1230度45度60度角的三角函数值doc.docx
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§1.230°、45°、60°角的三角函数值
课时安排
1课时
从容说课
本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上,经历探索30°、45。
、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角两数值,并能够进行含有30°、45。
、60。
角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导!
1|30°、45°、60。
这些特殊角的三角函数值.
三角尺是学生非常熟悉的学习用具,教学中,教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中,30°角所対的边等于斜边的一半”的特性,经历探索30。
、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学主的推理能力和计算能力.
第三课时
课题
§1.230°,45°,60°角的三角函数值
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的让算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动,对数学产牛好奇心.培养学牛独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服I木I难的意志,建立自信心・
教具重点
1•探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比佼锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三介函数的意义.
教学方法
自主探索法
教学准备
一副三角尺
多媒体演示
教学过程
I.创设问题情境,引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如卜•测量工具:
①含30°和60°两个锐角的
三角尺;②皮尺.请你设计一个测虽方案,能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各白的想法)
[生]我们组设计的方案如下:
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边垂合且过树梢C点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度,BE的长度,因为DE=AB,所以只需在RtACDA中求出CD的长度即可.
[生]在RtAACD中,ZCAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:
30。
的角所对的边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,(2CD)2=CD2+al
CD=—a.
3
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义,如果个角的大小确定,那么它的正切、正弦、
CDCD余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tan30°,则CD二
ADaatan30°,岂不简单.
你能求岀30°角的三个三角函数值吗?
II•讲授新课
1•探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺,其中冇儿个锐角?
它们分别等于多少度?
[生]一副三角尺中有四个锐角,它们分別是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢?
你是怎样得到的?
与同伴交流.
[生]sin30°=—.
2
sin30°表示在直角三角
形中,30°角的对边与
斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所対的边为肛如图所示),根据“直角三角形屮30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,
可知30°角的邻边为a,所以sin30°
2a2
[师]cos30°等于多少?
tan30°呢?
[生]cos30°
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角一一45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?
你是如何得到的?
[生]求60。
的三角函数值可以利用求30。
角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利川上图,很容易求得sin60°
cos60°=——=—,
2a2
tan60°=—V3.
a
[生]也可以利用上节课我们得出的结论:
一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余
弦等于它余角的正弦.可知sin60°=cos(90°-60°)=cos30°
=-^-cos60°=sin(90°-
2
60°)=sin30°=-.
2
sin45»=«1
血J22
[师生共析]我们一同来求45°角的三饬函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a,则另一条胃角边也为a,斜边Jia.由此可求得
cos45°
tan45°=—=1
a
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
sina
coa
tana
30°
1
2
V3
2
V3
3
45°
V2
2
V2
2
1
60°
V3
2
1
2
这个表格中的30。
、45°、60。
角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
[牛]30。
、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为迈,怎,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值,有何特点呢?
[生]第二列是30°,45。
、60°角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从大到小分别为巧,V2,&,余弦值随角度的增大而减小.
[师]笫三列呢?
[生]笫三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下而同桌之间可互相检查一下对30°、45。
、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算:
(1)sin30°+cos45°;
(2)sin'60°+cos260°-tan45°.
分析:
本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特別说明,用特殊角三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2.
1py1Ipy
解:
(1)sin30°+cos45°=—I=,
222
(2)sin260°+cos'60°-tan45°
=(—)2+(-)2-l
22
31,
44
=0.
[例2]—个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置吋与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01in)
分析:
引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解:
根据题意(如图)
可知,ZB0D=60°,
0B=0A=0D=2.5m,
ZAOD=-X60°=30°,
2
•e.0C=0D•cos30°
5X
V3
2
^2.165(m)•
AAC=2.5-2.165^0.34("
所以,最高位置与最低位置的高度约为
0.34m.
III.随堂练习多媒体演示
1.计算:
(1)sin60°-tan45°;
(2)cos60°+tan60°;
Tsin45°+sin60°-2cos45°-
解:
⑴原式=纽=牛2;
⑵原式冷+=盯=呼
V2V2V3V2
X;
2
\+厲-2迈
2
2.某商场有一口动扶梯,其倾斜角为30°.高为7n),扶梯的长度是多少?
解:
扶梯的长度为-2_=Z=14(m),
sin30°1
2
所以扶梯的长度为14m.
IV.课吋小结
木节课总结如下:
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°
rsin45°
返,sin60»=旦
22
cos30°
V3
2
cos45°
tan45°
=1,tan60°=V3•
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
V.课后作业
习题1.3第1、2题
VI.活动与探究
(2003年林肃)如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼问的距离AC二24m,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况•当太阳光与水平线的夹角为30°吋,求甲楼的影子在乙楼上有多高?
(精确到0.1m,V2^1.41,巧心1.73)
5CDor
[过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E,直射到乙楼D点,D点向下便接受不到光线,过D作DB丄AE(甲楼).在RtZXBDE中.BD二AC=24m,ZEDB=30°.可求出BE,由于甲、乙楼一样高,所以DF二BE.
[结果]在KtABDE中,BE二DB・Zn30°=24><—二8侖山.
3
・.・DF=BE,
・•・DF=8V3^8X1.73=13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD二30-13.84=16.2(m).
板帖设计
§1.230°、45°、60°介的三角函数值
一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识:
含30°的直角三角形中,30°角的对边等于斜边的一半.
含45°的肓角三角形是等腰肓角三角形.
2.30°,45°,60°角的三角函数值列表如下:
a
sina
coa
tana
30°
1
2
V3
2
V3
3
45°
V2
2
V2
2
1
60°
V3
2
1
2
二、含30°、45°、60°角的三角隊I数值的计算.
三、实际应用
备课资料
参考练习
年北京石景山)计算:
时-冲
答M:
3-V3
2.(2003年北京崇文)汁算:
(V2+l)_1+2sin30°-恵
答案:
W
3.(2003年广东梅州)计算:
(1+V2)0-Il-sin30°I1+(-)\
2答案:
-
2
4.(2003年广西)计算:
sin60°+
1-tan60°答案:
2
1-V2
答案:
•+V2
8
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