北师大版九年级数学上第一章 证明二全章教学案.docx
- 文档编号:3268982
- 上传时间:2022-11-21
- 格式:DOCX
- 页数:60
- 大小:518.08KB
北师大版九年级数学上第一章 证明二全章教学案.docx
《北师大版九年级数学上第一章 证明二全章教学案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版九年级数学上第一章 证明二全章教学案.docx(60页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大版九年级数学上第一章证明二全章教学案
第一章证明
(二)
单元备课
一、教材分析
本章是八年级下册第六章《证明
(一)》的继续.教科书首先给出四条公理,这四条公理与《证明
(一)》中给出的两条公理一起作为对命题继续进行逻辑证明的基础.本章所证明的命题大都与等腰三角形和直角三角形有关,主要包括:
等腰三角形 (含等边三角形)的性质定理及判定定理,直角三角形的性质定理及判定定理,线段垂直平分线的性质定理及判定定理,角平分线的性质定理及判定定理.
与《证明
(一)》类似,本章所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件,勾股定理及其逆定理等等)在前几册中已由学生通过一些直观的方法进行了探索,所以学生对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教科书努力将证明的思路展现出来.教科书首先采用提问的方式让学生回忆这些结论,探索结论的方法和过程.因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发.然后再利用公理和已有的定理去证明这些结论.这样处理旨在将抽象的证明与直观的探索联系起来.如在证明“等腰三角形的两个底角相等”时,教科书首先回顾了利用折纸来探索此结论的方法,由此促使学生发现证明思路:
作底边上的中线构造全等三角形,从而证明两个角相等.
本章还涉及一些以前没有探索过的命题,对于这些命题,教科书采用了不同的处理方式:
⑴直接通过证明得到部分命题;⑵对于另一部分命题,则尽可能创设一些问题情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用.如对于“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.教科书先引导学生拼摆三角尺,探索发现有关结论,同时探索的过程也为即将进行的证明提供了思路.
此外,教科书还注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.
本章的设计还考虑了对学生学习方法的指导,以及思维能力的培养.一方面,教科书为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来;另一方面,教科书还注意引导学生探索证明的不同思路和方法.并进行适当的比较和讨论,开阔学生视野,培养学生的思维能力.如在一种证明方法结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗?
与同伴进行交流.”
本章虽然以逻辑证明为主,但在教材和背景的选取上仍尽可能与实际联系,增强论证的趣味性,从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心,同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用.
二、教学目标
1.经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,发展学生初步的演绎推理能力.
2.一步掌握综合法的证明方法,结合实例体会反证法的含义.
3.解作为证明基础的几条公理的内容,能够证明与三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理及判定定理.
4.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道命题成立其逆命题不一定成立.
5.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线;已知底边和底边上的高,能用尺规作出等腰三角形.
三、教学重点与难点
重点:
探索证明的思路和方法及推理证明.
难点:
探索证明的思路和方法.
四、课时安排
1.你能证明它们吗?
3课时
2.直角三角形2课时
3.线段的垂直平分线2课时
4.角平分线2课时
回顾与思考2课时
五、教学建议
1.使学生经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性.
本章既涉及一些以前曾探索过的例题,又涉及一些新的结论,因此在教学中,应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展,引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,运用归纳、类比的方法首先提出猜想,然后再进行证明,这样做有利于学生全面地理解证明.在具体教学时,一方面,教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论,并强调证明的必要性;另一方面,学生经过探索还会得到以往没有探索过的新的结论,然后再去证明.教师应充分利用这样的机会,启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
2.注意对证明思路的启发,提倡证明方法的多样性.
在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上,教学时应注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析辅助线的添加,辅助图形的构造.同时,很多结论的证明方法是不唯一的.辅助线的添加方法也是多种多样的,因此教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,提高逻辑思维水平.
3.要求学生掌握证明的基本要求和方法
推理证明是本章学习的重点,因此教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求,如明确条件和结论,能够用数学的符号语言正确表达;明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程.另外,对于证明思路和方法,教师要注意给学生留出充分思考的时间和空间,同时还要注意学生的个体差异,对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.
对于反证法,教学中可以通过生活实例和简单的数学例子使学生体会其思想,不宜对反证法的证明或证明难度提出高要求.
