学年度阳光学校九年级解直角三角形模拟卷.docx
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学年度阳光学校九年级解直角三角形模拟卷
2015-2016学年度阳光学校九年级解直角三角形模拟卷
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1.如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值()
A.B.C.D.
2.(3分)如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是()
A.20海里B.40海里C.海里D.海里
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题(题型注释)
3.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD=米(结果可保留根号)
4.如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=á,DE交AC于点E,且cosá=.下列结论:
①△ADE∽△ACD;
②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;
③△DCE为直角三角形时,BD为8或;
其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号填上)
5.如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.
6.如图,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都是格点,则cos∠BAC=.
7.为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出个这样的停车位()
评卷人
得分
三、计算题(题型注释)
评卷人
得分
四、解答题(题型注释)
8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BM⊥CD于点M,已知AC=6,tanA=
.
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠BDM的值.
9.(10分)如图,小明在大楼的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上,且PH⊥HC.
(1)山坡AB的坡度为;
(2)若山坡AB的长为20米,求大楼的窗口P处距离地面的高度.
10.如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1:
,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高.(注:
坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
11.一艘船从A处以每小时36海里的速度向正东方向航行,且在A处测得岛C在其北偏东600方向,半小时后到B处测得该岛在其北偏东300方向,已知岛C方圆16海内的暗礁。
(1)试说明点B是否在暗礁区域;
(2)船继续东行有触礁危险吗?
12.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=,求AB的长.
13.如图,在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点,B在A的正东方向,AB=4km.从A测得灯塔C在北偏东60°的方向,从B测得灯塔C在北偏西27°的方向,求灯塔C与观测点A的距离(精确到0.1km).
(参考数据:
sin27°≈0.45,cos27°≈0.90,tan27°≈0.50,≈1.73)
14.如图,某幢大楼顶部有一块广告牌CD,甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°,且A、B、E三点在一条直线上,若BE=15米,求这块广告牌的高度.(取≈1.73,计算结果保留整数)
15.(12分)如图,大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚E处,然后向大楼方向继续行走10米来到C处,测得条幅的底部B的仰角为45°,此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米,山坡的坡度i=1:
(即tan∠DEM=1:
),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内,E、C、N在同一条直线上,求条幅的长度(结果精确到1米)(参考数据:
≈1.73,≈1.41)
16.(12分)(2015•本溪)张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度,如图,山坡与水平面成30°角(即∠MAN=30°),在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°,沿坡面前进20米,到达B处,又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内),求这棵大树CD的高度(结果精确到0.1米,参考数据:
≈1.732)
17.
(1)如图1,4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线,相邻2条平行线的距离都是2cm,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D分别在l1、l3、l4、l2上,求该正方形的面积;
(2)如图2,把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为18mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知∠1=36°,求长方形卡片的周长.(精确到1mm)(参考数据:
sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
18.(本题满分10分)某风景管理区为提高游客到某景点的安全性,决定将到达该景点的步行台阶改善,把倾角由45°减至30°,已知原台阶坡面AB的长为
米(BC所在地面为水平面)。
(1)改善后的台阶坡面AD长多少米?
(2)改善后的台阶会多占多长一段水平地面?
(结果保留根号)
评卷人
得分
五、判断题(题型注释)
参考答案
1.D.
【解析】
试题分析:
如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,
∵tanB=,即,
∴设AD=5x,则AB=3x,
∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,
∴△CDE∽△BDA,
∴,
∴CE=x,DE=,
∴AE=,
∴tan∠CAD=.
故选D.
考点:
解直角三角形.
2.D.
【解析】
试题分析:
如图,作AM⊥BC于M.由题意得,∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40海里,∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°,∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC于M,∴CM=BC=20海里,在直角△ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC==(海里).故选D.
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题.
3.21+7
【解析】
试题分析:
作AE⊥CD于点E.在Rt△ABD中,∠ADB=45°,∴DE=AE=BD=AB=21(米),
在Rt△AEC中,CE=AE•tan∠CAE=21×
=7
(米).则CD=(21+7
)米.
