高考新课标全国i卷文科数学试题及答案.docx
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高考新课标全国i卷文科数学试题及答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( ).
A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}
2.
=( ).
A.
B.
C.
D.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).
A.
B.
C.
D.
4.(,文4)已知双曲线C:
(a>0,b>0)的离心率为
,则C的渐近线方程为( ).
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=±x
5.(,文5)已知命题p:
∀x∈R,2x<3x;命题q:
∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ).
A.p∧qB.
p∧qC.p∧
qD.
p∧
q
6.(,文6)设首项为1,公比为
的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( ).
A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an
7.(,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( ).
A.[-3,4]B.[-5,2]
C.[-4,3]D.[-2,5]
8.(,文8)O为坐标原点,F为抛物线C:
y2=
的焦点,P为C上一点,若|PF|=
,则△POF的面积为( ).
A.2B.
C.
D.4
9.(,文9)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图像大致为( ).
10.(,文10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ).
A.10B.9C.8D.5
11.(,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
12.(,文12)已知函数f(x)=
若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=______.
14.(,文14)设x,y满足约束条件
则z=2x-y的最大值为______.
15.(,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______.
16.(,文16)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
的前n项和.
18.(,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:
h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
19.(,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=
,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
20.(,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
21.(,文21)(本小题满分12分)已知圆M:
(x+1)2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(,文22)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
23.(,文23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
24.(,文24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈
时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:
A
解析:
∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},
∴A∩B={1,4}.
2.
答案:
B
解析:
=
.
3.
答案:
B
解析:
由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为
.
4.
答案:
C
解析:
∵
,∴
,即
.
∵c2=a2+b2,∴
.∴
.
∵双曲线的渐近线方程为
,
∴渐近线方程为
.故选C.
5.
答案:
B
解析:
由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,
∵h(0)=-1<0,h
(1)=1>0,
∴x3-1+x2=0在(0,1)内有解.
∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有
p∧q为真命题.故选B.
6.
答案:
D
解析:
=3-2an,故选D.
7.
答案:
A
解析:
当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).
当1≤t≤3时,s=4t-t2.
∵该函数的对称轴为t=2,
∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.
∴smax=4,smin=3.
∴s∈[3,4].
综上知s∈[-3,4].故选A.
8.
答案:
C
解析:
利用|PF|=
,可得xP=
.
∴yP=
.∴S△POF=
|OF|·|yP|=
.
故选C.
9.
答案:
C
解析:
由f(x)=(1-cosx)sinx知其为奇函数.可排除B.当x∈
时,f(x)>0,排除A.
当x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cosx(1-cosx)=-2cos2x+cosx+1.
令f′(x)=0,得
.
故极值点为
,可排除D,故选C.
10.
答案:
D
解析:
由23cos2A+cos2A=0,得cos2A=
.
∵A∈
,∴cosA=
.
∵cosA=
,∴b=5或
(舍).
故选D.
11.
答案:
A
解析:
该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V半圆柱=
π×22×4=8π,
V长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A.
12.
答案:
D
解析:
可画出|f(x)|的图象如图所示.
当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;
当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立.
若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,
由
得x2-(a+2)x=0.
∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2.
∴a∈[-2,0].故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:
2
解析:
∵b·c=0,|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,∴a·b=
.
∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,
即ta·b+(1-t)b2=0.
∴
+1-t=0.
∴t=2.
14.答案:
3
解析:
画出可行域如图所示.
画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=2×3-3=3.
15.答案:
解析:
如图,
设球O的半径为R,
则AH=
,
OH=
.
又∵π·EH2=π,∴EH=1.
∵在Rt△OEH中,R2=
,∴R2=
.
∴S球=4πR2=
.
16.答案:
解析:
∵f(x)=sinx-2cosx=
sin(x-φ),
其中sinφ=
,cosφ=
.
当x-φ=2kπ+
(k∈Z)时,f(x)取最大值.
即θ-φ=2kπ+
(k∈Z),θ=2kπ+
+φ(k∈Z).
∴cosθ=
=-sinφ=
.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:
(1)设{an}的公差为d,则Sn=
.
由已知可得
解得a1=1,d=-1.
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由
(1)知
=
,
从而数列
的前n项和为
=
.
18.
解:
(1)设A药观测数据的平均数为
,B药观测数据的平均数为
.
由观测结果可得
=
(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)
=2.3,
=
(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)
=1.6.
由以上计算结果可得
>
,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有
的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有
的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
19.
(1)证明:
取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,
所以OC⊥AB.
由于
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