4.注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发.
在命题的探索和证明过程中,蕴涵着一些数学思想方法,如归纳、类比、转化的思想方法,反证法的思想方法等.教学中应注重这些思想方法的强化和渗透,有意识地引导学生去领会这些思想方法并运用在问题的解决过程中.
5.依据《标准》和教科书的基本要求,把握好证明的难易程度.
掌握和体验证明的基本方法,需要证明一定数量的命题,但要避免过分追求证明题的数量及证明技巧.教学应依据教科书的基本要求,控制好证明题的难度.
六、评价建议
1.关注对学生探索结论和证明思路,证明方法等过程的评价.
其一,要关注学生是否积极主动参与探索活动以及同伴之间的交流情况;其二,要关注学生能否通过独立思考获得证明的思路,能否使用规范的数学语言表达思考的过程能否尝试用不同的方法证明同一个命题.
2.关注学生对证明思路、证明方法的掌握情况和推理论证能力的水平.
3.关注学生能否运用规范的数学语言表述论证过程.
第一章证明
(二)
1你能证明它们吗?
(第1课时)
教案
一、教材分析
本节课学习等腰三角形性质定理的证明,并由证明通过想一想得出等腰三角形底边上三条主要线段重合的性质(即三线合一),这条性质是今后证明两角相等,两条线段相等及两条直线互相垂直的重要依据,是这一节的重点,务必使学生牢固掌握.这一节的难点是用文字语言叙述的几何命题的证明,即通常说的文字题.由于它包括了证明几何命题的完整过程,从分析题设、结论、画图到写已知、求证,直到完成证明,每一部分都有些难度,所以学生会感到困难.
二、教学目标
1.了解作为证明基础的几条公理的内容.
2.使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,学会综合法证明等腰三角形的有关性质定理.
3.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
4.引导学生探索添加辅助线的规律.
三、教学重点、难点
重点:
等腰三角形的性质定理的证明.
难点:
用语言叙述的几何命题的证明.
四、教具准备
等腰三角形(纸片)、投影片、三角板.
五、教学建议
注重对证明思路的启发,提倡证明方法的多样性.
六、教学过程
教师活动
学生活动
1.提出问题
⑴如何判定两个三角形全等?
⑵三角形全等又能得到哪些正确的结论?
2.创设问题情境,引入新课
⑴你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
⑵等边三角形呢?
⑶你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
3.证明等边对等角
⑴结合上述问题
(1),师生共同绘图“等腰三角形”.
⑵演示等腰三角形纸片,回忆以前的折纸过程,分析折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形,能否通过作一条线段,得到两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等呢?
⑶你能写出证明过程吗?
⑷演示(投影片)
(5)归纳结论
等边对等角
4.自主探索
在图1-1中,线段AD还具有怎样的性质?
为什么?
由此你还能得到什么结论?
5.随堂练习
⑴课本第4页练习1,2题.
⑵补充题:
如图1-2,在三角形测平架中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂,调整架身,使点A恰好在重锤线上,试问AD与BC有何位置关系?
图1-2
6.课堂小结
这节课你学会了什么?
有何收获?
7.布置作业
课本第5页习题1.1
预习课本第5页至第8页.
学生口答.
让学生回忆并口答等腰 三角形性质中哪是题设、哪是结论.
让学生观察绘图,并用文字及数学符号规范地写出“已知,求证.”
让学生大胆尝试,充分讨论,探索证明的思路,尽可能让大部分学生口述证明过程,然后再找一名同学板书.
与同伴进行交流,还有其它证明方法吗?
学生口答.
让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质和特征,从而得到结论.
学生板书证明过程.
试让学生讨论后口答.
学生归纳总结并相互补充.
学案
一、学习目标
经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.
二、方法规律与探究
等腰三角形是一种特殊的三角形,遇到解决有关等腰三角形的问题时,一般是过等腰三角形的顶点作底边上的高或底边上的中线或顶角的角平分线,利用等腰三角形中的三线合一的性质.若在同一个三角形中证明两个角相等,一般要联想到等腰三角形的性质定理——等边对等角.因此需证明两边相等,从而可得到两边所对的角相等.
