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高三复习强化训练二次函数的性质
二次函数的性质
参考答案与试题解析
一.选择题(共40小题)
1.(2016•新余三模)若f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(4,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是( )
A.a≥3B.a≥﹣3C.a≤﹣3D.a≤5
【分析】根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关,先求出函数的对称轴,然后结合开口方向可知(4,+∞)是[1﹣a,+∞)的子集即可.
【解答】解:
二次函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2是开口向上的二次函数,
对称轴为x=1﹣a,
∴二次函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在[1﹣a,+∞)上是增函数,
∵在区间(4,+∞)上是增函数,
∴1﹣a≤4,
解得:
a≥﹣3.
故选B.
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的运用,注意讨论对称轴和区间的关系,二次函数是高考中的热点问题,属于基础题.
2.(2016•汕头模拟)函数y=﹣x2+1,﹣1≤x<2的值域是( )
A.(﹣3,0]B.(﹣3,1]C.[0,1]D.[1,5)
【分析】已知函数y=﹣x2+1,可以利用其图象以及单调性求出f(x)在﹣1≤x<2的值域;
【解答】解:
函数y=﹣x2+1,图象开口向下,
对称轴为y轴,画出图象:
由图象可得函数y在x=0出取最大值,f(x)max=f(0)=1,
f(x)在x=2处取得最小值,f(x)min=f
(2)=﹣4+1=﹣3;
∴函数y=﹣x2+1,﹣1≤x<2的值域是(﹣3,1];
故选B;
【点评】此题主要考查二次函数的性质,利用图象进行求解会比较简单,是一道基础题;
3.(2013•浙江)已知a、b、c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f
(1),则( )
A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0
【分析】由f(0)=f(4)可得4a+b=0;由f(0)>f
(1)可得a+b<0,消掉b变为关于a的不等式可得a>0.
【解答】解:
因为f(0)=f(4),即c=16a+4b+c,
所以4a+b=0;
又f(0)>f
(1),即c>a+b+c,
所以a+b<0,即a+(﹣4a)<0,所以﹣3a<0,故a>0.
故选A.
【点评】本题考查二次函数的性质及不等式,属基础题.
4.(2013•淄博模拟)如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数a取值范围是( )
A.a≤﹣3B.a≥﹣3C.a≤5D.a≥5
【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果.
【解答】解:
∵f(x)=x2+2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2
其对称轴为:
x=1﹣a
∵函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
【点评】本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向,这是研究二次函数单调性和最值的关键.
5.(2016秋•坪山区期末)若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0,m],值域为[﹣
,﹣4],则m的取值范围是( )
A.(0,4]B.
C.
D.
【分析】根据函数的函数值f(
)=﹣
,f(0)=﹣4,结合函数的图象即可求解
【解答】解:
∵f(x)=x2﹣3x﹣4=(x﹣
)2﹣
,
∴f(
)=﹣
,又f(0)=﹣4,
故由二次函数图象可知:
m的值最小为
;
最大为3.
m的取值范围是:
[
,3],
故选:
C
【点评】本题考查了二次函数的性质,特别是利用抛物线的对称特点进行解题,属于基础题.
6.(2015•蓟县校级模拟)设
,若f(t)>2,则实数t的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)B.(﹣∞,2)∪(3,+∞)C.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞)D.(﹣∞,0)∪(3,+∞)
【分析】当t≥0时,由f(t)=t2﹣2t﹣1>2,解得实数t的取值范围.当t<0时,由f(t)=﹣2t+6>2,解得实数t的取值范围.再把这两个范围取并集,即得所求.
【解答】解:
当t≥0时,由f(t)=t2﹣2t﹣1>2,解得t<﹣1,或t>3,故实数t的取值范围是(3,+∞).
当t<0时,由f(t)=﹣2t+6>2,解得t<2,故实数t的取值范围是(﹣∞,0).
综上可得,实数t的取值范围是(﹣∞,0)∪(3,+∞),
故选D.
【点评】本题主要考查二次函数的性质,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.
7.(2016•焦作一模)函数f(x)=x2﹣2ax+a在区间(﹣∞,1)上有最小值,则函数
在区间(1,+∞)上一定( )
A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数
【分析】先由二次函数的性质可得a<1,则
=
,分两种情况考虑:
若a≤0,a>0分别考虑函数g(x)在(1,+∞)上单调性
【解答】解:
∵函数f(x)=x2﹣2ax+a在区间(﹣∞,1)上有最小值,
∴对称轴x=a<1
∵
=
若a≤0,则g(x)=x+
﹣2a在(0,+∞),(﹣∞,0)上单调递增
若1>a>0,g(x)=x+
﹣2a在(
,+∞)上单调递增,则在(1,+∞)单调递增
综上可得g(x)=x+
﹣2a在(1,+∞)上单调递增
故选D
【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用,及基本初等函数的单调性的应用,解题的关键是熟练掌握基本知识及基本方法
8.(2015•宁德二模)若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( )
A.5B.4C.3D.2
【分析】直接利用二次函数的性质,判断求解即可.
【解答】解:
函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a,2a]上的偶函数,
可得b=0,并且1+a=2a,解得a=1,
所以函数为:
f(x)=x2+1,x∈[﹣2,2],
函数的最大值为:
5.
故选:
A.
【点评】本题考查函数的最大值的求法,二次函数的性质,考查计算能力.
