《数学思维训练》校本课程自编教材.docx

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《数学思维训练》校本课程自编教材

《数学思维训练》课程纲要

一、课程名称：

《数学思维训练》

二、开发者：

陶诚

三、教材类型：

自编活动教材

四、适用对象：

八年级

五、学生情况简析：

初中生是情绪化的学习者，他们总是在某种情绪中认识事物，只有能触及他们感情的东西，他们才能更深切地感觉它、记忆它、理解它，所以培养他们的学习兴趣是非常重要的。

他们认识事物的另一个特点是往往以自己的经验为中介，他们眼中的事物，都跟自己的经验有联系。

根据这一特点，我们在对他们进行知识教育时，一定要把有关的知识和他本人的生活体验联系起来，他才便于理解。

孩子们在幼儿园的主要活动方式是游戏而不是正规的学习，这要求小学低年级有一些游戏的成分，形成自然的过渡，不要使孩子进入正规学习过于突然和生硬。

所以，在教学中，要创设良好的情境，营造轻松、快乐的氛围，激发学生参与的兴趣。

基于以上分析，我们开发的《数学思维训练》课程，特别要注意趣味性、实践性。

以往学生怕数学，觉得数学又难又枯燥，而且知识与应用脱节。

以前常出现这样的现象：

学生就算做了千百道应用题，也还只是按类型解题，不懂得怎么应用，既不知道数据从哪里来，又不知道解决某个问题需要哪些数据、怎样获得数据。

因此，学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，许多学生除了在课堂内、考试时感到数学有用，走出课堂，就感受不到数学的趣味和作用，更感觉不到数学的存在，这对学生实践能力和创新能力的培养是很不利的。

因此我们开发《数学思维训练》课程，把数学与生活实际联系起来，让学生看到生活中处处充满数学，学生学起来也亲切、自然，可以通过自己的认知活动，实现数学观念的构建，促进知识结构的优化。

六、课程设计理念：

趣味性、实践性、应用性。

七、课程目标：

1、培养学生学习数学的兴趣和爱好，使学生在学习过程中获得成功的体验，建立自信心。

2、使学生掌握一定的学习方法、学习技能。

   3、使学生获得一些初步的数学实践活动经验，能运用所学知识和方法解决简单问题，感受数学在生活中的作用。

   4、培养学生与人合作、与人交流的意识和能力。

   5、培养学生积极参与数学学习活动、实事求是、敢于质疑、独立思考、不怕困难等良好的学习习惯。

   6、培养学生数学思考能力、观察能力、动手操作能力、创新能力。

八、课程内容：

以数学游戏、数学思维训练题为主，以各种实践活动、数学思维训练题、数学故事为主。

九、课程评价建议：

1、注重学生自我评价和互相评价。

2、注重对学生活动过程中表现的评价。

3、采用多元化的评价方式。

数学思维训练教学计划

一.指导思想

数学思维训练具有激发兴趣,训练思维,培养良好的学习习惯的作用.为了让一部分学生学习兴趣不被忽视,让他们的学习潜力得到最大限度的发挥.数学思维训练以有趣的,课堂知识的延伸为学习内容来吸引学生,期待通过数学为载体,培养学生的学习兴趣,训练学生的思维。

二.活动目的

1、培养学生爱数学,学数学,用数学良好习惯和意识。

2、使兴趣班的学生在数学思想,数学方法,数学技能等方面都有一个质的飞跃,进而影响并带动全体学生学习数学的积极性,从而提高整体的数学成绩。

三.活动措施

1、认真备好每一节课,上好每一节课,讲透每一道题。

2、认真筛选组编教材,由潜入深循序渐进组织教学。

3、源于基础,难易有序。

4、注重训练,覆盖面广。

5、自主选择,便于自学。

四.具体安排

1、数学格言。

2、摆棋子游戏。

3、逻辑推理问题的训练。

4、探索规律训练。

5、趣味竞赛

用数学书写的人生格言

　　有一句著名的格言说数学比科学大得多，因为它是科学的语言。

数学不仅用来写科学，而且可以用来描写人生。

下面介绍几位古今中外名人的人生格言，它们都是用很简单的“数学”（数字、符号、数学概念、式子等）来表达的，而且是那么深刻、绝妙。

一、用数写的格言

　　1、王菊珍的百分数

　　我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做“干下去还有50％成功的希望，不干便是100％的失败。

