线性代数习题答案详解.docx
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线性代数习题答案详解
线性代数习题答案详解
【篇一:
段正敏主编《线性代数》习题解答】
张应应胡佩2013-3-1
第一章第二章第三章第四章第五章第六章
行列式....................................................................................................................1矩阵......................................................................................................................22向量组的线性相关性..........................................................................................50线性方程组..........................................................................................................69矩阵的相似对角化..............................................................................................91二次型................................................................................................................114
1
附录:
习题参考答案...........................................................................................................129
1
教材:
段正敏,颜军,阴文革:
《线性代数》,高等教育出版社,2010。
第一章行列式
1.填空题:
(1)3421的逆序数为5;
解:
该排列的逆序数为t?
0?
0?
2?
3?
5.
(2)517924的逆序数为7;
解:
该排列的逆序数为t?
0?
1?
0?
0?
3?
3?
7.(3)设有行列式
21d?
6
1?
1
5?
1501
?
130201
047832
?
432=?
(aij),
含因子a12a31a45的项为;解:
(?
1)
t(23154)
a12a23a31a45a54?
(?
1)3?
5?
2?
6?
8?
3?
?
1440
(?
1)t(24153)a12a24a31a45a53?
(?
1)4?
5?
0?
6?
8?
1?
0
所以d含因子a12a31a45的项为-1440和0.
(4)若n阶行列式dn?
?
(aij)?
a,则d?
?
(?
aij)?
解:
?
行列式d中每一行可提出一个公因子?
1,
?
?
1?
n
a
;
?
d?
?
(?
aij)?
?
?
1?
?
(aij)?
?
?
1?
a.
nn
1
(5)设f(x)?
14?
8
1xx
2
2?
248
,则f(x)?
0的根为;
x3
解:
f(x)是一个vandermonde行列式,
?
f(x)?
(x?
1)(x?
2)(x?
2)(?
2?
1)(?
2?
2)(2?
1)?
0的根为1,2,-2.
(6)设x1,x2,x3是方程x?
px?
q?
0的三个根,则行列式
3
x1
x3
x2x1x3
x3
x2?
;x1
3
3
2
x2
解:
根据条件有x?
px?
q?
(x?
x1)(x?
x2)(x?
x3)?
x?
(x1?
x2?
x3)x?
ax?
x1x2x3比较系数可得:
x1?
x2?
x3?
0,x1x2x3?
?
q
?
x13?
?
px1?
q?
3
再根据条件得:
?
x2?
?
px2?
q
?
x3?
?
px?
q
3?
3
原行列式=x1?
x2?
x3?
3x1x2x3?
?
p(x1?
x2?
x3)?
3q?
3?
(?
q)?
0.
3
3
3
x
(7)设有行列式?
1
23
x0=0,则x;x1
x
解:
?
1
23
x0?
x2?
3x?
2?
(x?
1)(x?
2)?
0x1
?
x?
1,2.
a11
(8)设f(x)?
a12a22xa42
a13xa33a43
xa24a34a44
,则多项式f(x)中x3的系数为;
a21a31x
解:
按第一列展开f(x)?
a11a11?
a21a21?
a31a31?
xa41,
?
a11,a21,a31中最多只含有x2项,?
含有x3的项只可能是xa41
a12
xa41?
x(?
1)4?
1a22
x
a13xa33
xa24a34
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
xaa?
aa?
aa?
x?
a13a22a34?
a12a24a33?
?
?
?
?
123413242233?
?
?
xa41不含x3项,?
f(x)中x3的系数为0.
1234
(9)如果
6543002x0033
=0,则x
1234
解:
65430020033
122x
?
?
?
(5?
12)(6?
3x)?
0x6533
?
x?
2.
000
(10)
a000
;
b000c
000d
解:
将行列式按第一行展开:
000b000c
000d
a000
b00
?
a?
(?
1)1?
40c
0?
?
abcd.
00d
a31
(11)如果b
a?
3b?
3c?
3
21?
?
r1?
3r3?
?
r2?
2r3
01=1,则521?
?
a
?
at
41
;
ca31
解:
b
1
abc302111
a?
3b?
3c?
351
21
41
?
1.
0121a11
c
a12a22a32
a132a112a122a222a32
2a12?
2a13
2a22?
2a232a32?
2a33
(12)如a21
a31
2a112a122a13
a23=2,则2a21
2a31a33a21?
a31
a21?
3a11a22?
3a12a23?
3a13
a11
a12a22a32
00a21a22a23
a11a13
0a31a32a33
a21a22a23
2123
a31a32?
?
1a33
;
a
a22?
a3211
a12
a23?
a33
a13
a13a33
解:
a?
a21
a23?
?
1?
2?
3?
at?
a12?
2?
3?
2
a31
2a112a31
2a122a32
2a22?