9.(2015•浠水县校级模拟)已知函数f(x)=﹣x2+ax+b2﹣b+1,(a,b∈R)对任意实数x都有f(1﹣x)=f(1+x)成立,若当x∈[﹣1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.﹣1<b<0B.b>2C.b>2或b<﹣1D.b<﹣1
【分析】先根据条件“对任意实数x都有f(1﹣x)=f(1+x)成立”得到对称轴,求出a,再研究函数f(x)在[﹣1,1]上的单调性,求出函数的最小值,使最小值大于零即可.
【解答】解:
∵对任意实数x都有f(1﹣x)=f(1+x)成立,
∴函数f(x)的对称轴为x=1=
,解得a=2,
∵函数f(x)的对称轴为x=1,开口向下,
∴函数f(x)在[﹣1,1]上是单调递增函数,
而f(x)>0恒成立,f(x)min=f(﹣1)=b2﹣b﹣2>0,
解得b<﹣1或b>2,
故选C
【点评】本题主要考查了函数恒成立问题,二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向,对称轴,判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑.
10.(2016春•大同校级期末)对于任意a∈[﹣1,1],函数f(x)=x2+(a﹣4)x+4﹣2a的值恒大于零,那么x的取值范围是( )
A.(1,3)B.(﹣∞,1)∪(3,+∞)C.(1,2)D.(3,+∞)
【分析】把二次函数的恒成立问题转化为y=a(x﹣2)+x2﹣4x+4>0在a∈[﹣1,1]上恒成立,再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围.
【解答】解:
原问题可转化为关于a的一次函数y=a(x﹣2)+x2﹣4x+4>0在a∈[﹣1,1]上恒成立,
只需
,
∴
,
∴x<1或x>3.
故选B.
【点评】此题是一道常见的题型,把关于x的函数转化为关于a的函数,构造一次函数,因为一次函数是单调函数易于求解,对此类恒成立题要注意.
11.(2016•天津三模)若函数f(x)=x2﹣2bx+b2﹣1在区间[0,1]上恰有一个零点,则b的取值范围是( )
A.[﹣1,1]B.[﹣2,2]C.[﹣2,﹣1]∪[0,1]D.[﹣1,0]∪[1,2]
【分析】确定核对的零点,利用条件建立不等式,就可求b的取值范围.
【解答】解:
解:
令f(x)=x2﹣2bx+b2﹣1=0,可得x1=b﹣1,x2=b+1,
∵函数f(x)=x2﹣2bx+b2﹣1在区间[0,1]上恰有一个零点,
∴0≤b﹣1≤1或0≤b+1≤1
∴﹣1≤b≤0或1≤b≤2.
故选:
D
【点评】本题考查函数的零点,考查学生的计算能力,属于基础题.
12.(2016春•福建期末)已知f(x)=x2+ax+3在区间(1,2)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣4]B.[﹣2,+∞)C.[﹣4,﹣2]D.(﹣∞,﹣4]∪[﹣2,+∞)
【分析】由题意利用二次函数的性质,可得﹣
≤1,或﹣
≥2,由此求得实数a的取值范围.
【解答】解:
∵函数f(x)=x2+ax+3的对称轴为x=﹣
,且函数在区间(1,2)上是单调函数,
∴﹣
≤1,或﹣
≥2,解得a≤﹣4,或a≥﹣2.
故实数a的取值范围是(﹣∞,4]∪[﹣2,+∞),
故选:
D.
【点评】本题主要考查二次函数的性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
13.(2015秋•天水校级期末)如果函数f(x)=ax2+2x﹣3在区间(﹣∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】由于a值不确定,此题要讨论,当a=0时,函数为一次函数,当a≠o时,函数为二次函数,此时分两种情况,当a>0时,函数开口向上,先减后增,当a<0时,函数开口向下,先增后减.
【解答】解:
(1)当a=0时,函数为一次函数f(x)=2x﹣3为递增函数,
(2)当a>0时,二次函数开口向上,先减后增,在区间(﹣∞,4)上不可能是单调递增的,故不符合;
(3)当a<0时,函数开口向下,先增后减,函数对称轴
,
解得a
,又a<0,故
.
综合得
,
故选D.
【点评】此题主要考查函数单调性和对称轴的求解,考查二次函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、分类讨论思想.属于基础题.
14.(2015•聊城校级模拟)已知函数f(x)=8+2x﹣x2,那么( )
A.f(x)是减函数B.f(x)在(﹣∞,1]上是减函数
C.f(x)是增函数D.f(x)在(﹣∞,0]上是增函数
【分析】由条件利用二次函数的图象和性质,可得结论.
【解答】解:
∵函数f(x)=8+2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+9的图象是开口线下的抛物线,对称轴为x=1,
故f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,
故选:
D.
【点评】题主要二次函数的图象和性质,属于基础题.
15.(2016秋•于都县校级期中)函数f(x)=x2+2ax+a2﹣2a在区间(﹣∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3]B.[﹣3,+∞)C.(﹣∞,3]D.[3,+∞)
【分析】由函数的解析式可得二次函数的图象的对称轴为x=﹣a,开口向上,由﹣a≥3求得实数a的取值范围.
【解答】解:
结合f(x)的图象可知,函数的对称轴为x=﹣a,开口向上,当f(x)在区间(﹣∞,3]上单调递减时,应有﹣a≥3,即a≤﹣3,
故选A.
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