几何证明角平分线模型.docx
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几何证明角平分线模型
几何证明——角平分线模型(中级)
【知识要点】
1、角平分线:
(1)角平分线性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:
证明两条线段相等);
(2)逆定理:
在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
(作用:
证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线)。
2、角平分线常见用法(或辅助线作法):
①垂两边:
如图1,已知BP平分ABC,过点P作PAAB,PCBC,则PAPC。
②截两边:
如图2,已知BP平分MBN,点ABM上,在BN上截取BCBA,则ABP≌CBP。
+平行线→等腰三角形:
③角平分线
④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形)
如图5,已知AD平分BAC,且ADBC,则ABAC,BDCD。
C
5)
3、角平分线比例定理
ABBDABAC
如图6,AD为ABC的角平分线,则ABBD或ABACACCDBDCD
经典例题】
例1、已知如图,ABC中,BCAC,AD平分CAB,若C90,求证:
ABACCD;
例2、如图,在RtABC中,ACB90,CDAB于D,AF平分CAB交CD于E,交CB于F,且EG//AB交CB于G。
试求:
CF与GB的大小关系如何?
例3、已知如图,ABC中,BCAC,AD平分CAB,若C108,求证:
ABACBD;
例4、如图:
已知I是ABC的内心,DI//AB交BC于点D,EI//AC交BC于E。
求证:
DIE的周
DE
例5、如图:
已知在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D,DE∥BC,交AB于
点E,交AC于点F,求证:
EFBEFC。
例6、如图,已知ABC中BAC90,ABAC,CD垂直于ABC的平分线BD于D,BD交AC于E,
求证:
BE2CD。
提升训练】
1、如图,已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分ABC和ACB,ODBC于D,且OD3,求
ABC的面积.
2.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO=.
5.已知如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠A的平分线交CD于F,BC于E,过点E作EH⊥AB于H.求证:
EC=CF=EH.
6.已知:
如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:
四边形EFGH是矩形.
BE.
求证:
△ACD≌△BCE;延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、
8.如图,已知在△ABC中,个距离是多少?
7.如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接
(1)
(2)
∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P到各边的距离都相等,则这
9.已知:
如图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD:
CD=9:
7,求:
D到
AB边的距离.
10.如图,△ABC中,点D在BC上,记△ABD的面积为S1,△ACD的面积为S2,若S1:
S2=AB:
AC,则AD是△ABC的角平分线.请说明理由.
11、如图,已知在ABC中,分别以AC,BC为边向外作正BCE、正ACD,BD与AE交于M,求证:
(1)AEBD。
(2)MC平分DME。
12、已知:
如图,AP、CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线,它们交于点P,求证:
BP为MBN的平分线。
14、如图,已知AC∥BD、EA、EB分别平分CAB和DBA,CD过点E,求证:
ABACBD。
15、如图,ABC中,AD是A的平分线,E,F分别为AB,AC上一点,且EDFBAF180,求
证:
DEDF。
16、已知:
AC平分BAD,CEAB,BD180,求证:
AEADBE。
17、已知,在ABC中,BP、CP为角平分线,过P点作EF//BC交AB于E,交AC于F。
求证:
EFBECF。
18、已知如图,AD平分BAC,ACABBD,求证:
B2C。
1
19、如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,过C作CEAB于E,并且AE(ABAD),求
2
证:
ABCADC180。
EB
20、已知ABC中,ABAC,GE过A且GE//BC,B的平分线与AC和GE分别交于D、E,C的平分线与AB和GE分别交于F、G。
求证DEFG。
1
21、如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点F,BE平分ABC,AE1AD,猜想线段AB、2
BC、CD三者之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明。
22、如图,已知ABC中,CE平分ACB,且AECE,AEDCAE180,求证:
DE//BC。
23.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为.
24.如图所示,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,∠MAB和∠NBA的平分线交于点E,过点E作一直线垂直于AM,垂足为点D,交BN于点C.
(1)观察DE、EC,你有什么发现?
请证明你的结论;
2)请你再研究AD+BC与AB的关系,并给予证明.
26.如图,△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,AC=8,AD=,求∠B、BC、AB.
27.如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠1=∠2,EF∥BC交AC于点F.试说明AE=CF.
28.如图,已知点B,C分别在射线AN,AM上,∠MCB与∠NBC的平分线交于点P.
(1)求证:
AP平分∠BAC;
(2)若∠ACB=90°,PC=4,PB=5,AB=7,求AP的长.
29.如图,△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,若AC+CD=AB,求∠C的度数.
30.如图,在△ABC中,∠C=90°,M为AB的中点,DM⊥AB,CD平分∠ACB,求证:
MD=AM
AC的延长线于G,试问:
BF与CG的大小如何?
证明你的结论.
32.已知:
点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE于B,PC⊥AF于C,点M、N分别是射线AE、AF上的点,且PM=PN.
(1)当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时(如图1),求证:
BM=CN;
(2)在
(1)的条件下,AM+AN=AC;
(3)当点M在线段AB的延长线上时(如图2),若AC:
PC=2:
1,PC=4,求四边形ANPM的面积.
33.已知:
∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.
(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:
AB+AD=AC;
(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想
(1)中的结论是否发生改变并说明理由.
34、如图,已知MAN120,AC平分MAN,ABCADC90,则能得如下两个结论:
①DCBC;②ADABAC;
(1)请你证明结论②;
(2)在图
(2)中,把
(1)中的条件“ABCADC90”改为ABCADC180,其他条件不变,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。
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