考点:
解直角三角形的应用.
4.①②
【解析】
试题分析:
①∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C,∴△ADE∽△ACD;故①正确,
②作AG⊥BC于G,∵AB=AC=10,∠ADE=∠B=á,cosá=,∴BG=ABcosB,∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16,∵BD=6,∴DC=10,∴AB=DC,
在△ABD与△DCE中,
,
∴△ABD≌△DCE(ASA).故②正确,
③当∠AED=90°时,由①可知:
△ADE∽△ACD,∴∠ADC=∠AED,
∵∠AED=90°,∴∠ADC=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,∴BD=CD,∴∠ADE=∠B=á且cosá=,AB=10,BD=8.
当∠CDE=90°时,易△CDE∽△BAD,∵∠CDE=90°,∴∠BAD=90°,
∵∠B=á且cosá=.AB=10,∴cosB=,∴BD=.
故③错误.
故答案为:
①②.
考点:
1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质.
5.750.
【解析】
试题分析:
如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,
AC=30×25=750(米),
∴AD=AC•sin45°=375(米).
在Rt△ABD中,
∵∠B=30°,
∴AB=2AD=750(米).
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
6..
【解析】
试题分析:
分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度,然后判断△ABC的形状,得出∠BAC的度数,求出cos∠BAC的值.
试题解析:
AB=BC=,
AC=,
则AB2+BC2=5+5=10=AC2,
则△ABC为等腰直角三角形,
∠BAC=45°,
则cos∠BAC=.
考点:
1.特殊角的三角函数值,2.勾股定理,3.勾股定理的逆定理.
7.17.
【解析】
试题分析:
如图,根据三角函数可求BC,CE,由BE=BC+CE可求BE,再根据三角函数可求EF,再根据停车位的个数=(56-BE)÷EF+1,列式计算即可求解.
试题解析:
如图,
BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米,
CE=5×sin45°=5×≈3.5米,
BE=BC+CE≈5.04,
EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米,
(56-5.04)÷3.1+1
=50.96÷3.1+1
≈16.4+1
=17.4(个).
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.
考点:
解直角三角形的应用.
8.
(1)CD=5;
(2)sin∠BDM=
.
【解析】
试题分析:
(1)在Rt△ABC中,由tanA=
和AC=6即可求得CD的长;
(2)可证△CMB∽△BCA,即可求得BM的长,即可解题.
试题解析:
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tanA=
,∴BC=
×6=8,
∴AB=
=
=10,∵D是边AB的中点,∴CD=DB=
AB=
×10=5.
(2)∵CD=DB,∴∠DCB=∠DBC,又∵BM⊥CD于点M,∴∠BMC=∠ACB=90°,∴△CMB∽△BCA,
∴
,∴
,∴BM=
,∴sin∠BDM=
=
.
考点:
1.相似三角形的判定与性质;2.勾股定理;3.三角函数.
9.
(1)1:
;
(2)大楼的窗口P处距离地面的高度为10
米.
【解析】
试题分析:
(1)已知山坡的坡角∠ABC=30°,由坡角的正切函数值即为坡度,即可得答案;
(2)根据平行线的性质可得∠PBH=∠DPB=60°,再求得∠ABP=180°﹣∠ABC﹣∠PBH=90°.易得△ABP是等腰直角三角形,所以BP=AB=20米,然后在Rt△PBH中利用三角函数即可求解即可.
试题解析:
解:
(1)∵山坡的坡角∠ABC=30°,
∴山坡AB的坡度为tan30°=
=1:
;
(2)由题意得PD∥HC,AB⊥BP,PH⊥HC,∠DPA=15°,∠DPB=60°,AB=20米.
∵PD∥HC,
∴∠PBH=∠DPB=60°,
∴∠ABP=180°﹣∠ABC﹣∠PBH=180°﹣30°﹣60°=90°.
在Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=60°﹣15°=45°,
∴BP=AB=20米,
在Rt△PBA中,∵∠PHB=90°,∠PBH=60°,
∴PH=PB•sin∠PBH=20×
=10
(米).
