数学建模跳高问题97996.docx
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数学建模跳高问题97996
电子科技大学第十三届大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了学校第十三届大学生数学建模竞赛的竞赛规如此。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式〔包括、电子、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导教师〕研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规如此的,如果引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们重承诺,严格遵守竞赛规如此,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规如此的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是〔从A/B中选择一项填写〕:
A
我们的参赛报名号为:
参赛队员(打印并签名):
1.〔打印〕学号签名
2.〔打印〕学号签名
3.〔打印〕学号签名
日期:
年月日
校评阅编号〔由校数模组评阅前进展编号〕:
电子科技大学第十一届大学生数学建模竞赛
编号专用页
校评阅编号〔由校数模组评阅前进展编号〕:
跳高运动中数学问题
摘要
随着现代科技的开展,将数学建模的思想融入到体育训练中,将更多数据量化,来分析体育运动员的优劣势,从而来帮助他们进展更合理的、更有针对性的体育训练,这是信息时代开展的必然趋势。
本文通过拟合、logistic模型〔阻滞增长模型〕、多元线性回归模型、非线性多元回归模型等方法对跳高运动进展了分析和预测。
针对问题一和二,我们采用了利用阻滞增长模型进展预测,主要原因是随着社会的高速开展,影响跳高运动员的身体素质指标在理论上也是有极限的,不可能无限制的增加。
所以我们根据logistic模型,对数据进展了拟合,得到相应的函数,根据函数预测出下一届奥运会的成绩,由于人体机能等因素的限制,其中男子的极限成绩将会达到2.4024米,女子达到2.1173米。
在问题三中,根据附表容,我们建立了各身体素质指标与跳高成绩的散点图,发现是符合线性关系的,因此,我们采用多元线性回归模型对国际男子的身体素质进展了分析,此外,我们还用到了随机数法检验多元线性回归模型的得到的成绩,利用rand函数产生一组随机数,对模型进展了检测,发现与真实数据非常吻合。
同样的,我们将国男子的各项身体素质指标与跳高成绩建立了散点图,发现其不符合线性关系,所以我们采用了非线性回归模型对国男子身体素质进展了分析,其中还用到了逐项回归模型,从逐项回归图中,我们可以清楚的看到跳高成绩与助跑摸高的相关性极强,与其他因素相关性如此较弱。
在问题四中,我们以背越式为例,具体分析了运动学对背越式跳高的影响。
背越式主要步骤为助跑,起跳,过杆和落地,背越式技术可以更好的利用起跳的的功率,使身体重心腾起的更高,表现在运动员的助跑速度、起跳速度和过杆速度的提高,尤其重视摆动技术在提高起跳速度和过杆合理性方面的重要作用。
关键词:
极限预测、拟合、logistic模型、多元线性回归、随机数检测、非线性多元回归、逐项回归
一问题重述
随着科学技术的开展和竞技体育标准的不断提高,“数学模型〞在我国体育领域中的应用研究越来越广泛。
通过建立数学模型,进展精度分析,可以为运动员的培养提供科学的训练依据。
不少颇有远见的高水平运动队,通过对运动员体能、技能、心理等竞技能力水平指标和训练方式、训练负荷、训练量等信息的收集分析,来进展辅助训练、决策并卓有成效。
跳高〔HighJump〕运动是田径运动的田赛项目,是一种由有节奏的助跑、单脚起跳、越过横杆落地等动作组成,以越过横杆上缘的高度来计算成绩的运动项目。
最初起源于英国,1864年,英国首先将跳高列入田赛比赛项目,英国运动员罗伯特·柯奇以“跨越式〞创造了1.70米的第一个跳高世界纪录。
1895年美国人斯维尼发明了“剪式〞跳高,并以这种姿势创造了1.97米的世界纪录。
滚式跳高亦源于美国,1912年,在美国斯坦福大学的运动会上霍林用“滚式〞跳过了2.007米的横杆,成为世界上第一个突破2米大关的人。
俯卧式跳高起于20世纪20年代的联运动员伏洛佐夫,1936年美国运动员阿尔布里顿创造了2.07米的世界纪录后,才得到人们的认同和重视并开始被普遍采用。
现在,经过百余年的演变和开展,已达到相当高的水平。
尤其是背越式技术的出现,使跳高运动水平有了新的突破。
目前世界跳高运动总体水平正处于稳定开展时期,然而我国的跳高运动却出现了滑坡现象。
在这种形势下,我们对当代世界跳高运动开展特点进展研究。
对中国和世界的跳高成绩进展比拟研究,分析影响跳高成绩的关键因素,能使我们更多地了解和掌握世界跳高的动态与开展趋势。
请你们的团队从附表1给出的历届奥运会跳高冠军成绩,附表2、表3分别给出的某一时期国际、国运动员训练素质与比赛成绩数据,以与国际田联〔.iaaf.org/statistics/toplists/index.html〕1978年以来男、女跳高竞赛成绩,国际奥委会官方〔.olympic.org/athletics〕等有关搜索相关资料和补充新的数据,解决如下问题:
1.通过国际田联、或国际奥委会官方提供数据,建立数学模型,分析
男、女跳高运动成绩极限状态;
2.预测即将到来的30届伦敦奥运会男、女跳高冠军成绩;
3.就附表1、表2数据,选择适宜的方法,从身体素质角度分析影响跳高
