第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx
- 文档编号:3269669
- 上传时间:2022-11-21
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:111.04KB
第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx
《第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第十一章112平面的基本事实与推论秋数学必修第四册人教B版新教材改题型
11.2 平面的基本事实与推论
课标要求
素养要求
1.掌握平面的基本事实和推论,会用符号表达基本事实与推论.
2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系.
从直观认识的基础上论证点、线、面之间的位置关系,发展培养学生的空间想象素养与逻辑推理素养.
教材知识探究
我们的桌面、椅面都给我们平面的形象,而且木匠在做桌面时,也要求它是平的,并且用直尺在桌面上任意移动来判断所做桌面是否平.
问题 判断一个面是否是平面的依据是什么?
提示 如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内,那么这个面就是平面.
1.平面的基本事实(也称为公理)
习惯上将平面用平行四边形表示
基本事实1:
经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面.也可简单说成:
不共线的3点确定一个平面.
基本事实2:
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.点、线、面位置关系的符号表示
(1)点A在直线l上表示为A∈l;点A在平面α内表示为A∈α.
(2)直线l在平面α内表示为l⊂α;平面α与平面β相交于线l表示为:
α∩β=l.
3.平面的基本事实的推论
(1)推论1:
经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面.
(2)推论2:
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
(3)推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
教材拓展补遗
[微判断]
1.梯形是平面图形.(√)
2.两两相交的三条直线可以确定一个平面.(×)
提示 若三条直线相交于一点,则三条直线不一定在一个平面内,此时确定一个或三个平面.
3.两个平面若有三个公共点,则这两个平面相交或重合.(√)
[微训练]
1.若点M在直线a上,直线a在平面α内,则点M________平面α.
答案 ∈
2.用符号表示下列语句.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,C不在直线AB上.
解
(1)α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
(2)A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB.
[微思考]
1.基本事实1及推论有怎样的作用?
提示 确定平面,可用其证明点、线共面问题.
2.基本事实3有何作用?
提示 其一可判定两个平面是否相交.只要两个平面有一个公共点,就可判定这两个平面必相交于过这点的公共直线;其二可以判定点在直线上.若点是两个平面的公共点,线是两个平面的交线,则点在线上.
题型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
【例1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解
(1)符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示如图
(1).
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图
(2).
规律方法 点与直线(或平面)的关系为元素与集合的关系,用“∈”或∉表示点与直线(或平面)的关系;直线与平面的关系为集合间的关系,不能用“∈”,只能用⊂或⊄表示.
【训练1】 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解 在
(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在
(2)中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.
题型二 点线共面问题
【例2】 已知四条直线两两相交,且不共点,求证:
这四条直线在同一平面内.
解 已知a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:
a,b,c,d四线共面.
证明
①若a,b,c三线共点于O,如图所示:
∵O∉d,∴经过d与点O有且仅有一个平面α(推论1).
∵A,B,C分别是d与a,b,c的交点,
∴A,B,C三点在平面α内.
由基本事实2知a,b,c都在平面α内,故a,b,c,d共面.
②若a,b,c,d无三线共点,如图所示:
∵a∩b=A,
∴经过a,b有且仅有一个平面α(推论2),
∴B,C∈α,由基本事实2知c⊂α.
同理,d⊂α,从而有a,b,c,d共面.
综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.
规律方法 证明点、线共面问题,一般先由部分点线确定一个平面,再证其他的点和线在所确定的平面内.也可以用同一法:
即先证明一些元素在一个平面内,再证明另一些元素在另一个平面内,然后证明这两个平面重合,即证得所有元素在同一个平面内.
【训练2】 已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:
过a,b,l有且只有一个平面.
证明
如图所示.由已知a∥b,
所以过a,b有且只有一个平面α.设a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,∴l⊂α,即过a,b,l有且只有一个平面.
题型三 两平面的交线问题
【例3】 如图所
示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1和AA1的中点,画出平面BED1F和平面ABCD的交线.
解 在平面AA1D1D内,连接D1F并延长,
∵D1F与AD不平行,∴D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈DA.
又FD1⊂平面BED1F,∴P∈平面BED1F,
又DA⊂平面ABCD,∴P∈平面ABCD.
∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,
∴连接PB,则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
规律方法 两点确定一条直线,由平面基本事实3知,要想画出两个平面的交线,只需找到两个平面的两个公共点即可.
【训练3】 如图
正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点.画出过M,N,P的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线.
解 设M,N,P三点确定的平面为α,则α与平面AA1B1B交于MP.
连接MP并延长交A1B1的延长线于一点,设为R,连接NR,则NR为平面α与平面A1B1C1D1的交线.
设RN∩B1C1=Q,则PQ是α与平面BB1C1C的交线,如下图所示.
一、素养落地
1.通过对平面的基本事实与推论的理解与应用,发展培养空间想象素养和逻辑推理素养.
2.平面的基本事实的作用
基本事实1及推论,是判定点共面、线共面的依据;基本事实2是判定直线在平面内的依据;基本事实3是判定点共线、线共点的依据.
3.理解符号语言所表示的几何图形的实际意义,恰当地用符号语言描述图形语言,将图形语言用文字语言描述出来,再转换为符号语言.作直观图时,要注意线的实虚.
二、素养训练
1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )
解析 画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示.
答案 D
2.已知点A,直线a,平面α,以下表述正确的个数是( )
①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.
A.0B.1C.2D.3
解析
①不正确,如a∩α=A;②不正确,∵“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A∉a,a⊂α,但A∈α;④不正确,“A⊂α”表述错误.
答案 A
3.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=________.
解析 ∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.
答案 C
4.
(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定________个平面.
解析
(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
答案
(1)4
(2)7
基础达标
一、选择题
1.文字语言叙述:
“平面内有一条直线,则这条直线上的一点必在这个平面内”改成符号语言是( )
A.
⇒A⊂αB.
⇒A∈α
C.
⇒A⊂αD.
⇒A∈α
解析 直线在平面内用符号“⊂”表示,而点在直线上用“∈”表示,点在平面内用“∈”表示.
答案 B
2.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线B.必有三点不共线
C.至少有三点共线D.不可能有三点共线
解析 如图
(1)
(2)所示,A、C、D均不正确,只有B正确.
答案 B
3.下列命题中正确的是( )
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
解析 共线的三点不能确定一个平面,故A错;两个平面有公共点,这两个平面可以是相交的,故C错;四边都相等的四边形可以是空间四边形.
答案 B
4.如图,平
面α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β且C∉l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ是( )
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上都不对
解析 由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.
答案 C
5.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合
解析 ∵A∈α,A∈β,∴A∈(α∩β).
由基本性质可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β=A的写法错误.
答案 C
二、填空题
6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
解析 因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案 ∈
7.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.
解析 ∵AC∥BD,∴AC,BD确定一个平面β(推论3),∴α∩β=CD,AB⊂β,又O∈AB,∴O∈β.又O∈α,∴O∈CD,即O,C,D三点共线.
答案 共线
8.如图,
已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是________.
解析 因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
三、解答题
9.用符号语言表示下列语句:
(1)点A在平面α内,但在平面β外;
(2)直线a经过平面α外一点M;
(3)直线a在平面α内,又在平面β内,即平面α和β相交于直线a;
(4)直线a与平面α相交于点A.
解
(1)A∈α,且A∉β.
(2)M∈a,M∉α.
(3)a⊂α,且a⊂β,即α∩β=a.
(4)a∩α=A.
10.如图,
直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
解 很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.
由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,
∵E∈AC,AC
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型 第十一 平面 基本 事实 推论 数学 第四 人教 新教材 题型