三、分组练习
练习一
1.填空题:
⑴如图1-1,在△ABC中,AB=AC,AD是高.
①若∠B=65°,则∠BAD=________.
②若BC=8cm,则BD=______cm.
③若△ABC的周长为36cm,AD=10cm,图1-1
则△ABD的周长为_________.
⑵如图1-2,AB=AC,AD=AE,∠BAD=28°
则∠EDC=___________.
图1-2
2.证明题:
(1)如图1-3,直线EF截∠MAN的两边于B,C,且AB=AC.
求证:
∠1=∠2.
图1-3
(2)如图1-4,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.
求证:
∠BAD=∠EAC.
图1-5
图1-4
练习二
如图1-5,在△ABC中,AB=AC,延长BA至D,
使AD=AB,连结CD,AE是△ACD的高.
(1)求证:
AE∥BC;
(2)当∠BAC=70°时,求∠CAE的度数.
图1-5
四、达标检测题
1.选择题:
(1)如图1-6,AB=AC,AD=BD=BC,则图中共有相等的角()
A、3对B、6对C、2对D、以上都不对图1-6
(2)在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=2:
1:
1,则△ABC是()
A、等边三角形B、锐角三角形
C、直角三角形D、等腰直角三角形
2.证明题(用两种方法证明)
如图1-7中,AB=AC,BD=DC.求证:
∠B=∠C.图1-7
五、收获
答案
练习一
1.
(1)①25°②4cm③28cm⑵14°
2.
(1)略;
(2)提示:
过A点A作AF⊥BC,或取BC边的中点或作∠DAE的角平分线.
练习二
提示:
(1)证明E是CD的中点;
(2)55°.
达标检测题
1.①B②D
2.提示:
方法一:
连结AD,证明△ABD≌△ACD.
方法二:
连结BC,利用等边对等角.
1你能证明它们吗
(第2课时)
教案
一、教材分析
例1是用语言叙述的正确的几何命题,应先让学生经历观察,探索发现相等的线段,再引导他们规范地写出证明的全过程.议一议第2题实质上是等腰三角形的判定定理的证明,是证明两条线段相等的重要依据,它是三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.
二、教学目标
1.使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的角平分线相等和“等角对等边”.
2.结合实例体会反证法的含义.
3.让学生区别“等边对等角”和“等角对等边”.
三、教学重点、难点
重点:
会证明等腰三角形的判定定理,即:
“等角对等边”.
难点:
区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明.
四、教具准备
课件、投影片、三角板.
五、教学建议
从问题出发,先让学生经过自己的观察,探索发现相等的线段,然后再引导他们去证明,进一步体会证明的必要性.
六、教学过程
教师活动
学生活动
1.创设问题情境
在等腰三角形中作出一些线段,例如:
利用多媒体演示:
观察后解答下列问题
⑴你能从图中发现一些相等的线段吗?
⑵你能否用一句话概括你所得到的结论吗?
⑶你能结合图形分别写出已知、求证和证明吗?
2.新知探究
⑴应用举例(投影)
⑵自主探索(回顾创设情境中的图1-2和图1-3)
如何证明等腰三角形两腰上的中线,两腰上的高也分别相等呢?
在等腰三角形中,还有其他的结论吗?
例如:
等腰三角形底边的高上任意一点到两腰的距离能否相等?
3.随堂练习
课本第6页议一议
思考:
小明说:
“在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.”你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?
小明是这样想的:
(投影)
你能理解他的推理过程吗?
4.反证法:
小明在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出了矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法.
归纳:
定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称:
等角对等边.
5.小结:
这节课你学会了什么?
有何收获?
6.布置作业
课本第8—9页习题1.2
让学生回顾上一节的内容“等边对等角”后观察操作演示,找出图中相等的线段.
口答所得结论.
让学生充分讨论,大胆尝试,用类比、转化的思想去探索和猜想.
口述命题中的题设和结论.
借助图形启发学生证明思路.
教师板书示范.
学生板书,教师个别辅导.
与同伴进行交流..
学生独立解答后讨论其规律.
学生交流,试一试.
推敲证明思路与一般证明有何不同.
了解反证法的含义.
通过证明学生归纳定理内容.
学生总结,并相互补充.
