全国初中数学竞赛试题正题参考答案.docx
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全国初中数学竞赛试题正题参考答案
2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案
一、选择题1(甲).C解:
由实数a,b,c在数轴上的位置可知
,且
,所以
.
1(乙).B
解:
.
2(甲).D解:
由题设知,
,
,所以
.
解方程组
得
所以另一个交点的坐标为(3,2).
注:
利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).
2(乙).B解:
由题设x2+y2≤2x+2y,得0≤
≤2.
因为
均为整数,所以有
解得
以上共计9对
.
3(甲).D解:
由题设知,
,所以这四个数据的平均数为
,中位数为
,于是
.
3(乙).B解:
如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.
由于AC=BC,CD=CE,∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE,
所以△BCD≌△ACE,BD=AE.
又因为
,所以
.在Rt△
中,
于是DE=
,所以CD=DE=4.
4(甲).D解:
设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,
均为非负整数.由题设可得
消去x得(2y-7)n=y+4,
2n=
.因为
为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.
4(乙).C解:
由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为
,故方程的根为一正一负.由二次函数
的图象知,当
时,
,所以
,即
.由于
都是正整数,所以
,1≤q≤5;或
,1≤q≤2,此时都有
.于是共有7组
符合题意.
5(甲).D解:
掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以
,因此
最大.
5(乙).C解:
因为
,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.
设经过99次操作后黑板上剩下的数为
,则
,解得
,
.
二、填空题
6(甲).7<x≤19
解:
前四次操作的结果分别为
3x-2,3(3x-2)-2=9x-8,3(9x-8)-2=27x-26,3(27x-26)-2=81x-80.
由已知得27x-26≤487,81x-80>487.
解得7<x≤19.容易验证,当7<x≤19时,
≤487
≤487,故x的取值范围是7<x≤19.
6(乙).7解:
由已知可得
.
7(甲).8解:
连接DF,记正方形
的边长为2
.由题设易知△
∽△
,
所以
,由此得
,所以
.
在Rt△ABF中,因为
,所以
,于是
.由题设可知△ADE≌△BAF,所以
,
.于是
,
,
.又
,所以
.
因为
,所以
.
7(乙).
解:
如图,设
的中点为
,连接
,则
.因为
,所以
,
.所以
.
8(甲).
解:
根据题意,关于x的方程有
=k2-4
≥0,
由此得(k-3)2≤0.又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3.此时方程为x2+3x+
=0,解得x1=x2=
.
故
=
=
.
8(乙).1610
解:
因为
=
=
.当
被5除余数是1或4时,
或
能被5整除,则
能被5整除;当
被5除余数是2或3时,
能被5整除,则
能被5整除;
当
被5除余数是0时,
不能被5整除.所以符合题设要求的所有
的个数为
.
9(甲).8解:
设平局数为
,胜(负)局数为
,由题设知
,由此得0≤b≤43.
又
,所以
.于是
0≤
≤43,87≤
≤130,
由此得
,或
.当
时,
;当
时,
,
,不合题设.故
.
9(乙).
≤1解:
由题设得
所以
,即
.
整理得
,由二次函数
的图象及其性质,得
.又因为
≤1,所以
≤1.
10(甲).
解:
如图,连接AC,BD,OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°.
依题设∠BFC=90°,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,所以∠BCF=∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD,因此
.
因为OD是⊙O的半径,AD=CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,
于是
.因此
.由△
∽△
,知
.因为
,所以
,BA=
AD,故
.
10(乙).12解:
由已知有
,且
为偶数,所以
同为偶数,于是
是4的倍数.设
,则1≤
≤25.(Ⅰ)若
,可得
,与b是正整数矛盾.(Ⅱ)若
至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对
满足
;若
恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对
满足
.
(Ⅲ)若
是素数,或
恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对
满足
.因为有唯一正整数对
,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有12个.