答:
大楼的窗口P处距离地面的高度为10
米.
考点:
解直角三角形的应用.
10.楼房AB的高为(35+10
)米.
【解析】
试题分析:
过点E作EF⊥BC交延长线于F,EH⊥AB于点H,根据坡度为i=1:
,可得∠ECF=30°,再由CE=20米,分别求出EF、CF的长度,在Rt△AEH中求出AH,从而可得楼房AB的高.
试题解析:
解:
过点E作EF⊥BC交延长线于F,EH⊥AB于点H,
在Rt△CEF中,
∵i=
=tan∠ECF,
∴∠ECF=30°,
∴EF=
CE=10米,CF=10
米,
∴BH=EF=10米,HE=BF=BC+CF=(25+10
)米,
在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°,
∴AH=HE=(25+10
)米,
∴AB=AH+HB=(35+10
)米.
答:
楼房AB的高为(35+10
)米.
考点:
解直角三角形的应用.
11.
(1)点B是在暗礁区域外;
(2)若继续向东航行船有触礁的危险.
【解析】
试题分析:
(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长;
(2)本题实际上是问,C到AB的距离即CD是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之则有,CD的值,
(1)已经求出,只要进行比较即可.
试题解析:
:
(1)作CD⊥AB于D点,设BC为x,在Rt△BCD中∠CBD=60°,
∴BD=CD=x.在Rt△ACD中∠CAD=30°tan∠CAD=
解得x=18.∴点B是在暗礁区域外;
(2)因为CD=x=9.9
∴若继续向东航行船有触礁的危险.
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题
12.3+.
【解析】
试题分析:
过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案.
试题解析:
过C作CD⊥AB于D,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∵∠B=45°,
∴∠BCD=∠B=45°,
∴CD=BD,
∵∠A=30°,AC=2,
∴CD=,
∴BD=CD=,
由勾股定理得:
AD==3,
∴AB=AD+BD=3+,
答:
AB的长是3+.
考点:
1.解直角三角形;2.等腰三角形的性质;3.含30度角的直角三角形;4.勾股定理.
13.灯塔C与观测点A的距离为3.6km.
【解析】
试题分析:
如图,过点C作CD⊥AB,构建直角△ACD和直角△BCD.通过解Rt△BDC得到BD=0.5CD.通过解Rt△ADC得到AD=CD,所以由AB=4km可求得CD的长度.最后通过解Rt△ADC来求AC的长度.
试题解析:
如图,过点C作CD⊥AB,则∠BCD=27°,∠ACD=60°,
在Rt△BDC中,由tan∠BCD=,
∴BD=CDtan27°=0.5CD.
在Rt△ADC中,由tan∠ACD=
∴AD=CD•tan60°=CD.
∵AD+BD=CD+0.5CD=4,
∴CD=.
在Rt△ADC中,∵∠ACD=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AC=2CD=≈3.6.
∴灯塔C与观测点A的距离为3.6km.
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题
14.3米.
【解析】
试题分析:
首先分析图形:
根据题意构造直角三角形;本题涉及到两个直角三角形,应利用其公共边构造三角关系,进而可求出答案.
试题解析:
∵AB=8米,BE=15米,
∴AE=23米,在Rt△AED中,∠DAE=45°
∴DE=AE=23米.
在Rt△BEC中,∠CBE=60°
∴CE=BE•tan60°=(米),
∴CD=CE-DE=-23≈2.95≈3(米).
即这块广告牌的高度约为3米.
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
15.71.
【解析】
试题分析:
过点D作DH⊥AN于H,过点E作FE⊥于DH于F,可得出DF的长,进而得出DH的长,在Rt△ADH中,可得出AH的长,进而可得出AN的长,在Rt△CNB中可求出BN的长,利用AB=AH﹣BN计算即可.
试题解析:
过点D作DH⊥AN于H,过点E作FE⊥于DH于F,∵坡面DE=20米,山坡的坡度i=1:
,∴EF=10米,DF=米,∵DH=DF+EC+CN=()米,∠ADH=30°,∴AH=×DH=()米,∴AN=AH+EF=()米,∵∠BCN=45°,∴CN=BN=20米,∴AB=AN﹣BN=≈71米.