学案
一、学习目标
学会证明等腰三角形中有关相等的线段及等角对等边,并体会反证法的含义.
二、方法规律与探究
证明文字叙述的几何命题的题目,首先要分清题设,结论,画出草图,结合图形写出已知,求证,然后再证明,在同一个三角形中,若要证明两条边相等,一般思路是证明这两条边所对的角相等,从而根据“等角对等边”使问题得证.特殊情况下,可以添加适当的辅助线,把要证明的两个角转化到两个三角形中,证明两个三角形全等.
三、分组练习
练习一
1.证明:
等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两个端点的距离相等.(要求:
画出图形,写出已知,求证和证明)
2.如图1-1,在△ABC中,AB=AC,BE为角平分线,DE∥BC.
求证:
①BD=DE;
②BD=CE;图1-1
③CD平分∠ACB.
练习二
如图1-2在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD为BC边上的高,过D点作DE∥BA交AC于点E,图中除△ABC外,还有等腰三角形吗?
若有请指出,并给出证明.若无,请说明理由.
图1-2
四、达标检测
1.选择题:
⑴下列命题中,真命题是()
A、等腰三角形的角平分线,中线和高线重合.
B、等腰三角形一定是锐角三角形.
C、若三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
D、等腰三角形两角相等.
⑵在等腰△ABC中,∠A=90°,在底边BC上截取BD=AC,过D作DE⊥BC交AC于E点,则图中等腰三角形有()
A1个B2个C3个D4个
2.证明题:
已知:
如图1-3,△ABC是等边三角形,BD=ED,
延长BC到E,使CE=CD.
求证:
AD=CD.图1-3
五、收获:
答案
练习一
1.略.2.①证明∠DBC=∠DEB②先证△ADE为等腰三角形,再证BD=CE.③先证△DEC为等腰三角形,再证∠BCD=∠CDE.
练习二
有等腰三角形;是△EDC;先证明∠B=∠C=30°,再证∠EDC=30°,∴∠EDC=∠C,∴DE=CE.即△EDC为等腰三角形.
达标检测:
1.选择题:
⑴C⑵B
2.证明题:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°.∴∠ACE=120°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED=30°.∵BD=ED,∴∠DBE=
∠DEC=30°.∴∠BDE=120°.∴∠BDC=90°.即BD⊥AC.又∵△ABC是等边三角形,∴AD=CD.
1你能证明它们吗
(第3课时)
教案
一、教材分析
本节课共设计了两个知识点:
⑴等边三角形的判定定理——在等腰三角形中只要有一个角是60°,就可以判定这个三角形是等边三角形,不论这个角是顶角还是底角.⑵在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,在证明时设计了学生拼摆三角尺的活动,让学生通过活动发现结论,并给出证明.这样可使学生在探索过程中得到启发.同时也为以后如何使用作好铺垫.例如例2试图说明怎样运用这一知识点,求一个角是30°的直角三角形的边长.
二、教学目标
1.掌握等边三角形判定定理的证明.
2.让学生通过实际操作活动,探索直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系,并能从拼摆过程中得到添加辅助线的方法.
三、教学重点、难点
重点:
探索两个定理的证明思路.
难点:
灵活添加辅助线.
四、教具准备
每人准备两个含30°角的直角三角板,投影片.
五、教学建议
引导学生从问题出发,根据操作实验的结果,运用归纳,类比的方法得出猜想,然后再进行证明.
六、教学过程
1.创设问题情境
⑴一个等腰三角形满足什么条件时,便成为等边三角形?
⑵你能证明你的结论吗?
⑶从探索到证明你能否归纳出判断某个三角形是等边三角形的正确结论?
2.新知探究
⑴实物演示(投影)
⑵探索问题
①上述图1-1和图1-2能否判定为等边三角形?
②你能证明你的结论吗?
把你的证明思路与同伴进行交流.
⑶归纳
定理:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
⑷知识巩固
证明:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
⑸自主探索
①用你手中两个含30°角的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?
并说明理由.
②由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
并证明你的结论.
⑹投影示范
⑺归纳
定理:
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3.应用举例
例2,等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,
求:
腰上的高.