”

　　2、托尔斯泰的分数

　　俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时，把人比作一个分数。

他说：

“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。

分母越大，则分数的值就越小。

”

　　3、雷巴柯夫的常数与变数

　　俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：

“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。

用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。

”

二、用符号写格言

4、华罗庚的减号

　　我国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：

“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。

”

　　5、爱迪生的加号

　　大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说：

“天才=1％的灵感+99％的血汗。

”

　　6、季米特洛夫的正负号

　　著名的国际工人运动活动家季米特洛夫在评价一天的工作时说：

“要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是‘正号’还是‘负号’，倘若是‘+’，则进步；倘若是‘-’，就得吸取教训，采取措施。

”

三、用公式写的格言

　　7、爱因斯坦的公式

　　近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：

A=x+y+z。

并解释道：

A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，Z代表少说空话。

”

　　四、用圆写格言

　　8、芝诺的圆

　　古希腊哲学家芝诺关于学习知识是这样说的：

“如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。

圆越大其圆周接触的无知面就越多。

”

数学语言不仅用来表达和研究科学，而且可以精妙地表达、性格及追求等，而且是那么言简意赅。

如前所述的一些格言一方面折射出他们伟大的人生，一方面折射出数学之美。

让我们喜欢数学，学好数学，用好数学；让我们也用那些数学写成的格言来描绘自己的人生轨迹，我们的人生价值和对人类的贡献将是无可限量的。

孩子们，你们能用“数学”来书写自己的人生格言吗?

