2，n∈N*）．

两式相减，得an＝2an－1＋1.

所以an＋1＝2（an－1＋1）（n≥2，n∈N*），所以数列{an＋1}为等比数列．

因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.

a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.

（2）因为bn＝（2n＋1）an＋2n＋1，所以bn＝（2n＋1）·2n.

所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋（2n－1）·2n－1＋（2n＋1）·2n，①

2Tn＝3×22＋5×23＋…＋（2n－1）·2n＋（2n＋1）·2n＋1，②

①－②，得－Tn＝3×2＋2（22＋23＋…＋2n）－（2n＋1）·2n＋1

＝6＋2×

－（2n＋1）·2n＋1

＝－2＋2n＋2－（2n＋1）·2n＋1＝－2－（2n－1）·2n＋1.

所以Tn＝2＋（2n－1）·2n＋1.

若

>2010，则

>2010，即2n＋1>2010.

由于210＝1024,211＝2048，所以n＋1≥11，即n≥10.

所以满足不等式

>2010的n的最小值是10.

20.（本小题满分16分）

已知函数

，

，设

.

（1）若

在

处取得极值，且

，求函数h（x）的单调区间；

（2）若

时函数h（x）有两个不同的零点x1,x2.

①求b的取值范围；②求证：

.

20.

（1）因为

，所以

由

可得a=b-3.

又因为

在

处取得极值，

所以

，

所以a=-2,b=1.

所以

，其定义域为（0，+

）

令

得

，

当

（0,1）时，

，当

（1,+

）

，

所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+

）上单调减.

（2）当

时，

，其定义域为（0，+

）.

①由

得

，记

，则

所以

在

单调减，在

单调增，

所以当

时

取得最小值

.

又

，所以

时

，而

时

所以b的取值范围是（

，0）.

②由题意得

所以

所以

，不妨设x1

要证

只需要证

.

即证

，设

则

所以

所以函数

在（1，+

）上单调增，而

，

所以

即

所以

.

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]

B．（选修４－２：

矩阵与变换）已知点P（a，b），先对它作矩阵M

对应的变换，再作N

对应的变换，得到的点的坐标为（8，

），求实数a，b的值．

B．依题意，NM

，

由逆矩阵公式得，（NM）

，

所以

，即有

，

．

C．（选修４－４：

坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与

轴的正半轴重合.若直线

的极坐标方程为

.

（1）把直线

的极坐标方程化为直角坐标系方程;

（2）已知

为椭圆

上一点,求

到直线

的距离的最小值.

C.

（1）直线l的极坐标方程

则

即

所以直线l的直角坐标方程为

;

（2）P为椭圆

上一点,设

其中

则P到直线l的距离

所以当

时,

的最小值为

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设

为随机变量，若

为整数，则

；若

为小于1的分数，则

；若

为大于1的分数，则

．

（1）求概率

；

（2）求

的分布列，并求其数学期望

．

22．

（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使

为整数的有以下8种：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以

；

（2）随机变量

的所有取值为

，

，

，

有以下6种：

（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），

故

；

有以下2种：

（3，2），（4，3），故

；

0

1

所以

的分布列为：

，

答：

的数学期望为

．

23．（本小题满分10分）

已知

．

⑴求

及

；

⑵试比较

与

的大小，并说明理由．

23．⑴令

，则

，令

，则

，所以

．

⑵要比较

与

的大小

，只要比

较

与

的大小．

当

时，

，

当

或

时，

，当n=4或5时，

猜想：

当

时，

．下面用数学归纳法证明：

①由上述过程可知，当

时，结论成立．

②假设当

时结论成立，即

，

两边同乘以

，得

，

而

，

所以

，

即

时结论也成立．

由①②可知，当

时，

成立．

综上所述，当

时，

；当

或

时，

；

当

时，

．