答:
条幅的长度是71米.
考点:
1.解直角三角形的应用-仰角俯角问题;2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题;3.综合题.
16.这棵大树CD的高度大约为11.5米.
【解析】
试题分析:
如图,过B作BE⊥CD交CD延长线于E,由题意可得∠CAN=45°,∠MAN=30°,可得∠CAB=15°,再由∠CBD=60°,∠DBE=30°,即可得∠CBD=30°,根据三角形外角的性质可得∠CAB=∠ACB=15°,再由等腰三角形的性质可得AB=BC=20,在Rt△BCE中,由CE=BCsin∠CBE求得CE,在Rt△DBE中,由DE=BEtan∠DBE求得DE,再根据CD=CE﹣DE即可求得树高.
试题解析:
解:
如图,过B作BE⊥CD交CD延长线于E,
∵∠CAN=45°,∠MAN=30°,
∴∠CAB=15°
∵∠CBD=60°,∠DBE=30°,
∴∠CBD=30°,
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,
∴∠CAB=∠ACB=15°,
∴AB=BC=20,
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BC=20,
∴CE=BCsin∠CBE=20×
,BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10,
在Rt△DBE中,∠DBE=30°,BE=10,
∴DE=BEtan∠DBE=10×
,
∴CD=CE﹣DE=
≈11.5,
答:
这棵大树CD的高度大约为11.5米.
考点:
解直角三角形的应用.
17.
(1)20cm2;
(2)300mm.
【解析】
试题分析:
(1)过D点作直线EF与平行线垂直,与l1交于点E,与l4交于点F.易证△ADE≌△DFC,得CF=2,DF=4.根据勾股定理可求CD2得正方形的面积;
(2)作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F,求∠ADF的度数,在Rt△ABE中,可以求得AB的值,在Rt△ADF中,可以求得AD的值,即可计算矩形ABCD的周长,即可解题.
试题解析:
(1)如图1,作EF⊥l2,交l1于E点,交l4于F点.
∵l1∥l2∥l3∥l4,EF⊥l2,
∴EF⊥l1,EF⊥l4,
即∠AED=∠DFC=90°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ADC=90°.
∴∠ADE+∠CDF=90°.
又∵∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠CDF=∠DAE.
∵AD=CD,
在△ADE和△DCF,
,
∴△ADE≌△DCF(AAS),
∴CF=DE=2.
∵DF=4,
∴CD2=22+42=20,
即正方形ABCD的面积为20cm2;
(2)如图2,作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.
∵∠1+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°,∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠ADF=∠1=36°,
根据题意,得BE=36mm,DF=72mm.
在Rt△ABE中,sin∠1=,
∴AB==60mm,
在Rt△ADF中,cos∠ADF=,
∴AD=mm=90mm.
∴矩形ABCD的周长=2(60+90)=300mm.
考点:
1.正方形的性质;2.平行线之间的距离;3.全等三角形的判定与性质;4.矩形的性质;5.解直角三角形.
18.
(1)10米
(2)5
-5(米)
【解析】
试题分析:
(1)根据题意得,在Rt△ABC中,AC=BC=AB×sin45°,解方程可求得AC与BC的长,在Rt△ADC中,因为AD=
,即可求得AD的长度.
(2)首先由在Rt△ACD中,CD=
,求得CD的长,又由BC=5米,即可得出问题的结论BD的长度.
试题解析:
(1)在Rt△ABC中,∠ABC=45°,AC=BC=AB×sin45°=
×
=5(米),在Rt△ACD中,∠D=30°,AD=
=5÷
=10(米).
(2)在Rt△ACD中,CD=
=5÷
=5
(米)因为BC=5米,所以BD=CD-BC=5
-5(米).
考点:
1.坡度、坡角问题;2.解直角三角形
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- 学年度 阳光 学校 九年级 直角三角形 模拟