函数函数的定义域值域单调性奇偶性对称性周期性hg.docx
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函数函数的定义域值域单调性奇偶性对称性周期性hg
函数复习
二.定义域:
1.“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
2.求定义域:
例1设f(x)=lg
例2求下列函数定义域:
(1
)f(x)=
变式练习:
f(2-x)=
三.值域:
2+xx2,则f()+f()的定义域为__________2-x2x2lg(3x+1)
(2)f(x)=sinx+log1(25-x2)24-x2,求f(x)的定义域。
x2-13x1.①y=2②y=2x+4x+1
2.①y=
xx-1②y=x+1x+1
sin2x+7sinx+10x2-5x+4,x∈(1,5]④y=③y=sinx+1x2-1
3.①y=-x+
2x-1;
②y=x-4x2
4.①y=(sinx+3)(cosx+3)②y=2x-2x-2
5.①y=1;2x+2x+3
②已知直角三角形的三边之和为2,求此三角形面积S的最大值。
③y=
cosx-2cosx-1④y=cosx-1sinx-2
6.函数f(x)=
123x-x+的定义域和值域都是[1,b](b>1),求b的值。
22
练习:
已知二次函数f(x)=ax+bx满足f
(2)=0且方程f(x)=x有等根。
(1)求f(x)的解析式;
(2)问是否存在实数m,n(m [2m,2n]。 如存在,求出m,n的值,若不存在说明理由。 答案: (1)f(x)=- 12 (2)m=-2,n=0x+x,2 +∞)已知f(x)=2+log3x(7.[1, 1≤x≤9),求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最值。 81 2x2+bx+c8.已知函数f(x)=(b<0)的值域为[1,3],求实数b,c的值。 2x+1 2⎧x≥1,⎪x+∞),则g(x)的9.(07浙江理)设f(x)=⎨g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,x<1,⎪⎩x值域是()C -1][1,∞+)B.(-∞,-1][0,+∞)C.[0,+∞)A.(-∞,D. 小结: 函数值域的计算能力要求高、考查频率高,应该分类归纳,各个击破。 难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。 四.单调性: 1.单调性的证明: (1)定义法: 例判断函数f(x)=-x3(x∈R)的单调性,并用定义证明。 练习: 单调性的简单应用: 例 (1)函数y=log2 0.1(6+x-2x)的单调增区间是________ (2)已知y=loga(2-ax)在[0,1]是减函数,则a的取值范围是_________ 练习: 若函数f(x)=logk(x2-kx+3)在区间⎛-∞,k⎤ ⎝2⎥⎦上是减函数,则实数k的取值范围是__ __________________ 高考真题: 已知f(x)=⎨⎧(3a-1)x+4a,x<1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( ⎩logax,x>1 2.已知函数f(x)=1-ax2+25(-5≤x≤0),点(-2,-4)在f(x)的反函数图像上。 (1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)证明f-1(x)在定义域内是减函数。 答案: (1)f-1(x)=-24+2x-x2,x∈[-4,1] ) 111(D)[,1)737 1解: 依题意,有07a-1,当x>1时,3(A)(0,1)(B)(0,)(C)[,)13 logax<0,所以7a-1≥0解得x≥ 1故选C7 例设函数f(x)=lg(x+ax-a-1),给出下述命题: ①f(x)有最小值; ②当a=0时,f(x)的值域为R; ③当a>0时,f(x)在区间[2,+∞)上有反函数; ④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是a≥-4 则其中正确的命题是_____________(要求: 把正确命题的序号都填上) 例已知函数y=f(x)的图象与函数y=a(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记x2 1g(x)=f(x)[f(x)+f (2)-1].若y=g(x)在区间[,2]上是增函数,则实数a的取值范围是2 ()D A.[2,+∞)B.(0,1)(1,2)C.[,1)D.(0,] 例函数f(x)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时,f(x)>1,⑴求证: f(x)在R上是增函数; ⑵若f(3)=4,解不等式f(a+a-5)<2 五.函数的奇偶性: 常用性质: 1.f(x)=0是既奇又偶函数;2.奇函数若在x=0处有定义,则必有f(0)=0; 3.偶函数满足f(x)=f(-x)=f(x);4.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称; 5.f(x)=0除外的所有函数奇偶性满足: 奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶21212 奇函数×偶函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数 6.任何函数f(x)可以写成一个奇函数ϕ(x)= 的和。 例设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)f(x)f(-x)是奇函数(B)f(x)f(-x)是奇函数 (C)f(x)-f(-x)是偶函数(D)f(x)+f(-x)是偶函数 【解析】A中F(x)=f(x)f(-x)则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x), 即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数,B中F(x)=f(x)f(-x),F(-x)=f(-x)f(x)此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)f(-x)的奇偶性不确定, C中F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数,D中F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,故选择答案D。 例已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)和一个偶函数ψ(x)=22x∈(0,+∞)时,f(x)=解: 当x∈(0,+∞)时,有-x∈(-∞,0),注意到函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,于是,有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.从而应填-x-x4. -2x+b例已知定义域为R的函数f(x)=x+1是奇函数。 2+a (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0恒成立,求k的取值范围;22 b-11-2x =0⇒b=1∴f(x)=解析: (Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即a+2a+2x+1 1 1-2又由f (1)=-f(-1)知=-⇒a=2.a+4a+11- 1-2x11(Ⅱ)解法一: 由(Ⅰ)知f(x)=,易知f(x)在(-∞,+∞)上=-+2+2x+122x+1 为减函数。 又因f(x)是奇函数,从而不等式: f(t-2t)+f(2t-k)<0 等价于f(t-2t)<-f(2t-k)=f(k-2t),因f(x)为减函数,由上式推得: 22222 t2-2t>k-2t2.