4.随堂练习
补充题:
在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠B=2∠A,那么∠B和∠A各是多少度?
边AB与BC之间有什么关系?
5.课堂小结
这节课你学会了哪些内容?
有何收获?
6.布置作业
⑴课本习题1.3;
⑵课下思考题:
在任意三角形中,“有一个角为30°,那么它所对的边等于另一条边的一半”这个结论成立吗?
学生自主探索,同伴交流.
思考提出的问题,口述其结论.
学生渗透分类、讨论的思想.
口述.
规范写出已知、求证、证明,画出图形.
学生可独立操作,也可合作交流.
一名学生板书.
通过投影强化证明过程.
讨论添加辅助线的其他方法,并试一试.
结合证明归纳定理内容.
学生思考三角形中高所在的位置,动手画出三角形及腰上的高.
一名同学板书.
学生探索后板书解题过程.
学生口答并相互补充.
讨论并比较与定理有何区别?
学案
一、学习目标
学会等边三角形判定定理的证明;掌握直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系.
二、方法规律与探究
等边三角形是特殊的等腰三角形,判断某个三角形是等边三角形时,一般先证明此三角形是等腰三角形,再求得一个角为60°即可.遇到含30°角的直角三角形,联想到“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”.常常在直角三角形中求边长时用到,但必须注意前提是直角三角形.
三、分组练习
练习一
1.填空题:
⑴如图1-1,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AD=BD,
CD=2cm,则∠ADC=________;AD=_______.图1-1
⑵若△ABC的中线AD=
BC,则∠A=______.
2.解答题:
如图1-2,∠BAC=30°,D为角平分线上一点,DE⊥AC于F,
DF∥AC且交AB于F,若DF=10cm,
①求证:
△AFD为等腰三角形;
②求DE的长.图1-2
练习二
1.如图1-3,△ABC、△BEF都是等边三角形,AF交BC于M,CE交BF于N,
求证:
①AF=CE;
②△MBN是等边三角形.
图1-3
2.如图1-4,某船于上午11时30分在A处观测海岛B在东偏北30°,该船以10海里1时的速度向东航行到C处,再观测海岛在东偏北60°,且船距海岛20海里.
⑴求该船到达C点时的时间;
⑵若该船从C点继续向东航行,
何时到达B岛正南的D点?
图1-4
四、达标检测
1.填空题:
⑴若等腰三角形一腰上的高线平分这腰,则这个三角形是______三角形;若等腰三角形底边上的高等于一腰上的高,则这个三角形是____三角形.
⑵等腰三角形的顶角为150°,腰长为10cm,则这个三角形的面积为_______.
2.解答题:
如图1-5,在△ABC中,∠A=90°,∠B=15°,
BD=CD,试探索AC与BD有何数量关系?
并证明你的结论.
图1-5
五、收获
答案
练习一
1.⑴60°;4cm.⑵90°.2.⑴证明∠FAD=∠FDA;⑵5cm.
练习二
1.证明⑴△ABF≌△CBE(SAS)
⑵由△ABF≌△CBE得∠AFB=∠CEA,又BF=BE,∠MBF=∠NBE=60°.
∴△MBF≌△NBE∴MB=NB.又∠MBN=60°,即可得证△MBN是等边三角形.
2.⑴13时30分;⑵14时30分.
达标检测
1.⑴等边三角形;等边三角形.⑵25cm2.
2.BD=2AC;由题意得∠ADC=30°,∴AC=
CD.又BD=CD,∴AC=
BD,即BD=2AC.
2直角三角形
(第1课时)
教案
一、教材分析
直角三角形是一种特殊的三角形,它有许多重要性质.在前面几节中,我们曾介绍过直角三角形的一个性质:
30°的角所对的直角边等于斜边的一半.这一节所研究的勾股定理,也是直角三角形的性质,而且是一条非常重要的性质,在以后的学习中,将利用勾股定理及直角三角形的其他一些性质,研究直角三角形中一些计算问题.因此,本节是这一章的重要内容,也是我们以后学习的基础.
二、背景资料
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫作股,斜边叫做弦.据《周髀算经》记载,西周开国
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北师大版九年级数学上第一章 证明二全章教学案 北师大 九年级 数学 第一章 证明 二全章 教学