运动员成绩的重要因素;
4.从运动学角度分析影响跳高运动员成绩的因素。
二、问题分析与建模求解
1〕问题一、二
1.模型假设:
阻滞增长模型
我们假设运动员跳高成绩增长率
是跳高原成绩
的线性减函数,即随着跳高成绩的增加,跳高成绩增长速度会慢慢下降:
运动员跳高成绩最终会达到饱和,且趋于一个常数
,当
时,增长率为0:
由上面的关系式可得出:
把上式代进指数增长模型的方程中,并利用初始条件
,可以得到:
解得:
2.定义符号说明:
-----------------------------------运动员跳高成绩增长率
------------------------------------跳高原成绩
-------------------------------------跳高成绩的极限
3.模型建立与求解:
表1历届奥运会男、女跳高冠军成绩
届
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
年份
1896
1900
1904
1908
1912
1920
1924
1928
1932
1936
男子〔米〕
1.81
1.90
1.80
1.90
1.93
1.93
1.98
1.94
1.97
2.03
女子〔米〕
1.59
1.657
1.60
届
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
年份
1948
1952
1956
1960
1964
1968
1972
1976
1980
1984
男子〔米〕
1.98
2.04
2.12
2.16
2.18
2.24
2.23
2.25
2.36
2.35
女子〔米〕
1.68
1.67
1.76
1.85
1.90
1.82
1.92
1.93
1.97
2.02
届
24
25
26
27
28
29
年份
1988
1992
1996
2000
2004
2008
男子〔米〕
2.38
2.34
2.39
2.35
2.36
2.36
女子〔米〕
2.03
2.02
2.05
2.01
2.06
2.05
1)男性
利用初始条件
,可以得到:
解得:
同理,女性有
利用初始条件
,可以得到:
解得:
我们可以利用已有数据拟合求解得〔程序见附件一〕:
可以预测第30届伦敦奥运会男、女冠军成绩分别为2.3845、2.0707。
如如下图为男女冠军成绩增长曲线:
图1男女冠军成绩增长曲线
2〕问题三
1、影响国际男子跳高成绩重要因素
多元线性回归模型:
一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化,在现实问题研究中,因变量的变化往往受几个重要因素的影响,此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化,这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时,所进展的回归分析就是多元性回归。
一:
多元回归
1.1.多元回归模型(multipleregressionmodel)
称为多元线性回归模型
1.2.多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上自变量.
1.3.误差项ε为随机变量
1.4.
为模型的参数,称回归系数
1.5.误差项ε是一个期望值为0的随机变量,即E(ε)=0.
1.6.误差项ε的方差都相等,即
1.7.误差项服从正态分布,即
称
为总体多元线性回归方程.表示当其他变量不变,而每变动一个单位时,E(y)相应的变值.
二、估计的多元回归的方程
2.1
2.2、参数的最小二乘估计
使因变量的观察值y与估计值之间的离差平方和达到
最小来求,即使
达到最小.称
为
的最小二乘估计.
根据微积分中求极值的原理,应是如下正规方程组的解
表2国际男子跳高运动员各项素质指标
序号
跳高成绩
Y
30
行进跑X1
三级跳远
X2
助跑摸高(净高)
X3
助跑4—6步跳高
X4
后抛铅球
X5
深蹲杠铃
X6
杠铃半蹲系数
X7
100
X8
1
2.4
2.6
10.1
1.25
2.25
16
200
2.55
10.7
2
2.31
2.9
9.65
1.18
2.18
15
177.5
2.32
10.9
3
2.39
2.7
10.05
1.24
2.24
15.9
197.5
2.52
10.8
4
2.33
2.9
9.75
1.19
2.19
15.3
182.5
2.37
10.9
5
2.37
2.8
9.95
1.22
2.22
15.7
192.5
2.47
10.8
6
2.27
3
9.45
1.16
2.15
14.2
170
2.2
11
7
2.35
2.8
9.85
1.2
2.2
15.5
187.5
2.42
10.8
8
2.34
2.9
9.8
1.19
2.2
15.4
185
2.39
10.9
9
2.28
3
9.5
1.16
2.16
14.4
170
2.24
11
10
2.32
2.9
9.7
1.18
2.18
15.2
180
2.34
10.9
11
2.36
2.8
9.9
1.21
2.21
15.6
190
2.45
10.8
12
2.3
3
9.6
1.17
2.17
14.8
175
2.29
10.9
13
2.29
3
9.55
1.17
2.16
14.6
172.5
2.26
10.9
14
2.26
3
9.4
1.15
2.14
14
176.5
2.18
11
15
2.38
2.7
10
1.23
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