圆苏州市中考数学试题附答案.docx

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圆苏州市中考数学试题附答案

圆2001-2012年苏州市中考数学试题（附答案）

；

（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直

线AB于点F、M。

试判断：

此时是否仍有△FDM∽△COM？

证明你的结论。

【答案】解：

（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴，CG=EG。

在Rt△COG中，∵OG=OC，∴∠OCG=30°。

∴∠COA=60°。

又∵∠CDE的度数=的度数=的度数=∠COA的度数=60°，

∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。

（2）证明：

∵∠COM=180°－∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。

在Rt△CGM和Rt△EGM中，，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。

∴∠GMC=∠GME。

又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。

∴△FDM∽△COM。

（3）结论仍成立。

证明如下：

∵∠EDC的度数=的度数=的度数=∠COA的度数，

∴∠FDM=180°－∠COA=∠COM。

∵AB为直径，∴CE⊥AB。

在Rt△CGM和Rt△EGM中，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。

∴∠GMC=∠GME。

∴△FDM∽△COM。

【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。

【分析】

（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°－∠CDE=120°。

（2）在

（1）中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△BMG就应该全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在

（1）中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。

（3）可按

（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似。

5.（江苏省苏州市2004年6分）如图，⊙O2与⊙O1的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O1，直线AD与⊙O2交于点E，与直线BC交于点F。

（1）如图1，当A在弧CD上时，求证：

①△FDC∽△FCE；

②AB∥EC；

（2）如图2，当A在弧BD上时，是否仍有AB∥EC？

请证明你的结论。

【答案】解：

（1）证明：

①∵BC为⊙O2的切线，∴∠D=∠FCE。

又∵∠F=∠F，∴△FDC∽△FCE。

②在⊙O1中，∠B=∠D，∠D=∠FCE，

∴∠FCE=∠B。

∴AB∥EC。

（2）仍有AB∥EC。

证明如下：

∵四边形ABCD是⊙O1的内接四边形，∴∠FBA=∠FDC。

∵BC为⊙O2的切线，∴∠FCE=∠FDC。

∴∠FCE=∠FBA。

∴AB∥EC。

【考点】弦切角定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，平行线的判定。

【分析】

（1）①在△FDC与△FCE中，由弦切角定理得：

∠D=∠FCE，已知公共角∠F，由此可判定两三角形相似。

②根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠B；①中证得∠D=∠FCE，而⊙O1中，根据圆周角定理，可得∠D=∠B，将等角代换可得出∠B=∠FCE，由此得证。

（2）根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠FBA，思路同

（1）②，根据圆内接四边形的性质，得∠FBA=∠FDC；由弦切角定理，得∠FCE=∠FDC，将等角代换后可证得所求的结论。

6.（江苏省苏州市2005年6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO。

（1）求证：

△ADB∽△OBC；

（2）若AB=2，BC=，求AD的长。

（结果保留根号）

【答案】解：

（1）∵AD∥OC，∴∠A=∠COB。

又∵AB是直径，BC是⊙O的切线，∴∠D=∠OBC=90°。

∴△ADB∽△OBC。

（2）在Rt△OBC中，OB=AB=1，BC=，∴OC=

∵△ADB∽△OBC，∴，即。

∴。

【考点】相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理。

【分析】

（1）根据平行线的性质得∠A=∠COB，根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC，就可以判定△ADB∽△OBC。

（2）根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长。

7.（江苏省苏州市2006年7分）如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连结BD．

（1）求证：

∠ADB=∠E；

（2）求证：

AD2=AC•AE；

（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明

【答案】解：

（1）证明：

∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E。

∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，∴∠ADB=∠C。

又∠ABC=∠C，∴∠ADB=∠E。

（2）证明：

∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，∴△ADB∽△AED。

∴，即AD2=AB•AE。

又∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，∴AD2=AC•AE。

（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。

证明如下：

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC。

∵∠DBC所对的是弧，∠EAD所对的是弧，

且，

∴∠DBC=∠EAD。

∴∠EDB=∠EAD。

又∠DEB=∠AED，∴△DBE∽△ADE。

【考点】圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由DE∥BC，可得∠ABC=∠E；由∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，得∠ADB=∠C；又∠ABC=∠C，因此∠ADB=∠E。

（2）由∠ABC=∠C得AB=AC；由△ADB∽△AED得；即AD2=AB•AE=AC•AE。

（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。

由，得∠BAD=∠DBC；由DE∥BC，得∠EDB=∠DBC；又∠BDE=∠BAD，因此△DBE∽△ADE。

8.（江苏省苏州市2007年8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一

点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F

（1）设AP=1，求△OEF的面积．

（2）设AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。

①若S1=S2，求a的值；

②若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜?