2a23?
2?
12?
22a32?
2a33
?
?
3?
?
8?
0?
a?
?
?
16
2?
2?
2?
3?
231?
2?
2?
?
3
2a212a22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8?
?
1?
2?
2?
?
1?
2
2a112a122a13
a21?
3a11a22?
3a12a23?
3a13
a21?
a31
a22?
a32?
2?
1a23?
a33
?
2?
3?
1?
2?
?
3?
2?
1?
2?
3?
1?
2?
?
3?
2?
2
?
2?
?
3?
?
1?
3?
1?
2?
?
3?
2?
?
3?
2?
?
1?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
1
?
?
3
?
2?
?
1?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2at?
?
4
0a11a12a13
0a21a22a23
0a31a32a33
2
1?
?
按第一行展开?
?
23
ab
1?
4
2(?
-1)at?
?
4.
(13)设n阶行列式d=a?
0,且d中的每列的元素之和为b,则行列式d中的第二行的代数余子式之和为=?
?
?
;
a11
解:
a12?
a1n?
?
a11?
a12?
a1nb?
?
b?
=b
a111?
a12?
a1n1?
?
1?
a21?
an1
a22?
a2n?
?
每行元素加到第二行?
?
ban2?
ann
an1an2?
annan1an2?
ann
?
?
按第二行展开?
?
b?
a21?
a22?
?
?
a2n?
?
a?
0
?
b?
0,且a21?
a22?
?
?
a2n?
0
?
a21?
a22?
?
?
a2n?
ab
实际上,由上述证明过程可知任意行代数余子式之和ai1?
ai2?
?
?
ain?
a
i?
1,2,?
n.b
a11
(14)如果
a12a22a32a42
a13a23a33a43
a14a24a34a44
=1,则
000a11
a22a32a42a12
a23a33a43a23
a24a34a44a24
000
a42
a22a23a24
a32a33a34
1
a43=?
?
?
?
?
?
?
?
;
a11
a44
a22
解:
令b?
a32
a23a33a43
a24
a34,则a44
a42
【篇二:
同济大学_第五版_线性代数课后习题解析】
3
4
5
【篇三:
线性代数习题及解答】
:
本卷中,a-1表示方阵a的逆矩阵,r(a)表示矩阵a的秩,||?
||表示向量?
的长度,?
t表示向量?
的转置,
e表示单位矩阵,|a|表示方阵a的行列式.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
a11
a12a13
3a113a123a131.设行列式a21
a22a23=2,则?
a31?
a32?
a33=()
a31
a32
a33
a21?
a31
a22?
a32
a23?
a33
a.-6b.-3c.3
d.6
2.设矩阵a,x为同阶方阵,且a可逆,若a(x-e)=e,则矩阵x=()a.e+a-1
b.e-ac.e+a
d.e-a-1
3.设矩阵a,b均为可逆方阵,则以下结论正确的是()
a.?
?
a?
a-1?
?
b?
可逆,且其逆为?
?
?
?
b-1
?
b.?
?
?
?
a?
b?
不可逆?
c.?
?
a?
?
b-1?
d.?
?
b?
可逆,且其逆为?
?
?
a
-1?
?
?
a?
?
a-1?
?
b?
可逆,且其逆为?
?
?
b-1?
?
4.设?
1,?
2,…,?
k是n维列向量,则?
1,?
2,…,?
k线性无关的充分必要条件是a.向量组?
1,?
2,…,?
k中任意两个向量线性无关
b.存在一组不全为0的数l1,l2,…,lk,使得l1?
1+l2?
2+…+lk?
k≠0c.向量组?
1,?
2,…,?
k中存在一个向量不能由其余向量线性表示d.向量组?
1,?
2,…,?
k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5.已知向量2?
?
?
?
(1,?
2,?
2,?
1)t,3?
?
2?
?
(1,?
4,?
3,0)t
则?
?
?
=()a.(0,-2,-1,1)t
b.(-2,0,-1,1)t
c.(1,-1,-2,0)t
d.(2,-6,-5,-1)t
6.实数向量空间v={(x,y,z)|3x+2y+5z=0}的维数是()a.1
b.2
)
(
c.3d.4
7.设?
是非齐次线性方程组ax=b的解,?
是其导出组ax=0的解,则以下结论正确的是
()
a.?
+?
是ax=0的解c.?
-?
是ax=b的解8.设三阶方阵a的特征值分别为a.2,4,c.
b.?
+?
是ax=b的解d.?
-?
是ax=0的解
11
,3,则a-1的特征值为()24
b.
13111,,243
11,,324
1
d.2,4,3
9.设矩阵a=
2?
1
,则与矩阵a相似的矩阵是()
1
a.?
1
?
12
3
01
b.1
02
?
2
c.
1
11
d.
?