摆棋子

教学目标：

1．通过取棋子的游戏，培养学生有条理的进行思考的能力。

2．经历数学知识的应用过程，使学生感受身边的数学知识，体会学数学，用数学的乐趣。

教学过程：

（一）、创设情景，引入实践活动。

1．师：

同学们，你们喜欢做游戏吗？

今天老师想和你们一起做个游戏，你们想不想参加啊？

2．教师板书课题：

如何取棋子能获胜？

（二）、新授

活动

（1）

将若干枚棋子放在桌上，两人轮流取，若限制每次所取的棋子的数目最少1枚，最多3枚，如何取你才能获胜？

1．学生活动：

学生以两人为一组进行比赛采取七局四胜制，比一比看谁能胜？

2．找规律：

教师引导学生在游戏过程中寻找获胜的技巧，即（寻找规律），鼓励学生合作交流完成。

3．教师点拨：

先取的只要每次取时留给对方棋子数是4的倍数，则先取者必胜。

活动

（2）

若限制每次所取的棋子数目为1至4枚，则你又如何能获胜呢？

1．学生分组比赛，看一看谁胜的次数多。

2．想一想，你怎样才能胜对方呢？

师：

引导学生总结规律，（只要留给对方是5的倍数，则必胜）

拓展：

如果每次取1至K枚，你如何取才能获胜呢？

学生讨论，探究，合作，交流，总结规律，教师给予补充。

即取（K+1）枚时。

活动（3）

若限制每次所取的棋子的数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如：

1，3，7。

则又该如何取呢？

学生活动：

学生再次进行分组游戏，在游戏中探究获胜的方法和技巧，游戏结束学生汇报探究的结果，集体讨论并验证其正确性。

师：

结合学生的结论，给予点拨，引导。

即（开局是奇数，先取的必胜。

反之，如开局是偶数，则先取的必输）

（三）、课堂小结

师：

今天，我们一起做这些游戏，你们开心吗？

其实，数学来源于生活，又服务于生活，只要我们留心社会就会发现生活中有许多数学知识，你们想不想学习更多的数学知识呢？

老师相信，只要你们努力，就一定会成为生活中的“数学家”的！

（四）、课后探究

若限制每次所取的棋子数目是一个奇数或一个偶数如（1或4枚），你又该如何才能获胜呢？

页码和铅字

教学目标：

（1）通过算页码和铅字的练习，培养学生善于思考，思维敏捷，头脑灵活的能力，

（2）增强学生学习数学的兴趣。

教学过程：

（一）创设问题情景，引入新课

问题一：

本书的页码在印刷排版时要用1392个铅字，这本书有多少页？

在这些页码中，铅字“1”共出现多少次？

　　这是经常见到的问题，但要迅速、正确地做出回答，各人情况很不一样──也许一位细心、善于思考的学生能令人满意，而粗心、思维紊乱的中学生可能使人失望。

　　不信，请先自己试试看。

（二）新授

学生活动：

学生先独立思考，然后小组讨论，寻求解决的方法。

教师活动：

巡视,时时进行点拨，然后作出总结。

它的正确答案是：

本书共有500页，其中铅字“l”共出现200次

　　不妨先用手边的一本书，一页一页地数下去，边数边想，你就会发现：

　　最初的9页（l—9页）共用铅字9个；

　　紧接的90页（10—99页）共用铅字90×2=180（个）。

　　余下的若干页，设为x页（x为三位数），用铅字3x（个），

　　得方程：

　　9+180+3x＝1392。

　　解得x=401。

　　故本书共有9+90+401=500（页）。

　　注意解题的关键是采用了分类思想──将本书的页码分为三类：

（1）页码为一位数（1一9页）；

（2）页码为二位数（10一99页）；

　　（3）页码为三位数（100—500页）。

　　在这500页的页码中，铅字“1”共出现多少次？

──为了正确、迅速地回答本问，仍要采用分类思想：

铅字“1”在页码的个位数出现的次数；铅字“1”在页码的十位数出现的次数；铅字“1”在页码的百位数出现的次数。

（1）铅字“1”在页码的个位数出现的状况为

　　00[1]～49[1]

　　这说明铅字“1”在页码的个位数出现50次。

（2）铅字“1”在页码的十位数出现的状况为

　　0[1]0～4[1]9

　　这说明铅字“1”在页码的十位数出现50次。

　　（3）铅字“1”在页码的百位数出现的状况为

　　[1]00一[1]99

　　这说明铅字“1”在页码的百位数出现100次。

　　故铅字“1”共出现50+50+100＝200（次）。

（三）总结：

学生谈体会，谈收获

（四）课后探究，寻找类似的趣味题

被墨水盖住的算式

教学目标：

（1）通过活动，培养学生学习数学的兴趣。

（2）通过活动，培养学生的逻辑推理能力。

教学过程：

（一）创设问题情景，导入新课

如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不但应具有非凡的推理能

力，还要懂得大量的其他知识。

然而，只要你有心，也可以破译一些简单的密码。

（二）新授

　　现在我们来看一个例子：

　　据传说，英国物理学家牛顿（1642－1727）小的时候，学习成绩几乎在学校是倒数第一。

后来他下决心改变这一令人沮丧的状况。

有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发生了：

墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。

下图显示了这个令人不快的结果。

　　式中只剩下了3个数字较为清晰。

小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。

如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗？

学生活动：

学生分组讨论，探究结果。

教师活动：

在学生中来回巡视，时时点拨。

教师总结：

　　由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为：

28？

　　+？

？

4

　　────—

　　？

？

？

？

　　我们可以把这个算式写成：

28A

　　+CB4

　　────—

　　GFED

其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。

　　我们先考虑千位上的G。

两个三位数相加，和是四位数，由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1，所以，G只能是1，这时，算式就成了：