若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

【答案】解：

（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°。

又∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°。

∵OA⊥BC，∴∠B=∠1=45°。

∵PE⊥AB，∴∠2=∠1=45°。

∴∠4=∠3=45°。

则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形。

∵AP=l，AB=4，∴AF=,OA=。

∴OE=OF=。

∴△OEF的面积为。

（2）①∵PF=AP=a．∴AF=．OE=OF=一。

∴，

∵S1=S2，∴，解得。

∵，∴。

②不存在。

理由如下：

∵，

∴当时，S取得最小值为。

∵，∴不存在这样实数a，使S＜。

【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次函数的最值。

【分析】

（1）根据已知条件，证出△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形即易求出△OEF的面积。

（2）①由S1=S2列出方程，解之即可。

②求出S关于的函数关系式，由二次函数的最值求出S的最小值，与比较即可。

9.（江苏省苏州市2008年9分））如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A

为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点．作MT⊥BC

于T

（1）求证AK=MT；

（2）求证：

AD⊥BC；

（3）当AK=BD时，求证：

．

【答案】证明：

（1）∵∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，MT⊥BC，∴AM=MT。

又∵AM=AK，∴AK=MT。

（2）∵BM平分∠ABC交AC于M，∴∠ABM=∠CBM。

又∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM。

又∵∠ANM=∠BND，∴∠AMN=∠BND。

∵∠BAC=900，∴∠ABM＋∠AMB=900。

∴∠CBM＋∠BND=900。

∴∠BDN=900。

∴AD⊥BC。

（3）∵BNM和BPK是⊙A的割线，∴BN•BM=BP•BK。

即。

∵AK=BD，AK=MT，∴BD=MT。

∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB=∠MTC=900。

∴∠C＋∠CMT=900。

∵∠BAC=900，∴∠C＋∠ABC=900。

∴∠ABM=∠CMT。

在△ABD和△CMT中，∵，∴△ABD≌△CMT（ASA）。

∴AB=MC。

∵AK=AM，∴AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。

∴。

【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，垂直的判定，割线长定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】

（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，有AM=MT，从而由圆的半径相等结论。

（2）由已知，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到∠CBM＋∠BND=900的结论，从而根据三角形内角和定理得到∠BDN=900，即AD⊥BC。

（3）根据割线长定理，有，故只要证得BK=AC即可证得结论。

由△ABD≌△CMT可得AB=MC，由圆半径相等得AK=AM，从而AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。

10.（江苏省苏州市2011年8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．

（1）弦长AB等于▲（结果保留根号）；

（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？

请写出解

答过程．

【答案】解:

（1）。

（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。

∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。

又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD＝2∠A。

又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。

∴∠BOD＝2∠A＝100°。

（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。

∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。

此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。

∴△DAC∽△BOC。

∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝。

∴当AC＝时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。

【考点】弦径定理,直角三角函数,圆周角定理,三角形外角定理，相似三角形的判定。

【分析】

（1）由OB＝2，∠B＝30°知。

（2）由∠BOD是圆心角,它是圆周角A的两倍,而得求。

（3）要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。

11.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上

的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.

⑴当时，求弦PA、PB的长度；

⑵当x为何值时，的值最大？

最大值是多少？

【答案】解：

（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。

又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB。

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。

∴，即PA2=PC•PD。

∵PC=，AB=4，∴。

∴在Rt△APB中，由勾股定理得：

。

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。

∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。

∴CD=PC－PD=x－2（x－2）=4－x。

∴。

∵

∴当时，有最大值，最大值是2。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】

（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。

（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。