即对一切t∈R有: 3t2-2t-k>0,从而判别式∆=4+12k<0⇒k<-. 13 1.,若f(x)为奇函数,则a=________。 2x+1 111解析: 函数f(x)=a-x.若f(x)为奇函数,则f(0)=0,即a-0=0,a=.22+12+1练习: 已知函数f(x)=a- 例已知f(x)在(-1,1)上有定义,且满足x,y∈(-1,1)有f(x)-f(y)=f( 证明: f(x)在(-1,1)上为奇函数; 例若奇函数f(x)(x∈R)满足f (2)=1,f(x+2)=f(x)+f (2),则f(5)=_______ 六.函数的周期性: (一)要点: 1.(定义)若f(x+T)=f(x)(T≠0)⇔f(x)是周期函数,T是它的一个周期。 说明: nT也是f(x)的周期 (推广)若f(x+a)=f(x+b),则f(x)是周期函数,b-a是它的一个周期 2.若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,x-y),1-xy2(b-a)是它的一个周期 (推论)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期 3.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,2(b-a)是它的一个周期 (推论)若定义在R上的奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期 4.若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,4(b-a)是它的一个周期 (推论)若定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期 5.若f(x+a)=-f(x);f(x+a)= 的一个周期 (二)例题讲解: 例1函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)= _______________。 解: 由f(x+2)=11;f(x+a)=-;则f(x)是周期函数,2a是它f(x)f(x)1,若f (1)=-5,则f(f(5))=fx11=f(x),所以f(5)=f (1)=-5,则得f(x+4)=fxfx+2f(f(5))=f(-5)=f(-1)= 11=-。 f(-1+2)5 例2f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于x=1对称,对任意x1,x2∈[0,],有f(x1+x2)1 2 =f(x1)f(x2),且f (1)=a>0⑴求f();f() ⑵证明: f(x)是周期函数; 例3f(x)是定义在R上的奇函数,且对一切x∈R,恒有f(+x)=-f(-x) ⑴求证: f(x)是周期函数; ⑵若f (1)=2,求f (2)+f(3)的值。 例4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1(B)0(C)1(D)2 解: 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数,f(x)的周期为4,所以f(6)=f (2)=-f(0)=0,选B 例5若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px- 为________12143232p)(x∈R),则f(x)的一个正周期2 )=0,则在区间例6已知定义在R上,最小正周期为5的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(3 (0,10)内,方程f(x)=0的解的个数至少为_________个 例7定义在R上的偶函数f(x),满足f(2+x)=f(2-x),在区间[-2,0 ]上单调递减,设 ,则a,b,c的大小顺序为_____________a=f(-1.5),b=f),c=f(5) 例8定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)当x∈[0,2]时f(x)=x-2x,则当2 x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值是_____________ 例9已知函数y=f(x)是一个以4为最小正周期的奇函数,则f (2)=() A.0B.-4C.4D.不能确定 例10已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+2)= f. 1+f(x),若f (1)=2+,则1-f(x) 例已知f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(2+x)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=________ 例11设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x),当x∈[0,2]时f(x)=2x-x2 ⑴求证: f(x)是周期函数; ⑵当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; ⑶计算: f(0)+f (1)+f (2)++f(2005) 例12设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对称,已知x∈[-2,2]时,函数f(x)=-x2+1,则x∈[-6,-2]时,f(x)=________ 例13定义在R上的函数y=f(x)为周期函数,最小正周期为T,若函数y=f(x),x∈(0,T)时 有反函数y=f A.y=fC.y=f -1 (x),x∈D,则函数y=f(x),x∈(2T,3T)的反函数为() B.y=fD.y=f -1 -1 (x),x∈D(x+2T),x∈D (x-2T),x∈D(x)+2T,x∈D 65 32 52 -1-1 例14已知f(x)是周期为2的奇函数,当0 (A)a 解: 已知f(x)是周期为2的奇函数,当0 654545 31151 b=f()=f(-)=-f(),c=f()=f()<0,∴c 22222 七.反函数: x 例已知函数y=e的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则 A.f(2x)=e(x∈R)B.f(2x)=ln2⋅lnx(x>0) 2x C.f(2x)=2e(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0) x x 解: 函数y=e的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,所以 f(x)是y=ex的反函数, 即 f(x)=lnx,∴f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0),选D. -1 例设函数y=f(x)的反函数为y=f图像必过 1 (x),且y=f(2x-1)的图像过点(,1),则y=f-1(x)的 2 (A)(,1)(B)(1,)(C)(1,0)(D)(0,1)解: 当x=故选C。 例函数y=⎨ 1212 1-1时,2x-1=0,即y=f(x)的图象过点(0,1),所以y=f(x)的图像必过(1,0)2 ⎧2x,x≥0 的反函数是2 ⎩-x,x<0 ⎧x ⎧2x,x≥0⎪,x≥0 A.y=⎨B.y=⎨C.y= -x,x<0⎩⎪⎩-x,x<0⎧x x≥0⎪ D.y=⎨⎪⎩--x,x<0 ⎧2x,x≥0 ⎨ --x,x<0⎩ 解: 有关分段函数的反函数的求法,选C。 也可用特殊点排除法,原函数上有(1,2)和(-1,-1) 两点,反函数上有(2,1)和(-1,-1),检验知C。 x 例函数y=1+a(0 (A)(B)(C)(D) 解:
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