28A

　　+CB4

　　────

　　1FED

　　再看百位上的C和F。

如果要保证向千位进1，C不能小于7，即C只可能是7或9中的一个。

　　设C=9，那么如果十位不进位到百位，F=1；如果十位进位到百位，F=2。

这都和已知的数字重复。

所以C≠9。

　　所以C=7，F=0。

即

28A

　　+7B4

　　────

　　10ED

这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。

　　如果B=3，那么应有E=1或2，但这不可能；

　　如果B=5，那么E=3，但6+4≠9，9+4≠6；

　　如果B=6，那么E=5，这时令A=9，则有D=3。

　　整理出来就是：

　　A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。

　　于是，小牛顿的算式应为：

289

　　+764

　　────

　　1053

（三）总结：

学生谈收获，谈感想。

（四）课后收集：

有关数字推理方面的趣味题。

扣在桌子上的纸牌

教学目标：

通过纸牌的游戏，培养学生的逻辑推理的能力，从而增强学习数学的趣味性

教学过程：

（一）创设问题情景，引入新课

八张编了号的纸牌扣在桌上，它们的相对位置如下图所示：

1

2

3

4

5

6

7

8

　　关于这八张牌：

（1）其中至少有一张Q。

（2）每张Q都在两张K之间。

　　（3）至少有一张K在两张J之间。

　　（4）没有一张JQ相邻。

　　（5）其中只有一张A。

　　（6）没有一张K与A相邻。

　　（7）至少有一张K和另一张K相邻。

　　（8）这八张牌中只有K、Q、J和A这四张牌。

　　这八张牌中哪一张是A？

　　（提示：

哪几张纸牌可能是Q？

）

（二）新授

学生活动：

学生小组讨论，交流，探究寻找答案

教师活动：

在学生间巡视，时时进行点拨，最后给予总结　

　　根据【

（1）其中至少有一张Q。

】和【

（2）每张Q都在两张K之间。

】，在下列判断中有一条且只有一条是对的：

　　（a）3号牌和6号牌是Q；

　　（b）只有3号牌是Q；

　　（c）只有6号牌是Q；

　　（d）只有4号牌是Q。

　　如果3号牌和6号牌都是Q，则有下列两种可能（X代表未知的牌）：

X

X

K

Q

K

K

Q

K

K

Q

K

X

Q

X

X

K

　　但这两种可能都不符合【（3）至少有一张K在两张J之间。

】，因此判断（a）是不对的。

　　如果只有3号牌是Q，则6号牌就不可能是K，这是因为根据（3），一定有一张K在两张J之间，而【（4）没有一张JQ相邻。

】在这里又不允许这种情况发生。

根据前面的推理，6号牌不能是Q。

根据（3）和【（6）没有一张K与A相邻。

】，6号牌又不能是A。

因此6号牌只能是J。

但这样（3）和【（7）至少有一张K和另一张K相邻。

】不能同时得到满足。

因此判断（b）也是不对的。

　　如果只有6号牌是Q．则有下列两种可能：

X

X

X

X

X

X

X

K

K

Q

K

X

Q

X

X

K

　　在第一种可能中，（3）和（4）不能同时得到满足；在第二种可

　　能中，（3）得不到满足。

因此，判断（c）也是不对的。

　　于是，只有判断（d）是正确的：

只有4号牌是Q。

　　接下来根据

（2），l号牌和6号牌是K。

根据（3），5号牌和7号牌是J。

　　因此必定是下面这种情况：

K

X

X

Q

J

K

J

X

　　如果为了满足（7），设2号牌和3号牌都是K，则根据（5），8号牌就是A。

但（6）不允许这种情况发生。

因此8号牌是（7）所要求的与一张K相邻的K。

　　如果2号牌是一张A，则3号牌不能是Q（根据

（2））不能是K（根据（6）），不能是J（根据（4））也不能是A{根据【（5）其中只有一张A。

】}。

因此根据【（8）这八张牌中只有K、Q、J和A这四张牌。

】，2号牌不能是A。

根据（5），3号牌一定是那张唯一的A。

　　根据

（2）、（5）和（6），2号牌一定是J。

　　所有的纸牌情况如下：

K

J

A

Q

J

K

J

K

（三）总结：

学生谈收获，谈体会

（四）课后寻找有关类似的趣味题

“问路问题”中的逻辑推理

教学目标：

（1）通过活动，培养学生学习数学的兴趣。

（2）通过活动，培养学生的逻辑推理能力。

教学过程：

有这样一个故事：

在太平洋中有AB两个相邻的小岛。

A岛居民都是诚实的人，B岛的居民都是骗子。

当你问一个问题时，A岛的居民会告诉你正确的答案，而B岛的居民给你的答案都是错误的。

一天，一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。

他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。

他想问岛上的人“这是A岛还是B岛？

”却又无法判断被问者的答案是否正确。

旅游者动脑筋想了会一儿，终于想出一个办法，他只需要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的回答中准确无误地断定这里是哪个岛。

你能猜出旅游者所问的问题吗？

如果旅游者直接问“这是A岛还是B岛？

”那么当被问者是A岛人时，他会得到正确的回答；当被问者是B岛人时，他会得到错误的回答。

两种回答截然相反，而旅游者又无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路的目的。

聪明的旅游者的问话是，“你是这个岛的居民吗？

”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛一定是B岛。

你能说出这是为什么吗？

让我们对上面的问题作些讨论。

旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道被问者是何岛居民。

他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。

因此，所提问题的答案必须是因提问地而异，而不由被问者是A岛居民或是B岛居民发生变化。

根据上述特点，我们设法找到这样的问题，使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。

