95隐函数的求导公式doc.docx
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95隐函数的求导公式doc
教学目的:
第5节:
隐函数的求导公式
掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式,熟练计算隐函数的导函数。
教学重点:
由一个方程确定的隐函数求导方法。
教学难点:
教学方法:
隐函数的高阶导函数的计算。
讲授为主,互动为辅
教学课时:
教学内容:
•、一个方程的情形
在笫二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并「L指出了不经显化直接由方程
f(x,y)=O
求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来导出隐畅数的导数公式.
隐函数存在定理1设函数F(兀),)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(兀。
儿)=0,,&(兀0,儿)北0,则方程F(x,y)=0在点(心,儿)的某一邻域内恒能唯
一确定一个单值连续且具冇连续导数的函数y=/(x),它满足条件〉,()=/(%()),并有
dx~F、
公式
(2)就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。
现仅就公式
(2)作如下推导。
将方程⑴所确定的函数丁=/(兀)代入,得恒等式
F(x,f(x))=O,
其左端可以看作是x的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍然恒等,即得
亜+亜空=0
dxdydx
由于&连续,且化(兀0,儿)工°,所以存在(x°,yo)的一个邻域,在这个邻域内化工0,于
是得
如果F(x,y)的二阶偏导数也都连续,我们可以把等式⑵的两端看作兀的复合函数而再
一次求导,即得
例1验证方程兀2+—1=o在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值J1有连续导数、当x=0时,y=l的隐函数y=/(x),并求这函数的一•阶和二阶导数在兀=0的值。
解设F(x,y)=/+),2_],则f=2兀f、=2y,F(0,l)=0,Fy(0,1)=2H0•因此由定理1可知,方程x2+y2-l=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一•个单值且有连续导
数、当兀=011寸,y=1的隐函数y=f(x)o
下面求这函数的一阶和二阶导数
d2yy-xyf
dx2
隐函数存在定理还可以推广到多元函数•既然一个二元方程⑴可以确定一个一元隐函
数,那末一个三元方程
F(x,)\z)=0
就行可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样,我们同样可以由三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程F(x,y,z)=O所确定的二元函数z=(x,y)的存在,以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(兀0,儿,5)的某一邻域内具有连续的偏导数,_aF(xo,yo,zo)=O,巧(%,儿心)工0,则方程F(兀,y,z)二0在点(x0,y0,z0)的菜一邻域内恒能唯一•确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数乙=.广(兀,刃,它满足条件
dz_Fxdz_F),
忝一可,乔一可.
这个定理我们不证.与定理1类似,仅就公式⑷作如下推导.
由于F(x,yff(兀,刃)三0,
将上式两端分别对兀和y求导,应用复合函数求导法则得
因为巧连续,且績(兀0,儿,5)工0,所以存在点(兀0,儿,5)的一个邻域,在这个邻域内耳
H0,于是得
dz_Fxdz_Fy
dxF.'dyF,
C£
例2设x2+y2+?
-4z=0,求宥
ar
解设F(x,)\z)=x2+>?
2+z2-4z,则Fx=2x,F:
=2z-4应用公式(4),得
兀
dx2-z
再一次兀对求偏导数,得
(2-z)2+x2
(2—zT
(2-z)+x
(2_2丿
~~(2—z)2
二、方程组的悄形
下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。
我们不仅增加方程屮变最的个数。
而且增加方程的个数,例如,考虑方程组
jF(x,y,u*)=O,
〔G(x,y,u,z)=O・
这时,在四个变量中,一般只能冇两个变量独立变化,因此方程组(5)就冇可能确定两个二元函数。
在这种情形下,我们可以由函数F、G的性质來断定由方程组⑸所确定的两个二元两数的存在,以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3设函数F(x,y,w,v)>G(x,y,w,v)在点^(x0,y0,w0,v0)的某--邻
域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(xo,yo,wo,vo)=O,G(x0,y0,u0,v0)=0,且偏导
数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
在点心(兀0,儿,知,心)不等于零,则方程组尸(兀,),上°)=0,G(兀,)异,叭=0在点
(兀(),儿,“(),%))的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u=u(x,y),v=v(x,y),它满足条件知=w(x0,y0),v0=v(x0,w0),并有
PxFv
du_13(F,G)_GxGv
dxJ9(x,v)FuFv
G“G、,
1d(F,G)
^3
dxJd(u,x)
G[x,yfu(x,y),v(x,y)]=O,
将恒等式两边分别对x求导,应用复合函数求导法则得
从而可解出典零,得
OXOX
同理,可得
dxdydxdy
设xu一yv=0,yu+xv=1
解此题町直接利用公式(6),但也町依照推导公式⑹的方法来求解。
下面我们利用后一种方法來做。
将所给方程的两边对兀求导并移项,得
--dv-axav-ax
y+xaw-dxdu-axXy
Y—y在J='=x2+y2HO的条件下,
y兀
-u-y
du-v%xu+yv
—__.
dxx-y兀2+$2,
y无
x—u
dv_y-V_yu-XV
‘‘^3■.dxx-yx2+y2
y兀
将所给方程的两边对y求导,用同样方法在丿=,+>,2工°的条件下可得
du_xv-yudv_xu+yv
dyx2+y2'dyx2+y2'
例4设函数x二x(w,v),y=y(w,v)在点(u,u啲某一邻域内连续且具有连续偏导数,
又
心".
9(w,v)
⑴证明方程组
fx=x(w,v),
1y=(u,v)
在点(X,y,c)的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数
u=u(x,y),v=v(x,y)。
(2)求反函数"=w(x,y),v=v(x,y)对x,y的偏导数。
解⑴将方程组(7)改写成下面的形式
F(x.y.u.x)=x-x(u,v)=0,
G(x.y.u.v)=y-y(«,v)=O.
则按假设J=弓FQ=弩卫H0.
3(w,v)d(w,v)
由隐函数存在定理3,即得所要证的结论。
(2)将方程组(7)所确定的反函数弘=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得
Jx=x[w(x,y),v(x,y)],
[)'三y[u(x,y),”(兀,『)]•
将上述恒等式两边分别对兀求偏导数,得
由于心0,故可解得
du
dxJdv
同理,可得
du1dv1dx
dyJdvdyJdu
小结:
本节在前面已提出隐函数概念的基础上,根据多元复合函数的求导法导出隐函数的
求导公式,给出了隐函数存在定理1、2、3,使我们能够计算有一个方程或方程组确
定的隐函数的导
作业:
Pw习题9-51、4、10
(2)(4)、11.
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