2
1
10.以下关于正定矩阵叙述正确的是()a.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵c.正定矩阵的行列式一定大于零
二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
11.设det(a)=-1,det(b)=2,且a,b为同阶方阵,则det((ab))=__________.
3
b.正定矩阵的行列式一定小于零d.正定矩阵的差一定是正定矩阵
1
12.设3阶矩阵a=4
2t
?
2
3,b为3阶非零矩阵,且ab=0,则t=__________.1
-1
3?
1
k
13.设方阵a满足a=e,这里k为正整数,则矩阵a的逆a=__________.14.实向量空间r的维数是__________.
n
17.设?
是齐次线性方程组ax=0的解,而?
是非齐次线性方程组ax=b的解,则a(3?
?
2?
)=__________.18.设方阵a有一个特征值为8,则det(-8e+a)=__________.
19.设p为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则||px||=__________.
20.二次型f(x1,x2,x3)?
x1?
5x2?
6x3?
4x1x2?
2x1x3?
2x2x3的正惯性指数是__________.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
2
2
2
1
21.计算行列式
142
?
12?
614
2
.
?
1?
1?
4121
2
22.设矩阵a=
35
,且矩阵b满足aba=4a+ba,求矩阵b.
-1-1-1
23.设向量组?
1?
(3,1,2,0),?
2?
(0,7,1,3),?
3?
(?
1,2,0,1),?
4?
(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组,并
将其余向量通过极大线性无关组表示出来.
?
1
24.设三阶矩阵a=?
2
45
3
3,求矩阵a的特征值和特征向量.
2
?
4?
2
25.求下列齐次线性方程组的通解.
?
x1?
x3?
5x4?
0
?
?
2x1?
x2?
3x4?
0
?
x?
x?
x?
2x?
0
234?
1
2?
24?
20
26.求矩阵a=
301
03
60
?
1101
10
的秩.
?
12
四、证明题(本大题共1小题,6分)
a11
27.设三阶矩阵a=a21
a12a22a32
a13
a23的行列式不等于0,证明:
a33
a31
?
a13?
?
a11?
?
a12?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
a21?
?
2?
?
a22?
?
3?
?
a23?
线性无关.
?
a?
?
a?
?
a?
?
31?
?
32?
?
33?
线性代数习题二
说明:
在本卷中,a表示矩阵a的转置矩阵,a表示矩阵a的伴随矩阵,e表示单位矩阵。
的行列式,r(a)表示矩阵a的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或t
*
a
表示方阵a
未选均无分。
1.设3阶方阵a的行列式为2,则
?
1
2
a?
()a.-1b.?
14
c.
14
d.1
x?
2
x?
1
x?
2
2.设
f(x)?
2x?
2
2x?
12x?
2,则方程f(x)?
0的根的个数为()
3x?
23x?
23x?
5
a.0b.1c.2
d.3
3.设a为n阶方阵,将a的第1列与第2列交换得到方阵b,若a?
b,则必有(a.a?
0b.a?
b?
0c.
a?
0
d.
a?
b?
0
4.设a,b是任意的n阶方阵,下列命题中正确的是()a.(a?
b)
2
?
a2?
2ab?
b2
b.(a?
b)(a?
b)?
a2?
b2
c.(a?
e)(a?
e)?
(a?
e)(a?
e)d.(ab)
2
?
a2b2
?
a1ba1b2a1b3?
5.设a?
?
1?
a2b1
aa?
0,b?
2b22b3?
其中ai?
i?
0,i?
1,2,3,则矩阵a的秩为(?
a3b1
a3b2
a3b3?
?
a.0b.1c.2
d.3
6.设6阶方阵a的秩为4,则a的伴随矩阵a*的秩为()a.0
b.2
))
c.3d.4
b.-4d.10
?
x1?
x2?
x3?
4?
8.已知线性方程组?
x1?
ax2?
x3?
3无解,则数a=()
?
2x?
2ax?
4
2?
1
a.?
c.
1
2
b.0d.1
12
9.设3阶方阵a的特征多项式为a.-18c.6
?
e?
a?
(?
?
2)(?
?
3)2,则a?
()
b.-6d.18
10.若3阶实对称矩阵a?
(aij)是正定矩阵,则a的3个特征值可能为()a.-1,-2,-3c.-1,2,3
b.-1,-2,3d.1,2,3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
30
11.设行列式d
4
2,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
?
22
53?
2
12.设a?
?
a?
?
a?
b?
b?
b?
?
?
?
则ab?
__________.
?
a?
a?
bb?
?
?
?
?
103?
?
?
?
?
103?
?
?
14.向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为__________.
?
x1?
?
x2?
x3?
0
?
16.设方程组?
?
x1?
x2?
x3?
0有非零解,且数?
?
0,则?
?
__________.
?
x?
x?
?
x?
0
3?
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