三、解答题11(甲).解:
因为当
时,恒有
,所以
,即
,所以
.…………(5分)
当
时,
≤
;当
时,
≤
,即
≤
,且
≤
,解得
≤
.…………(10分)
设方程
的两个实数根分别为
,由一元二次方程根与系数的关系得
.因为
,所以
,解得
,或
.
因此
.…………(20分)
11(乙).解:
因为sin∠ABC=
,
,所以AB=10.由勾股定理,得BO=
.易知△ABO≌△ACO,因此CO=BO=6.
于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).
设点D的坐标为(m,n),由S△COE=S△ADE,得S△CDB=S△AOB.所以
,
,解得n=-4.因此D为AB的中点,点D的坐标为(3,-4).因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,所以点E的坐标为
.
设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6).将点E的坐标代入,解得a=
.
故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
.…………(20分)
12(甲).证明:
连接BD,因为
为
的直径,所以
.又因为
,所以△CBE是等腰三角形.…………(5分)
设
与
交于点
,连接OM,则
.又因为
,所以
.…………(15分)
又因为
分别是等腰△
,等腰△
的顶角,所以
△BOC∽△
.…………(20分)
12(乙).证明:
(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
所以CI=CD.同理,CI=CB.
故点C是△IBD的外心.
连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA=OC,
所以OI⊥AC,即OI⊥CI.
故OI是△IBD外接圆的切线.…………(10分)
(2)如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.
由
,知OC⊥BD.因为∠CBF=∠IAE,BC=CI=AI,所以
Rt△BCF≌Rt△AIE,所以BF=AE.又因为I是△ABD的内心,所以
AB+AD-BD=2AE=BD.
故AB+AD=2BD.…………(20分)
13(甲).解:
设a-b=m(m是素数),ab=n2(n是正整数).
因为(a+b)2-4ab=(a-b)2,所以(2a-m)2-4n2=m2,
(2a-m+2n)(2a-m-2n)=m2.…………(5分)
因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n(m为素数),所以
2a-m+2n
m2,2a-m-2n
1.
解得a
,
.于是
=a-m
.…………(10分)
又a≥2012,即
≥2012.又因为m是素数,解得m≥89.此时,a≥
=2025.
当
时,
,
,
.
因此,a的最小值为2025.…………(20分)
13(乙).解:
假设凸
边形中有
个内角等于
,则不等于
的内角有
个.
(1)若
,由
,得
,正十二边形的12个内角都等于
;…………(5分)
(2)若
,且
≥13,由
,可得
,即
≤11.当
时,存在凸
边形,其中的11个内角等于
,其余
个内角都等于
,
.…(10分)
(3)若
,且
≤
≤
.当
时,设另一个角等于
.存在凸
边形,其中的
个内角等于
,另一个内
.
由
≤
可得
;由
≥8可得
,且
.…………(15分)
(4)若
,且3≤
≤7,由(3)可知
≤
.当
时,存在凸
边形,其中
个内角等于
,另两个内角都等于
.综上,当
时,
的最大值为12;当
≥13时,
的最大值为11;
当
≤
≤
时,
的最大值为
;当3≤
≤7时,
的最大值为
.…(20分)
14(甲).解:
由于
都是正整数,且
,所以
≥1,
≥2,…,
≥2012.
于是
≤
.…………(10分)
当
时,令
,则
.…………(15分)
当
时,其中
≤
≤
,令
,则
.
综上,满足条件的所有正整数n为
.…………(20分)
14(乙).解:
当
时,把
分成如下两个数组:
和
.
在数组
中,由于
,所以其中不存在数
,使得
.在数组
中,由于
,所以其中不存在数
,使得
.所以,
≥
.…………(10分)
下面证明当
时,满足题设条件.不妨设2在第一组,若
也在第一组,则结论已经成立.故不妨设
在第二组.同理可设
在第一组,
在第二组.此时考虑数8.如果8在第一组,我们取
,此时
;如果8在第二组,我们取
,此时
.
综上,
满足题设条件.所以,
的最小值为
.
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