于是，我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了。

显然，这样的问题必须与提问地相关，并且还要与被问者有关，如果在A岛提出这样的问题时，A岛居民应作肯定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实际相反），那么在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定回答（B岛居民也会做否定回答，但回答与实际情况相反）。

“你是这个岛的居民吗？

”这一问题就是一个满足以上要求的问题，我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的相应回答。

问题：

你是这个岛的居民吗？

问话地

被问者

A岛居民

B岛居民

A岛

回答

是

是

B岛

不是

不是

由上表可以一目了然地发现：

在A岛提问时，回答总为“是”；在B岛提问时，回答总为“不是”。

这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解决。

数学中有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究逻辑规律。

在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法，只是其中表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。

数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。

所谓逻辑推理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。

“问路问题”中的旅游者正是推理的高手，他所提的问题正是推理的产物。

同学们应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力，使自己勤于思考并且善于思考，成为聪明人。

设想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上的居民吗？

”，那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗？

为什么？

试通过列表的方式说明理由。

欺骗眼睛的几何问题

教学目标：

（1）通过学生动手，动脑，培养学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生认真观察的能力，以及动脑分析的能力。

教学过程：

（一）创设问题情景，导入新课

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。

数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，请看下面问题1这两个图形，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！

这怎么可能呢？

理性会提出这样的疑问。

奥妙何在我们姑且按下不表，让喜欢思考的同学先动动脑子。

（二）新授

　　我们还是来看一个更简单的问题2吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！

　　这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。

以问题2为例，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。

要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。

　　问题２中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。

我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。

多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：

这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。

用公式表示就是：

。

其中

表示正方形的面积，

表示长方形的面积。

知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。

　　上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。

比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，……做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。

如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立：

我们还可以来研究这样一个有趣的问题：

把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？

要回答这个问题，可以令方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是：

。

其中

恰是著名的黄金分割比，通常用

来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。

这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：

1，

，

，

，

，……。

要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1，

，

+1，2

+1，3

+2，……就可以了。

只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题１实际上是问题２的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始